鄭華林 項(xiàng)錫平 胡 騰 米 良 劉 雁

1.西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，成都，610500

2.中國(guó)工程物理研究院機(jī)械制造工藝研究所，綿陽(yáng)，621900

3.四川普什寧江機(jī)床有限公司,都江堰，611830

0 引言

五軸加工中心是航空航天、汽車和軍事領(lǐng)域中使用最廣泛的數(shù)字制造設(shè)備之一，其空間誤差對(duì)加工精度有顯著影響。現(xiàn)階段，如何準(zhǔn)確辨識(shí)旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素已成為機(jī)床空間誤差建模過(guò)程中亟待解決的關(guān)鍵共性問(wèn)題。

旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素定義方法[1]有絕對(duì)表示法和相對(duì)表示法兩種。絕對(duì)表示法中定義了每根旋轉(zhuǎn)軸4項(xiàng)位置無(wú)關(guān)幾何誤差元素(position-independent geometric error elements, PIGE)和6項(xiàng)位置相關(guān)幾何誤差元素(position-dependent geometric error elements, PDGE)。針對(duì)PIGE，IBARAKI等[2]提出相對(duì)表示法更有利于表示旋轉(zhuǎn)軸之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，如BC擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸加工中心，根據(jù)相對(duì)表示法可定義B軸2項(xiàng)PIGE，C軸6項(xiàng)PIGE。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了各種間接測(cè)量方法[2-6]來(lái)檢測(cè)五軸加工中心精度。借助激光跟蹤儀[5]提出通過(guò)點(diǎn)測(cè)量和位姿測(cè)量對(duì)刀尖點(diǎn)位置誤差和刀軸姿態(tài)誤差進(jìn)行標(biāo)定的方法，該方法需要采集大量數(shù)據(jù)點(diǎn)，適合大型數(shù)控機(jī)床。R-test測(cè)量?jī)x[6]由于沒(méi)有相關(guān)規(guī)范，故會(huì)因傳感器的不同而導(dǎo)致測(cè)量算法和測(cè)量精度各有不同。球桿儀[2]由于測(cè)量方便、使用簡(jiǎn)單，被廣泛應(yīng)用于小型五軸加工中心旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差的測(cè)量與辨識(shí)。

基于球桿儀的旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素辨識(shí)方法有很多，XIANG等[7-8]提出了僅控制待測(cè)旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)的方法，通過(guò)規(guī)劃球桿儀測(cè)量軌跡辨識(shí)了旋轉(zhuǎn)軸8項(xiàng)PIGE和10項(xiàng)PDGE。郭世杰等[9-10]建立了基于圓軌跡的4種測(cè)量模式，辨識(shí)了兩根旋轉(zhuǎn)軸10項(xiàng)PIGE，提出了5次安裝法，辨識(shí)了兩根旋轉(zhuǎn)軸12項(xiàng)PDGE。JIANG等[11]提出了兩根旋轉(zhuǎn)軸聯(lián)動(dòng)的測(cè)量軌跡，解決了兩根旋轉(zhuǎn)軸同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)合成速度與球桿儀采樣頻率間不同步的問(wèn)題，辨識(shí)了旋轉(zhuǎn)軸8項(xiàng)PIGE。以上研究方法在辨識(shí)過(guò)程中大多單獨(dú)辨識(shí)這兩種幾何誤差元素中的一種，缺少對(duì)PIGE與PDGE之間耦合作用的探討。

目前，很少有研究注意到旋轉(zhuǎn)軸PDGE建模方式與定義之間的聯(lián)系。HUANG等[12]針對(duì)旋轉(zhuǎn)軸誤差定義模糊的問(wèn)題，分析了“部件偏移”和“軸線偏移”兩種旋轉(zhuǎn)軸誤差定義，對(duì)這兩種誤差進(jìn)行建模與對(duì)比，采用球桿儀檢測(cè)以驗(yàn)證誤差模型的準(zhǔn)確性。DING等[13]分析了旋轉(zhuǎn)軸誤差定義中兩種不同的模型，即“error first”模型和“motion first”模型，根據(jù)“左基右一”原則，error first模型中誤差元素定義在旋轉(zhuǎn)軸理想坐標(biāo)系下，motion first模型中誤差元素定義在旋轉(zhuǎn)軸實(shí)際坐標(biāo)系下。付國(guó)強(qiáng)等[14]提出了六圈法，假設(shè)旋轉(zhuǎn)軸零位置處6項(xiàng)PDGE為0，辨識(shí)出每根旋轉(zhuǎn)軸10項(xiàng)幾何誤差元素。項(xiàng)四通[15]提出了迭代解耦的辨識(shí)方法，其中PIGE和PDGE都采用error first模型建模，辨識(shí)得到C軸PDGE。根據(jù)創(chuàng)成機(jī)理，PIGE主要是裝配產(chǎn)生的誤差[4,12,16]，可以將PIGE理解為部件偏移，適合采用error first模型進(jìn)行建模；PDGE主要是零部件制造產(chǎn)生的誤差[4,12,16]，可以將PDGE理解為軸線偏移，適合采用motion first模型進(jìn)行建模。

不難看出，現(xiàn)階段研究辨識(shí)的過(guò)程中大多單獨(dú)辨識(shí)這兩種幾何誤差元素中的一種或在建模時(shí)未考慮兩類誤差元素建模的差異性，由此可能導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素的完整性受到一定程度影響或無(wú)法體現(xiàn)幾何誤差元素本征屬性等問(wèn)題，不利于為機(jī)床精度反演提供理論與數(shù)據(jù)支持。為此，本文提出一種基于建模差異性的五軸加工中心旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素辨識(shí)方法，同時(shí)辨識(shí)旋轉(zhuǎn)軸PIGE與PDGE。

1 旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素定義

1.1 五軸加工中心運(yùn)動(dòng)鏈分析

以某BC擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸加工中心為研究對(duì)象，其結(jié)構(gòu)示意圖見圖1a。其中，OM是機(jī)床坐標(biāo)系MCS(OMXYZ)原點(diǎn)，X、Y、Z軸行程分別為700 mm、400 mm、500 mm，B、C軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)角度范圍分別為[-5°，115°]和[0°，360°]。根據(jù)多體系統(tǒng)理論，該機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可分解為圖1b所示的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈，即刀具鏈(F-X-Z-Y-B-T)和工件鏈(F-C-W)。在金屬切削過(guò)程中，切削成形點(diǎn)可以視為上述兩運(yùn)動(dòng)鏈末端的交點(diǎn)。

(a)結(jié)構(gòu)示意 (b)拓?fù)涫疽?/p>

1.2 旋轉(zhuǎn)軸PIGE定義

圖2 基于相對(duì)表示法的旋轉(zhuǎn)軸PIGE定義

1.3 旋轉(zhuǎn)軸PDGE的定義

根據(jù)ISO 230-7，每個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的PDGE由6項(xiàng)參數(shù)組成。以C軸為例，如圖3所示，PDGE包含的6項(xiàng)參數(shù)分別為δxC、δyC、δzC、εxC、εyC和εzC。其中，δ和ε分別代表線性誤差元素和角度誤差元素；下角標(biāo)x、y和z代表C軸PDGE的誤差方向。同理，B軸PDGE也可以采用類似的方式定義。

圖3 C軸 PDGE的定義[1]

2 旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素辨識(shí)理論

2.1 旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

齊次坐標(biāo)變換是構(gòu)建五軸數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的最常用方法之一[9, 14]。由于所有幾何誤差元素都可以視為名義運(yùn)動(dòng)以外的微小運(yùn)動(dòng)，因此兩條運(yùn)動(dòng)鏈末端的最終位置可以表達(dá)為名義運(yùn)動(dòng)和誤差微小運(yùn)動(dòng)的綜合結(jié)果。

設(shè)EI,B、ED,B和EI,C、ED,C分別表示B軸和C軸的PIGE及PDGE，根據(jù)第1節(jié)中關(guān)于旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素的定義，有

(1)

圖4 兩旋轉(zhuǎn)軸初始位置關(guān)系

(2)

(3)

令li和lr分別等于機(jī)床兩運(yùn)動(dòng)鏈末端PT和PW之間的初始距離和運(yùn)動(dòng)后最終距離，則兩末端之間的距離變化量

(4)

值得說(shuō)明的是，辨識(shí)基本方程組不包含B軸PDGE，其辨識(shí)方程亦可按上述方法推導(dǎo)構(gòu)建。在旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)構(gòu)思時(shí)，需在B軸旋轉(zhuǎn)的同時(shí)確保C軸靜止。由于篇幅限制，在此不再贅述。

2.2 Δl測(cè)量策略

為了辨識(shí)式(2)～(4)中PIGE和PDGE包含的14個(gè)幾何誤差元素，提出圖5所示的三種測(cè)量策略[17-18]。其中，Owb與Otb分別代表球桿儀(名義長(zhǎng)度l)兩端小球的球心，下標(biāo)wb、tb分別表示工件端小球、刀具端小球。根據(jù)測(cè)量過(guò)程中球桿儀軸線與Owb軌跡間的幾何關(guān)系，三種測(cè)量策略被分別命名為徑向、切向和軸向測(cè)量策略。

(a)徑向測(cè)量策略 (b)切向測(cè)量策略 (c)軸向測(cè)量策略

(5)

(6)

利用CAM軟件生成上述各測(cè)量策略的NC代碼并運(yùn)行，記錄球桿儀所測(cè)的瞬時(shí)桿長(zhǎng)變化量，亦即Owb與Otb間距離變化Δl，進(jìn)而將測(cè)試數(shù)據(jù)代入式(4)。由于未知參數(shù)個(gè)數(shù)(待辨識(shí)的旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素個(gè)數(shù))大于基本辨識(shí)方程個(gè)數(shù)，為避免出現(xiàn)靜不定問(wèn)題，須針對(duì)各測(cè)量策略設(shè)置不同安裝參數(shù)(包括H和rC)，以構(gòu)建足夠的辨識(shí)方程。

2.3 旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素辨識(shí)方法

2.3.1PIGE辨識(shí)方法

測(cè)量時(shí)，球桿儀桿長(zhǎng)變化Δl由加工中心空間誤差所致，而空間誤差是機(jī)床直線軸、旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素綜合作用的結(jié)果。五軸加工中心直線軸誤差元素可利用激光干涉儀進(jìn)行測(cè)量，預(yù)先通過(guò)NC代碼補(bǔ)償方式對(duì)直線軸幾何誤差進(jìn)行控制，從而假定直線軸沒(méi)有引入誤差，此時(shí)Δl僅取決于旋轉(zhuǎn)軸誤差元素，即

Δl=ΔlEI,B+ΔlED,B+ΔlEI,C+ΔlED,C

(7)

式中，ΔlEI,B、ΔlED,B、ΔlEI,C和 ΔlED,C為球桿儀桿長(zhǎng)變化分量，分別由EI,B、ED,B、EI,C和ED,C引起。

由辨識(shí)基本方程推導(dǎo)過(guò)程可知，ΔlED,B對(duì)Δl無(wú)貢獻(xiàn)量(B軸保持靜止),因此，圖5所示各測(cè)量策略中，球桿儀Δl為

Δl=ΔlEI,B+ΔlEI,C+ΔlED,C

(8)

為辨識(shí)B軸PIGE，采用圖5所示徑向測(cè)量策略，并使工作臺(tái)(C軸)保持靜止，故ΔlED,C= 0，式(1)中ED,C可視為單位矩陣。此時(shí)，式(8)可進(jìn)一步改寫為

Δl=ΔlEI,B+ΔlEI,C

(9)

此時(shí)，Owb、Otb和OM之間的幾何和運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系如圖6所示。省略測(cè)量結(jié)果的二次項(xiàng)，長(zhǎng)度分量ΔlEI,B和ΔlEI,C分別為

(10)

其中，ex和ey可由加工中心CNC系統(tǒng)讀取。將式(10)代入式(9)，有

Δl=(δx,B-ex)cosθ+(rBεx,B-ey)sinθ

(11)

圖6 C軸靜止時(shí)球桿儀運(yùn)動(dòng)示意圖

式(11)中包含2項(xiàng)B軸PIGE，為便于求解，需利用4個(gè)特定相位處球桿儀的Δl，取θ分別為0°、90°、180°和270°。進(jìn)而，δx,B和εx,B可以借助下式進(jìn)行辨識(shí)：

(12)

為辨識(shí)C軸PIGE包含的6項(xiàng)誤差元素，還須借助圖5所示切向及軸向測(cè)量策略。

ΔlED,C≈0

(13)

故仍可基于式(8)辨識(shí)EI,C。對(duì)應(yīng)各測(cè)量策略，將第1節(jié)中各PIGE定義代入式(8)，整理可得

(14)

ΔlEI,B可聯(lián)立式(11)、式(12)求得。同理，利用特定旋轉(zhuǎn)相位，可得C軸各PIGE計(jì)算方程:

(15)

式中，安裝參數(shù)rC和H的下標(biāo)數(shù)字表示4個(gè)特定旋轉(zhuǎn)相位；Δl下標(biāo)rad、tan和axi分別對(duì)應(yīng)圖5中徑向、切向和軸向測(cè)量策略。

2.3.2PDGE辨識(shí)方法

考慮到B軸始終保持靜止，因而C軸PDGE是唯一需要辨識(shí)的位置相關(guān)幾何誤差元素。此時(shí)，2.3.1節(jié)中辨識(shí)所得旋轉(zhuǎn)軸PIGE則被視為已知參數(shù)。根據(jù)圖5中各測(cè)量策略，有

(16)

則C軸各項(xiàng)PDGE辨識(shí)方程為

(17)

(18)

為避免由于線性相關(guān)而導(dǎo)致的靜不定問(wèn)題，安裝參數(shù)rC和H需滿足:

2.3.3基于迭代解耦的旋轉(zhuǎn)軸PIGE與PDGE分離辨識(shí)

2.3.1節(jié)中，為辨識(shí)C軸PIGE，忽略該軸各項(xiàng)PDGE，當(dāng)C軸轉(zhuǎn)角為0時(shí)，若PDGE均為0，通過(guò)以上方法即可辨識(shí)得到旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素準(zhǔn)確值；但是若在C軸轉(zhuǎn)角為0時(shí)，PDGE不全為0，以上方法辨識(shí)的PIGE與PDGE解耦不完全，這對(duì)所提辨識(shí)方法的精準(zhǔn)性帶來(lái)一定局限性。為解決這一問(wèn)題,本文提出一種迭代解耦方法來(lái)對(duì)EI,C與ED,C進(jìn)行有效、精準(zhǔn)的分離辨識(shí)。

結(jié)合式(14)可看出，EI,C對(duì)球桿瞬時(shí)長(zhǎng)度Δl的影響隨球桿旋轉(zhuǎn)相位不同而不同。這表明盡管旋轉(zhuǎn)軸PIGE與位置無(wú)關(guān)，但其對(duì)空間誤差的影響卻因位置不同而有所區(qū)分。其中，δx,C、δy,C、εx,C和εy,C對(duì)Δl的影響可視為一類隨旋轉(zhuǎn)角度變化的諧函數(shù)；而δz,C和εz,C對(duì)Δl的影響則可分別視為一類線性和角度的常量偏移。由此可推斷，初始辨識(shí)所得ED,C中存在由EI,C所致的耦合成分，即

(19)

式中，上標(biāo)c、d、r分別表示含耦合項(xiàng)C軸PDGE、解耦的C軸PDGE和C軸殘余PIGE。

考慮到殘余EI,C的諧波效應(yīng)和偏移效應(yīng)，通過(guò)式(17)初步辨識(shí)的ED,C可以表示為以下形式：

(20)

根據(jù)EI,C的殘差效應(yīng)，采用一階離散Fourier擬合ED,C(0)，ED,C(0)可以表示為

(21)

式中：a0(0)、a1(0)和b1(0)為常系數(shù)；$1(0)、$2(0)分別視為殘差EI,C引起的偏移效應(yīng)分量和諧波效應(yīng)分量。

因此，由式(15)辨識(shí)所得初始EI,C可寫作：

EI,C(1)=EI,C(0)+a0(0)

(22)

EI,C(1)=EI,C(0)+a1(0)cosθ+b1(0)sinθ

(23)

式(22)和式(23)分別用于分離ED,C中的偏移效應(yīng)分量和諧波效應(yīng)分量。將式(22)、式(23)所得C軸PIGE迭代值代入式(17)，對(duì)ED,C進(jìn)行解耦辨識(shí)。由于PDGE可以看成偏離幾何誤差均值的波動(dòng)量[19]，所以，假設(shè)ED,C為0附近的波動(dòng)量，迭代解耦過(guò)程的收斂條件可以寫成

|(ED,C(i+1))ave|≤ε

(24)

式中，下標(biāo)ave表示第i+1次迭代解耦所得C軸PDGE算術(shù)平均值；ε為預(yù)設(shè)收斂閾值。

一旦滿足收斂條件，EI,C和ED,C即可成功解耦，從而大大提高C軸幾何誤差元素的辨識(shí)精度。至此，整個(gè)迭代解耦過(guò)程可以表達(dá)為圖7所示流程圖。

圖7 C軸PIGE和PDGE迭代解耦流程圖

3 區(qū)別建模辨識(shí)方法驗(yàn)證

3.1 仿真驗(yàn)證

將C軸預(yù)設(shè)幾何誤差元素代入旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，可計(jì)算機(jī)床兩運(yùn)動(dòng)鏈末端間距變化Δl；進(jìn)而，利用計(jì)算所得Δl，并基于所提迭代解耦方法對(duì)C軸幾何誤差元素進(jìn)行分離辨識(shí)。將辨識(shí)結(jié)果與預(yù)設(shè)數(shù)據(jù)分別進(jìn)行對(duì)比，如表1和表2、圖8和圖9所示。其中，|0°表示C軸回轉(zhuǎn)角度為0°時(shí)的取值；上標(biāo)pre與ident_iter分別表示預(yù)設(shè)值與迭代辨識(shí)值。

表1 預(yù)設(shè)EI,C和ED,C|0°

表2 解耦辨識(shí)所得EI,C

(a)預(yù)設(shè)

(a)預(yù)設(shè)

上述對(duì)比分析說(shuō)明，所提迭代解耦方法能有效、精確地分離辨識(shí)機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸位置無(wú)關(guān)與位置相關(guān)幾何誤差元素。

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提解耦辨識(shí)方法，以Renishaw QC20-W球桿儀為測(cè)量設(shè)備，在NJ-5HMC40五軸加工中心上開展幾何誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)，如圖10所示。測(cè)量前，先通過(guò)NC代碼補(bǔ)償方式對(duì)直線軸幾何誤差元素的影響進(jìn)行控制，假定直線軸沒(méi)有引入誤差。同時(shí)，為降低熱誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，測(cè)量過(guò)程在恒溫環(huán)境中進(jìn)行。

(a)徑向測(cè)量 (b)切向測(cè)量 (c)軸向測(cè)量

在C軸幾何誤差元素辨識(shí)方法中，設(shè)置了三組徑向策略安裝參數(shù)rC，分別為rC2、rC3、rC4，取rC2、rC4實(shí)驗(yàn)桿長(zhǎng)變化測(cè)得結(jié)果進(jìn)行幾何誤差元素辨識(shí)，取rC3實(shí)驗(yàn)桿長(zhǎng)變化測(cè)量結(jié)果與預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。基于辨識(shí)出的PIGE和PDGE，獲得桿長(zhǎng)變化量的預(yù)估值，對(duì)比結(jié)果如圖11所示。結(jié)果顯示，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果最大誤差不超過(guò)0.005 mm，因此，所提辨識(shí)方法可以有效和準(zhǔn)確地辨識(shí)旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素，為構(gòu)建空間誤差提供準(zhǔn)確的旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素?cái)?shù)據(jù)。

圖11 測(cè)量和預(yù)測(cè)桿長(zhǎng)變化數(shù)據(jù)對(duì)比

4 結(jié)論

精確辨識(shí)旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素是構(gòu)建五軸加工中心空間誤差模型的核心基礎(chǔ)。以多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)和齊次坐標(biāo)變換為理論基礎(chǔ)，構(gòu)建了BC擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸加工中心旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素辨識(shí)基本方程；借助球桿儀開展了實(shí)驗(yàn)研究，為求解辨識(shí)基本方程獲取了必要參數(shù)，提出了一種旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素解耦辨識(shí)方法。

(1)對(duì)旋轉(zhuǎn)軸PIGE和PDGE的耦合機(jī)制進(jìn)行了系統(tǒng)分析與討論，并在此基礎(chǔ)上，詳細(xì)闡述了基于區(qū)別建模的旋轉(zhuǎn)軸位置無(wú)關(guān)與位置相關(guān)幾何誤差元素迭代解耦分離辨識(shí)方法體系。

(2)基于虛擬樣機(jī)開展了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，并借此對(duì)所提解耦辨識(shí)方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果對(duì)比顯示，所提辨識(shí)方法能有效、精確地分離辨識(shí)旋轉(zhuǎn)軸PIGE和PDGE。

(3)設(shè)置了驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，取一組桿長(zhǎng)變化測(cè)量與預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證了區(qū)別建模解耦辨識(shí)方法。