趙 展

（蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215104）

一、引言

在目前的工業(yè)控制領(lǐng)域，PID控制作為典型的工業(yè)控制算法之一，具有可靠性高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等特點(diǎn)[1-2]，具有比較滿意的控制效果，在伺服系統(tǒng)控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。但其難點(diǎn)在于參數(shù)的整定，傳統(tǒng)的PID參數(shù)整定主要依靠調(diào)試人員的實(shí)際工作經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)不同工況進(jìn)行參數(shù)湊試，調(diào)試時(shí)間長(zhǎng)，精度較低，對(duì)調(diào)試人員的要求較高，難以滿足工業(yè)控制的需求。

人群搜索算法（SOA）是一種新的基于種群的啟發(fā)式隨機(jī)搜索算法，SOA模擬人的隨機(jī)搜索行為，包括利己行為、利他行為、預(yù)動(dòng)行為和不確定性推理行為，由此而得到經(jīng)驗(yàn)梯度用于確定搜索步長(zhǎng)，并根據(jù)搜尋人員所遵循的利用自然語言描述的簡(jiǎn)單的搜索規(guī)則，由模糊推理確定搜索步長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)搜尋人員的位置更新，完成對(duì)優(yōu)化問題解的進(jìn)化過程。本文以數(shù)控機(jī)床為例，將永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)的交流伺服系統(tǒng)簡(jiǎn)化為工程控制領(lǐng)域中常見的二階延遲系統(tǒng)，構(gòu)建伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，將SOA算法運(yùn)用于該系統(tǒng)的PID參數(shù)整定。通過仿真實(shí)驗(yàn)，觀察了參數(shù)整定后的控制效果，驗(yàn)證了SOA算法的有效性及實(shí)用性。

二、數(shù)控機(jī)床伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立

數(shù)控機(jī)床伺服系統(tǒng)主要由伺服電機(jī)、伺服驅(qū)動(dòng)、傳感裝置及機(jī)床工作臺(tái)等組成，系統(tǒng)的控制框圖如圖1所示[3-5]．

圖1 數(shù)控伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

目前，數(shù)控機(jī)床的進(jìn)給系統(tǒng)大多采用永磁同步電機(jī)拖動(dòng)的交流伺服系統(tǒng)，就轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)而言，可分為外裝式和內(nèi)嵌式兩種，外裝式d、q軸磁阻基本相同，又叫隱極式同步電機(jī)；內(nèi)嵌式d軸磁阻大于q軸，又叫凸極式同步電機(jī)。

（一）永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

為了簡(jiǎn)化分析，在建立永磁同步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型時(shí)，作如下處理：1.假設(shè)轉(zhuǎn)子永磁磁場(chǎng)在氣隙空間分布為正弦波，定子電樞繞組中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也為正弦波；2.忽略定子鐵心飽和，認(rèn)為磁路為線性，電感參數(shù)不變；3.不計(jì)鐵心渦流與磁滯損耗；4.轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組[6-7]。

電壓方程為

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

式中：ud、uq分別為d、q軸的電壓；id、iq分別為d、q軸的電流；Ld、Lq分別為d、q軸的電感；R為定子電阻；ρ為極對(duì)數(shù)；ω為轉(zhuǎn)子電角速度；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；Ψf為永磁磁鏈。

（二）機(jī)械傳動(dòng)裝置的機(jī)械模型

數(shù)控機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)示意圖如圖2所示，以伺服驅(qū)動(dòng)電機(jī)的角位移θ作為機(jī)械傳動(dòng)裝置的輸入，以執(zhí)行部件的運(yùn)動(dòng)x0作為輸出，通過聯(lián)軸器將電機(jī)與滾珠絲杠連接起來，滾珠絲杠傳動(dòng)副驅(qū)動(dòng)執(zhí)行部件做直線運(yùn)動(dòng)。

圖2 數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)機(jī)械傳動(dòng)結(jié)構(gòu)

為了簡(jiǎn)單起見，假設(shè)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)是剛性連接，將機(jī)械參量和負(fù)載等效折算到電機(jī)輸出軸上，從而得到簡(jiǎn)單的數(shù)控機(jī)床伺服系統(tǒng)的機(jī)械模型。

將絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2和絲杠與電機(jī)之間聯(lián)軸器之間傳動(dòng)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1都等效到電機(jī)軸上，和電機(jī)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JM結(jié)合到一起構(gòu)成輸出軸總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，則可得

其中，J=mv2/4π2gn為執(zhí)行部件的質(zhì)量折算到絲杠上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，v為執(zhí)行部件的移動(dòng)速度，n為絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)速度。

將絲杠的阻尼B2和絲杠與電機(jī)之間聯(lián)軸器之間傳動(dòng)件的阻尼B1都等效到電機(jī)軸上，和電機(jī)軸的阻尼BM結(jié)合到一起構(gòu)成輸出軸總的阻尼B，則可得

等效后，電機(jī)的機(jī)械方程為：

其中，w為轉(zhuǎn)子角速度。

方程(2)、(3)、(4)、(5)共同組成了 PMSM 機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型。

（三）磁場(chǎng)定向下的PMSM進(jìn)給伺服系統(tǒng)模型

采用id=0的控制方式，其伺服控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 PMSM伺服進(jìn)給系統(tǒng)框圖

根據(jù)圖3，數(shù)控機(jī)床的數(shù)學(xué)模型可以用以下傳遞函數(shù)表示

其中，KT=1.5pΨf為電機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)，KI=pΨf為電機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)，L為電機(jī)繞組電感，R為電機(jī)線圈電阻，J為總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（包括絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2、絲杠與電機(jī)之間聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1、和電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JM），B為總的黏性阻尼系數(shù)（包括絲杠的黏性阻尼系數(shù)B2、絲杠與電機(jī)之間聯(lián)軸器的黏性阻尼系數(shù)B1、和電機(jī)的黏性阻尼系數(shù)BM）。

三、基于人群搜索算法的PID控制器設(shè)計(jì)

（一）人群搜索算法的基本原理

基于SOA的PID參數(shù)整定原理如圖4所示[8]。在PID調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)中，關(guān)鍵是確定合理的kp、ki、kd參數(shù)，使得調(diào)節(jié)后的系統(tǒng)有較好的性能。

圖4 基于SOA的PID參數(shù)整定原理圖

（二）參數(shù)的編碼原理

令種群p中的搜尋者個(gè)體數(shù)為3，每個(gè)粒子的位置矢量由PID控制器的三個(gè)控制參數(shù)組成，即個(gè)體的位置矢量維度D=3，可以用一下矩陣表示

（三）適應(yīng)度函數(shù)的選取

SOA算法在搜索進(jìn)化過程中僅用適應(yīng)度值來評(píng)價(jià)個(gè)體或者解的優(yōu)劣，并作為以后粒子位置更新的依據(jù)，使得初始解逐步向最優(yōu)解進(jìn)化。

為了獲取滿意的過渡過程動(dòng)態(tài)特性，采用誤差絕對(duì)值時(shí)間積分性能指標(biāo)為參數(shù)選擇的最小目標(biāo)函數(shù)。為了防止控制能量過大，在目標(biāo)函數(shù)中加入控制輸入的平方項(xiàng)，目標(biāo)函數(shù)如下式所示

其中，e(t)為系統(tǒng)誤差，u(t)為控制器輸出，w1和w2為權(quán)值。

為了避免超調(diào)，采用了懲罰控制，即一旦產(chǎn)生超調(diào)，將超調(diào)量作為最優(yōu)指標(biāo)的一項(xiàng)，在e(t)＜0時(shí)，最優(yōu)指標(biāo)為

其中w3為權(quán)值，且w3遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于w1，通常w1=0.999，w2=0.001，w3=100。

（四）SOA算法流程

參數(shù)的編碼和適應(yīng)度函數(shù)確定后，用于PID參數(shù)整定的SOA算法如下所示：

第一步：t=0；

第二步：初始化，在可行解域隨機(jī)產(chǎn)生s個(gè)初始位置：

其中，i=1,2,…,s;t=0;

第三步：評(píng)價(jià)，計(jì)算每一個(gè)位置的目標(biāo)函數(shù)值；

第四步：搜尋策略，計(jì)算每一個(gè)個(gè)體i在每一維j的搜索方向dij(t)和步長(zhǎng)aij(t);

第五步：位置更新，按公式更新每一個(gè)搜尋者位置；

第六步：t=t+1；

第七步：若滿足停止條件，停止搜索，否則，轉(zhuǎn)至第三步。

四、仿真驗(yàn)證

給定仿真參數(shù)：電感L=8.5e-3（H），電阻R=2.875(Ω)，總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.8e-3（kmm2），黏性阻尼系數(shù)B=0.02（Nm/（rad/s）），永磁磁通Ψf=0.175（Wb），極對(duì)數(shù)p=4。

將上述參數(shù)代入式(6)得數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

對(duì)式（10）利用SOA算法進(jìn)行matlab仿真，種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為100次，得到如圖5所示的SOA優(yōu)化適應(yīng)度函數(shù)變化曲線以及圖6所示的SOA優(yōu)化PID三個(gè)參數(shù)變化曲線。

圖5 SOA優(yōu)化適應(yīng)度函數(shù)變化曲線

圖6 SOA優(yōu)化PID三個(gè)參數(shù)變化曲線

由圖5可知，SOA優(yōu)化適應(yīng)度函數(shù)的最優(yōu)值為：Jbest=21.3327。由圖6可知，SOA優(yōu)化PID參數(shù)優(yōu)化的結(jié)果如表1所示：

表1 SOA參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

由表1參數(shù)優(yōu)化結(jié)果代入SOA算法優(yōu)化整定后的伺服系統(tǒng)進(jìn)行階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，得到如圖7所示的SOA算法與粒子群算法（Particle SwarmOptimization，PSO）優(yōu)化階躍響應(yīng)輸出對(duì)比曲線和如圖8所示的階躍響應(yīng)SOA算法輸出誤差曲線。

圖7 SOA與PSO算法優(yōu)化后階躍響應(yīng)對(duì)比曲線

圖8 SOA優(yōu)化后階躍響應(yīng)誤差輸出曲線

觀察仿真結(jié)果，比較兩次算法優(yōu)化后相應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線可以發(fā)現(xiàn)：

（1）采用SOA算法得到的積分時(shí)間常數(shù)與PSO算法得到的結(jié)果相比較，具有很好的快速性、準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性；

（2）采用SOA算法和PSO算法整定后的系統(tǒng)均無超調(diào)，抗干擾能力大大提高。

由仿真結(jié)果可以得到與速度環(huán)參數(shù)整定類似的結(jié)果，由SOA算法得到的參數(shù)優(yōu)化整定結(jié)果，滿足了伺服系統(tǒng)精確控制的要求，具有很好的響應(yīng)速度以及運(yùn)行穩(wěn)定性；采用SOA算法與Matlab/Simulink仿真相結(jié)合的方法進(jìn)行PID參數(shù)整定具有優(yōu)化速度更快、結(jié)果更理想的優(yōu)點(diǎn)。

五、結(jié)語

理論分析和試驗(yàn)仿真研究表明，用SOA算法對(duì)PID控制器進(jìn)行參數(shù)整定取得了滿意的控制效果，是有效可行的，同時(shí)具有較強(qiáng)的魯棒性?；赟OA算法的PID參數(shù)優(yōu)化方法具有更好的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能、系統(tǒng)響應(yīng)速度快和無超調(diào)，同時(shí)克服了傳統(tǒng)PID需要人工整定的缺點(diǎn)，使得數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性有了較大的改善，使其工作穩(wěn)定，加工精度及生產(chǎn)率有了較高的提高，獲得了比較滿意的結(jié)果。