王園園,霍志鑫,孔德志,程樹明,周利杰

(1.河北水利電力學(xué)院 基礎(chǔ)部，河北省滄州市重慶路1號 061001；2.河北水利電力學(xué)院 電氣工程學(xué)院，河北省滄州市重慶路1號 061001)

文中，將估計如下問題確定爆破時間的下界

(1)

其中，Ω?n(n≥3)是光滑的有界域，表示u邊界上的外法向量，u0(x)是一個連續(xù)的非負(fù)函數(shù)。

函數(shù)f(t,s)和G(s)滿足2個假設(shè)：假設(shè)(f)和假設(shè)(G)。

假設(shè)(f)：

(f1)當(dāng)s≥0時，對任意的x∈Ω,t>0有f(t,s)≥0；

假設(shè)(G)：

(G1)當(dāng)s≥0時，G(s)≥0并且G′(s)≥0；

關(guān)于擬拋物型方程解的爆破條件以及爆破時間上下界估計，近年來國內(nèi)外有很多學(xué)者在研究[1-13]，而本注記將采用[13]的思想方法并利用一些不等式估計，將文[13]中的結(jié)果推廣到含散度型微分算子以及非線性項形式更一般的情形。

為了估計問題(1)爆破時間的下界，與文[13]類似，可定義

(2)

因為本文中只是關(guān)心爆破解，所以假設(shè)

(3)

直接計算可得

根據(jù)前面的假設(shè)(f)和(G)，可以推出：

因此

(4)

記C(Ω)是如下Sobolev不等式中的最佳常數(shù)

(5)

接著，運用H?lder不等式、含ε的Young不等式以及一般的Sobolev不等式，可得

(6)

這里的ε待定，其中

(7)

(8)

因為0<α<1，運用Young不等式可以得到

(9)

將式(9)代入式(8)，可以得到

(10)

(11)

對式(11)從0到T積分，可以得到

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

將上述結(jié)果寫成如下定理的形式。

定理：設(shè)u是式(1)的爆破解，且f和G分別滿足條件(f)和(G)，則爆破時間的一個下界可用式(12)來進(jìn)行估計。