姚俊夫，王念先，劉明政，葛萍萍

(1. 武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北，武漢，430081；2. 武漢科技大學機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，湖北，武漢，430081)

由于主動磁懸浮軸承具有無接觸、無需潤滑、無磨損、轉速高、動態(tài)特性可調等優(yōu)點，磁懸浮雙轉子系統(tǒng)(Magnetic suspended dual-rotor system, MSDS)能大大提高旋轉機器的使用性能和可靠性[1-2]。轉子碰摩故障是旋轉機械中的典型故障，具有極大危害性，根據(jù)接觸區(qū)域，碰摩故障可分成全周碰摩和偏摩[3]。在機械軸承支承的雙轉子系統(tǒng)中，文獻[4-7]基于雙轉子試驗臺，建立了定點碰摩故障下雙轉子系統(tǒng)的動力學模型，研究了轉速比、初始間隙和限位器曲率半徑等參數(shù)對系統(tǒng)碰摩響應的影響，結果表明，系統(tǒng)參數(shù)對機械軸承支承的雙轉子系統(tǒng)碰摩響應有較明顯的影響，當雙轉子系統(tǒng)發(fā)生碰摩時，響應中能觀察到更多的內外轉子轉頻的組合頻率分量。

近年來，國內外研究者針對磁懸浮轉子系統(tǒng)的碰摩和其他非線性動力學特性開展了大量研究。文獻[8]研究了剛度比、圓盤偏心量、碰摩間隙等對磁懸浮雙盤轉子系統(tǒng)碰摩的影響；文獻[9]研究了剛度比、庫倫摩擦系數(shù)、比例系數(shù)和微分系數(shù)等對磁懸浮轉子系統(tǒng)碰摩的影響；文獻[2，10]基于拉格朗日方程建立了磁懸浮雙轉子系統(tǒng)動力學模型，分析了轉速比、中介軸承剛度等對系統(tǒng)非線性動力學行為的影響；文獻[11]對磁懸浮雙轉子系統(tǒng)碰摩故障下的振動特性及接觸過程進行分析，研究了控制參數(shù)對系統(tǒng)碰摩的影響。由此可見，磁懸浮轉子系統(tǒng)中，系統(tǒng)運行參數(shù)和控制參數(shù)均會對其碰摩和非線性響應產(chǎn)生影響。但這些文獻中，磁懸浮軸承的支承力模型忽略了磁性材料非線性、系統(tǒng)漏磁和磁飽和等非線性因素的影響，其往往為線性化模型，無法全面展示磁懸浮轉子系統(tǒng)的碰摩動力學響應特性。

而實際運行過程中，雙轉子系統(tǒng)的復雜激勵會導致磁懸浮軸承的工作點發(fā)生較大范圍變化，此時，系統(tǒng)漏磁和磁飽和等非線性因素成為影響磁懸浮軸承支承特性的關鍵，磁懸浮軸承的支承特性呈明顯的非線性特征[12-16]，從而導致系統(tǒng)的碰摩特性發(fā)生改變，但目前尚缺乏對非線性支承特性下磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩特性的研究。

為此，本文在磁懸浮軸承的非線性支承特性基礎上，采用Lankarani-Nikravesh 模型和庫倫模型，建立了基于非線性支承的磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的動力學模型，研究了基于非線性支承的磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的定點碰摩特性，并分析了控制參數(shù)對系統(tǒng)碰摩特性的影響，研究結果可為磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的設計和運行提供參考。

1 動力學模型

基于航空發(fā)動機的結構特點設計的磁懸浮雙轉子結構如圖1所示。為方便后續(xù)研究，特將不考慮磁懸浮軸承漏磁、磁飽和等的磁懸浮雙轉子系統(tǒng)稱為常規(guī)磁懸浮雙轉子系統(tǒng)，而將考慮了磁懸浮軸承漏磁、磁飽和等非線性因素的系統(tǒng)稱為非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)。

圖1 磁懸浮雙轉子結構示意圖

如圖1所示，基于有限元分析法，將該磁懸浮雙轉子系統(tǒng)離散成9個節(jié)點，包括內轉子5個節(jié)點和外轉子4個節(jié)點。內外轉子之間通過中介軸承連接。此磁懸浮雙轉子系統(tǒng)有3個磁懸浮軸承和4個剛性圓盤。本研究采用如下假設：①忽略扭振和軸向振動的影響，僅僅考慮徑向振動的自由度；②不考慮轉子自身重力對系統(tǒng)造成的影響；③將中介軸承等效成剛度和阻尼，施加到動力學模型對應節(jié)點上。磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的主要結構參數(shù)見表1。

表1 磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的主要結構參數(shù)

1.1 磁懸浮軸承支承模型

本文采用差動控制的八磁極徑向磁懸浮軸承，其在某方向上的控制原理圖如圖2所示，單個磁極的等效磁路圖(Equivalent magnetic circuit, EMC)如圖3所示[16]。

圖2 控制原理圖

圖3 單個磁極的等效磁路圖

圖2和圖3中，F(xiàn)1和F2表示磁極相鄰線圈中的磁動勢；Ib和Ic分別為偏置電流和控制電流；g0為氣隙長度；Ry、Rp、Rr分別表示的是定子磁軛磁阻、磁極磁阻、轉子磁阻；Rk為漏磁磁阻；Rg1、Rg2為此磁極處的氣隙磁阻。

目前對磁懸浮軸承的研究中，通常將磁懸浮軸承的支承特性進行線性化處理，但在實際情況中，系統(tǒng)的漏磁和磁飽和等非線性因素會對磁懸浮軸承的支承特性造成顯著影響。本文將磁懸浮軸承支承力模型分為兩種情況討論：

(1)常規(guī)支承力模型：不考慮漏磁及磁飽和等非線性因素對磁懸浮軸承承載特性的影響。圖3中Ry、Rp、Rr和Rk均為零，只存在氣隙磁阻Rg1和Rg2，此時磁懸浮軸承的支承力特性可參考文獻[17]。

(2)非線性支承力模型：在實際情況中，磁懸浮軸承受到外載和運行狀況的影響，系統(tǒng)的氣隙漏磁和磁性材料的非線性磁導率不能忽略。此時，Ry、Rp、Rr、Rk、Rg1和Rg2均不為零，則x方向上的電磁力[16]：

(1)

式中：μ0為真空磁導率；α為磁極對夾角的一半；Ap為磁極面積；Ф1和Ф3分別為兩側通過磁路氣隙中的磁通，根據(jù)圖3可得：

(2)

式中：N為線圈匝數(shù)；Ry、Rp、Rr、Rk、Rg1、Rg2、Rg3、Rg4(Rg3和Rg4表示另一側磁極處的氣隙磁阻)計算方法可以由文獻[16]得到。

圖4為兩種支承力模型和有限元模型(計算方法參考文獻[15])計算獲得的承載力曲線。由于有限元結果具有較高的計算精度[15]，本文利用有限元計算結果對兩種模型計算的支承力準確性進行驗證。

圖4中，e是徑向偏心距與氣隙長度的比值。由圖4可以看出，不同e值下，磁懸浮軸承的支承特性均存在明顯的非線性特征，非線性支承力模型的計算精度明顯優(yōu)于常規(guī)支承力模型的精度；當控制電流較大時，磁懸浮軸承支承特性的非線性特征更加明顯，這將會影響到磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩響應。本文將非線性支承力模型融入到磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的動力學模型中，更全面地分析了該系統(tǒng)的碰摩響應。

(a)e=0 (b)e=0.2

1.2 定點碰摩模型

采用Lankarani-Nikravesh模型，圓盤與固定限位器的碰摩力模型如圖5所示。

圖5 圓盤-固定限位器的碰摩力模型[11]

圖5中，碰撞過程中的法向沖擊力Fn和切向摩擦力Ft在水平方向上的投影Frx和豎直方向上的投影Fry分別為

(3)

式中：θ為碰摩時的接觸角度，且

(4)

式中：kr為接觸剛度；r為圓盤與限位器端部在碰撞方向上的距離；ce為恢復系數(shù)；v為圓盤在碰撞方向上的沖擊速度；v0為初始沖擊速度；fr為摩擦系數(shù)。

1.3 系統(tǒng)動力學模型

根據(jù)圖1所示磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的結構特點，磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的運動方程為

(5)

式中：q為磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的廣義位移矩陣；M、C和K分別表示磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的總體質量矩陣、總體阻尼矩陣、總體剛度矩陣；F為外部激勵力矢量。

為考慮非線性因素對磁懸浮軸承支承特性的影響，本研究將磁懸浮軸承電磁力當作轉子所受的外力來看待，即

F=Fa+Fr+Fq

(6)

式中：Fa為磁懸浮軸承的支承力矢量；Fr為碰摩力矢量；Fq為不平衡量矢量。綜上所述：

(7)

式中：0表示零矩陣；k、i和j分別表示不同外部激勵對應的節(jié)點。此外，在上述總體剛度矩陣和阻尼矩陣中還需在對應的節(jié)點處加上中介軸承的剛度和阻尼。

2 動力學模型驗證

基于文獻[4]發(fā)表的研究結果，對本文非線性支承下的動力學模型計算結果進行驗證。當外載擾動較小時，磁懸浮軸承的支承特性僅在平衡點附近變化，此時磁懸浮軸承的支承特性近似呈線性，取平衡位置處磁懸浮軸承的等效剛度和阻尼等同于文獻[4]中機械軸承剛度和阻尼，以保證系統(tǒng)的軸承特性在更換后保持不變。將文獻[4]中的機械軸承均替換為磁懸浮軸承支承，此時，圓盤1豎直方向上的位移響應如圖6所示，可以看出，本文采用的非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的仿真結果和文獻[4]中的試驗結果一致。

(a)文獻[4]試驗結果 (b)本文仿真結果

在碰摩條件下，文獻[4]試驗結果及本文仿真結果對比如圖7所示，可以看出，本文非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)頻譜響應基本與文獻[4]中的結果相一致，只是各頻率分量對應的幅值有所不同，這主要是由于不平衡量位置和初始條件差異所導致的結果誤差。綜合上述分析可知，本文建立的非線性支承下磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的定點碰摩動力學模型是可行的。

(a)文獻[4]，未碰摩

(b)文獻[4]，碰摩

(c)本研究，未碰摩

(d)本研究，碰摩

3 定點碰摩特性分析

3.1 磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的動態(tài)響應分析

當磁懸浮雙轉子系統(tǒng)承受較大外載時，磁懸浮軸承呈現(xiàn)出較強的非線性特征，轉子系統(tǒng)的動態(tài)響應也趨于復雜。取KP=40、KI=100、KD=0.05，內轉子轉速ωi=400 rad/s，轉速比rs=1.2。假設固定限位器在圓盤2正上方，圓盤2處受到沿限位器方向的負載FL=250 N，圖8為磁懸浮雙轉子系統(tǒng)在未碰摩和碰摩時圓盤2豎直方向上的動態(tài)響應。

圖8(a)中，在未碰摩情況下，常規(guī)磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的頻譜圖中只存在內外轉子的轉頻fi和fo；而圖8(b)中，由于磁懸浮軸承的非線性支承特性，非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)在未碰摩時的動態(tài)響應中出現(xiàn)了內外轉子轉頻的組合頻率分量, 如fo-fi、2fi、fi+fo和2fo；圖8(c)和8(d)中，虛線所處位置表示碰摩的初始間隙，在發(fā)生碰摩后，磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的動態(tài)響應更加復雜，響應頻譜圖中出現(xiàn)了更多的內外轉子轉頻的組合頻率分量mfi±nfo(m,n=1,2,3,…)。

(a)未碰摩時常規(guī)磁懸浮雙轉子系統(tǒng)

(b)未碰摩時非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)

(c)碰摩時常規(guī)磁懸浮雙轉子系統(tǒng)

(d)碰摩時非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)

圖9為常規(guī)和非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)在FL=0、碰摩間隙δ=1×10-5和FL=250 N、δ=6×10-5條件下的碰摩力響應。

由圖9可見，在FL=0時，常規(guī)和非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)在一個周期內碰摩次數(shù)和最大碰摩力基本無差別；當FL=250 N時，非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)在一個周期內的碰摩次數(shù)和最大碰摩力分別為5次和74.42 N，大于常規(guī)磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的4次和34.35 N，這意味著此時在非線性支承下系統(tǒng)的碰摩更加劇烈。

(a)常規(guī)磁懸浮系統(tǒng)，F(xiàn)L=0 (b)非線性磁懸浮系統(tǒng)，F(xiàn)L=0

(a)常規(guī)磁懸浮系統(tǒng)，F(xiàn)L=250 N (b)非線性磁懸浮系統(tǒng)，F(xiàn)L=250 N

此外，負載前后碰摩時電磁軸承處的承載力曲線也有所不同，圖10為負載前后碰摩時磁懸浮軸承2豎直方向上的承載力曲線。由圖10可見，未負載時，常規(guī)和非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)承載力曲線基本一致；而負載之后，磁懸浮軸承的支承特性表現(xiàn)出明顯的非線性特征，非線性磁懸浮系統(tǒng)的最大電流值約為2.5A，大于常規(guī)磁懸浮雙轉子系統(tǒng)最大電流值1.7 A，并且更接近電流飽和值(±3 A)。此外，非線性系統(tǒng)電流振幅約為1.4 A，大于常規(guī)系統(tǒng)的0.8 A。

綜上所述，在非線性支承特性下，磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩響應會發(fā)生明顯變化，特別是在負載較大的情況下，磁懸浮軸承的非線性支承特性對系統(tǒng)的碰摩響應會產(chǎn)生明顯影響。

(a)FL=0 (b)FL=250 N

3.2 負載對系統(tǒng)碰摩特性的影響

為進一步了解非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)在不同負載下的碰摩規(guī)律，不同負載FL下非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)在圓盤2豎直方向處的碰摩響應瀑布圖及磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的最大碰摩力如圖11所示。

由圖11(a)可見，隨著FL的增大，非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的瀑布圖中出現(xiàn)了部分組合頻率分量，F(xiàn)L增至180 N時，系統(tǒng)開始發(fā)生碰摩，響應中開始出現(xiàn)了新的組合頻率分量，如4fi-3fo、3fi-2fo等；隨著FL繼續(xù)增大，系統(tǒng)的碰摩程度加劇，系統(tǒng)的動態(tài)響應更復雜，更多的組合頻率分量被激發(fā)出來。由圖11(b)可見，隨著FL的增大，常規(guī)和非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的最大碰摩力均越來越大，碰摩程度越來越劇烈；另外，兩磁懸浮雙轉子系統(tǒng)開始碰摩時對應的FL并不相同，常規(guī)磁懸浮雙轉子系統(tǒng)在FL=200 N時開始碰摩，并且相比于常規(guī)磁懸浮雙轉子系統(tǒng)，非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)最大碰摩力變化速度更快。

(a) 非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩響應

(b) 磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的最大碰摩力

3.3 轉子轉速對系統(tǒng)碰摩特性的影響

在與圖11相同的控制參數(shù)下，為減小磁懸浮軸承電流飽和對非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)碰摩響應的影響，特取FL=200 N，圖12所示為不同內轉子轉速ωi下非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)在圓盤2豎直方向上的碰摩響應瀑布圖及磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的最大碰摩力。

由圖12(a)可見，當ωi在[150, 220] rad/s時，非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)振幅增大，碰摩加劇，響應瀑布圖中出現(xiàn)了較多組合頻率分量；繼續(xù)增大ωi至350 rad/s時，系統(tǒng)重新開始碰摩。在圖12(b)中，在ωi為[150, 220] rad/s時，常規(guī)和非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)均發(fā)生碰摩，且非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)發(fā)生碰摩時對應的最大碰摩力更大；此外，當ωi為350 rad/s時，常規(guī)磁懸浮雙轉子系統(tǒng)并未發(fā)生碰摩，這表明在外載一定的條件下，磁軸承的非線性支承使系統(tǒng)發(fā)生碰摩時對應轉速范圍更寬，系統(tǒng)碰摩更嚴重。

(a) 非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩響應

(b) 磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的最大碰摩力

3.4 控制參數(shù)對系統(tǒng)碰摩特性影響

在結構參數(shù)和運行工況確定的情況下，控制參數(shù)也會對非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩響應產(chǎn)生影響。本節(jié)主要研究在PID控制下，非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)在較大外載下碰摩響應隨控制參數(shù)的變化規(guī)律。

取KI=100、KD=0.03、ωi=500 rad/s，圖13為不同比例系數(shù)KP下非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)圓盤2豎直方向上的碰摩響應瀑布圖和磁懸浮雙轉子系統(tǒng)在此KP區(qū)間下的最大碰摩力。

由圖13(a)可見，KP對非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩響應會產(chǎn)生明顯影響，不同KP值下非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩程度有所不同；當KP處于[30, 50]時，系統(tǒng)的振幅增大，碰摩程度加劇，碰摩響應中存在較多的組合頻率分量。

(a) 非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩響應

(b) 磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的最大碰摩力

由圖13(b)可知，常規(guī)和非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)在此KP區(qū)間的最大碰摩力均存在峰值，兩個系統(tǒng)最大碰摩力峰值處對應的KP值不相同，非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)最大碰摩力的最大值為48.62 N(KP=40)，大于常規(guī)的磁懸浮雙轉子系統(tǒng)最大碰摩力的最大值26.52 N(KP=32)，且非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)發(fā)生碰摩對應的KP區(qū)間更寬，表明磁懸浮軸承的非線性支承特性使磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩程度加劇。實際情況中應合理選擇KP值，以避開系統(tǒng)碰摩嚴重區(qū)間。

取與圖13相同的運行工況，當KP=40、KI=100時，不同微分系數(shù)KD下磁懸浮雙轉子系統(tǒng)圓盤2豎直方向上的碰摩響應瀑布圖和磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的最大碰摩力如圖14所示。

由圖14(a)可見，KD對非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)定點碰摩響應有顯著影響，當KD較小時，系統(tǒng)振幅增大，碰摩現(xiàn)象嚴重，系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，在頻譜圖低頻率段出現(xiàn)了豐富的組合頻率分量；隨著KD增大，系統(tǒng)抑制振動能力增強，系統(tǒng)的碰摩程度減緩，部分組合頻率分量消失。由此可見，較大的KD值有助于減小系統(tǒng)振動，減輕系統(tǒng)的碰摩程度。從圖14(b)可以看出，常規(guī)和非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的最大碰摩力隨KD的增大而減小，表明系統(tǒng)的碰摩程度隨著KD的增大而減??；此外，非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的最大碰摩力更大，特別是在KD較小的情況，當KD=0.060時，常規(guī)磁懸浮雙轉子系統(tǒng)已結束碰摩，而非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)還處于間隙式碰摩狀態(tài)，這表明磁懸浮軸承的非線性支承特性加劇了磁懸浮雙轉子系統(tǒng)碰摩程度。

(a) 非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩響應

(b) 磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的最大碰摩力

取圖14相同的運行工況，即KP=40、KD=0.03，不同積分系數(shù)KI下非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)圓盤2豎直方向上的碰摩響應瀑布圖和磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的最大碰摩力如圖15所示。由圖15可見，KI對磁懸浮雙轉子系統(tǒng)碰摩響應影響較小，隨著KI的增大，常規(guī)和非線性磁懸浮雙系統(tǒng)碰摩時的最大碰摩力均緩慢增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差?？梢?，在滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)控制精度的情況下應選擇較小的積分系數(shù)。

(a) 非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩響應

(b) 磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的最大碰摩力

4 結論

(1)磁懸浮軸承的非線性支承特性對磁懸浮雙轉子系統(tǒng)的碰摩會造成較大影響，特別是系統(tǒng)受到較大的外載荷時，非線性支承特性下的系統(tǒng)碰摩區(qū)間更寬，碰摩區(qū)間內對應的最大碰摩力更大，碰摩程度更加嚴重；系統(tǒng)發(fā)生碰摩時，響應中可觀察到內外轉子轉頻(fi和fo)的組合頻率分量mfi±nfo(m,n=1,2,3,…)，且碰摩程度越劇烈，系統(tǒng)激發(fā)的組合頻率分量越多。

(2)在非線性支承下，比例系數(shù)和微分系數(shù)對非線性磁懸浮雙轉子系統(tǒng)定點碰摩有顯著影響。合理選擇比例系數(shù)和較大的微分系數(shù)可有效減小系統(tǒng)的碰摩程度，此外，在滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)控制精度的情況下應選擇較小的積分系數(shù)。