邱天爽 劉 浩 張家成 李景春 李 蓉

①(大連理工大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)部 大連 116024)

②(國家無線電監(jiān)測中心 北京 100037)

1 引言

信號時(shí)延估計(jì)(Time Delay Estimation, TDE)在無線電監(jiān)測及目標(biāo)定位等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。傳統(tǒng)TDE算法大多是基于2階或高階統(tǒng)計(jì)量的，盡管在高斯噪聲下這些方法可以表現(xiàn)出優(yōu)良的性能，但在同頻帶干擾及脈沖噪聲并存的復(fù)雜電磁環(huán)境下，其性能會(huì)顯著下降。因此，研究TDE新算法顯得尤為重要。

研究表明，在雷達(dá)、聲吶和通信等信號處理問題中，許多信號的某些統(tǒng)計(jì)特性往往隨時(shí)間按周期或多周期規(guī)律變化，即具有循環(huán)平穩(wěn)性[1]。利用信號的循環(huán)平穩(wěn)性可消除時(shí)延估計(jì)中的同頻帶干擾現(xiàn)象。Gardner等人[2,3]提出的一系列基于信號循環(huán)平穩(wěn)性的TDE方法，在同頻帶干擾存在時(shí)表現(xiàn)出良好的性能。

在實(shí)際應(yīng)用中，電磁、雷電等自然或人為因素的干擾，可能會(huì)導(dǎo)致噪聲在極短時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)出極強(qiáng)的脈沖性，稱為脈沖噪聲，常用Alpha穩(wěn)定分布描述[4]。Alpha穩(wěn)定分布可通過對參數(shù)的選擇來描述不同程度、對稱或不對稱的脈沖噪聲[5]。為了解決2階或高階統(tǒng)計(jì)量在脈沖噪聲下不收斂的問題，文獻(xiàn)中提出了一系列基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的TDE方法，例如FLOC[6](Fractional Lower-Order Covariance), FLOS-PHAT[7](FLOS PHAse Transform)以及最小p范數(shù)法[8]等。但基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的方法對噪聲先驗(yàn)知識(shí)有一定的依賴性。作為通用的相似性度量工具，相關(guān)熵理論可以同時(shí)反映信號的時(shí)間結(jié)構(gòu)和統(tǒng)計(jì)特性[9]，具有更強(qiáng)的抑制脈沖噪聲的能力，且不依賴于噪聲的先驗(yàn)知識(shí)，故其逐漸成為消除脈沖噪聲影響的主要方法。

循環(huán)相關(guān)熵方法[10,11]既可以抑制脈沖噪聲，也可以消除同頻帶干擾的影響。文獻(xiàn)[12–17]在原有基礎(chǔ)上進(jìn)一步豐富了循環(huán)相關(guān)熵的理論[12,13]與應(yīng)用[14–17]。其中，文獻(xiàn)[16,17]將循環(huán)相關(guān)熵應(yīng)用于TDE中，具有較好的性能。文獻(xiàn)[16]利用廣義高斯核函數(shù)[18]替代循環(huán)相關(guān)熵中的高斯核函數(shù)，提出一種基于廣義循環(huán)相關(guān)熵的TDE算法。該算法在脈沖性較強(qiáng)時(shí)仍可獲得較好的估計(jì)效果，但廣義高斯核函數(shù)的參數(shù)確定較繁瑣，會(huì)影響算法的效率。文獻(xiàn)[17]則是在相關(guān)熵的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將廣義相關(guān)熵與循環(huán)統(tǒng)計(jì)量結(jié)合，提出另一種形式的廣義循環(huán)相關(guān)熵，并通過仿真驗(yàn)證了該算法在同頻帶干擾及脈沖噪聲并存下的有效性。該算法的優(yōu)勢是效率較高，無需計(jì)算廣義高斯核的相關(guān)參數(shù)，但其性能會(huì)隨脈沖噪聲特征指數(shù)的減小而衰退。

為解決上述算法在強(qiáng)脈沖噪聲下性能衰退的問題，受文獻(xiàn)[19–23]利用有界非線性函數(shù)(Bounded Non-linear Function, BNF)處理脈沖噪聲的啟發(fā)，本文利用雙曲正切函數(shù)作為有界非線性函數(shù)對基于廣義循環(huán)相關(guān)熵[17]的方法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種改進(jìn)的廣義循環(huán)相關(guān)熵時(shí)延估計(jì)(HTGCCE)算法，并通過實(shí)驗(yàn)表明該算法在強(qiáng)脈沖噪聲及同頻帶干擾并存條件下具有很好的時(shí)延估計(jì)性能。

2 背景

2.1 Alpha穩(wěn)定分布

描述脈沖噪聲最常用的模型是Alpha穩(wěn)定分布，由于其沒有統(tǒng)一的、封閉的概率密度函數(shù)，故常用式(1)所示的特征函數(shù)進(jìn)行描述

式中，0 <α ≤2為特征指數(shù)，度量概率密度函數(shù)拖尾的厚度，當(dāng)α =2時(shí)，Alpha穩(wěn)定分布與高斯分布一致； ?1 ≤β ≤1 為 對稱參數(shù)，當(dāng)β =0時(shí)，稱為對稱Alpha穩(wěn)定分布(記為 S αS) ; ? ∞0為分散系數(shù)。

2.2 TDE估計(jì)的信號模型

當(dāng)脈沖噪聲及同頻干擾同時(shí)存在時(shí)，設(shè)TDE算法的信號模型為

式中， x(t) 與y (t)分別為兩個(gè)接收機(jī)的接收信號，目標(biāo)信號s (t)為 具有循環(huán)平穩(wěn)特性的調(diào)制信號；n1(t)與n2(t)為 脈沖噪聲；w (t)是 與s (t)具有不同循環(huán)頻率的同頻帶干擾信號； D1與D2分別為目標(biāo)信號s(t)與 同頻帶干擾信號w (t)的 時(shí)延值。假設(shè)s(t),w(t),n1(t)和 n2(t)均為零均值且相互獨(dú)立。

2.3 雙曲正切函數(shù)

雙曲正切函數(shù)tanh的解析形式為雙曲正弦函數(shù)(sinh)與雙曲余弦函數(shù)(cosh)的比值

雙曲正切函數(shù)在實(shí)數(shù)域內(nèi)為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且其在x ∈(?0.5,0.5)內(nèi)近似線性；另外，雙曲正切函數(shù)具有有界性，其值域范圍為t anh x ∈(?1,1)。當(dāng)信號值超出近似線性區(qū)域后，利用雙曲正切函數(shù)進(jìn)行幅度壓縮，從而保證信號經(jīng)過該函數(shù)處理后始終有界。

3 改進(jìn)的廣義循環(huán)相關(guān)熵時(shí)延估計(jì)方法

3.1 現(xiàn)有廣義循環(huán)相關(guān)熵時(shí)延估計(jì)方法的局限性

文獻(xiàn)[17]提出了一種廣義循環(huán)互相關(guān)熵函數(shù)Uxy(ε,τ)，定義為

式中，σ 為核長。

由文獻(xiàn)[17]知，這種廣義循環(huán)互相關(guān)熵算法適用于在中等脈沖噪聲下的應(yīng)用，例如 α =1.4且廣義信噪比GSNR為–3 dB的情況。而當(dāng)信號環(huán)境更加惡劣，即特征指數(shù)或廣義信噪比進(jìn)一步降低時(shí)，該算法性能的衰退會(huì)導(dǎo)致時(shí)延估計(jì)誤差明顯增加。另外，該算法并未分析驗(yàn)證信號與同頻干擾具有相同載頻不同波特率情況下的效果，即尚未表明算法抑制同頻帶干擾的能力。

3.2 改進(jìn)的廣義循環(huán)相關(guān)熵函數(shù)的定義及性質(zhì)

為解決上述算法存在的問題，本文利用雙曲正切函數(shù)作為有界非線性函數(shù)[24]對 x (t)y(t+τ)進(jìn)行幅度壓縮，使其乘積在脈沖噪聲存在時(shí)始終有界，進(jìn)而提升算法抑制脈沖噪聲的能力。

定義1改進(jìn)的廣義自相關(guān)熵函數(shù)：對于循環(huán)平穩(wěn)信號x (t)，改進(jìn)的廣義自相關(guān)熵函數(shù)定義為

式中，gx(t,τ)為

考慮改進(jìn)的廣義自相關(guān)熵函數(shù) Vx(t,τ)為周期函數(shù)，可將其寫為傅里葉級數(shù)的形式

式中

定義2改進(jìn)的廣義循環(huán)互相關(guān)熵函數(shù)：設(shè)兩循環(huán)平穩(wěn)信號 x (t)與 y (t)，二者循環(huán)頻率相同，則定義 x(t) 和y (t)的改進(jìn)的廣義循環(huán)互相關(guān)熵函數(shù)Cxy(ε,τ)為

式中，ε 為目標(biāo)信號的循環(huán)頻率，gxy(t,τ)為

命題若兩循環(huán)平穩(wěn)信號 x(t) 與y (t)滿足y(t)=x(t ?D1) ，則 Cxy(ε,τ)=Cx(ε,τ ?D1)。

證明由式(11)有

3.3 改進(jìn)的廣義循環(huán)相關(guān)熵時(shí)延估計(jì)方法

又因?yàn)?/p>

同理，結(jié)合式(13)可推得

類比文獻(xiàn)[3,16]可知，對于BPSK信號，欲在峰值處獲得時(shí)延值，需進(jìn)一步計(jì)算| Cx(ε,k)|及|Cxy(ε,k)|的互相關(guān)

得到時(shí)延估計(jì)值為

4 算法性能分析及計(jì)算機(jī)仿真

將本文基于改進(jìn)的廣義循環(huán)相關(guān)熵的TDE算法記為HTGCCE，3種對比算法分別為基于循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的TDE算法，記為FLOCC[25]，基于廣義循環(huán)相關(guān)熵的TDE算法，記為GCCE1[17]，基于廣義高斯核相關(guān)熵的TDE算法，記為GCCE2[16]。由于GCCE1與GCCE2算法在估計(jì)時(shí)延時(shí)只求得了Cxy(ε,k)，為保證實(shí)驗(yàn)條件的一致性，后文實(shí)驗(yàn)中，均在GCCE1與GCCE2算法基礎(chǔ)上進(jìn)一步計(jì)算式(18)與式(19)。

4.1 算法復(fù)雜度分析

本文HTGCCE算法主要由兩個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成，即計(jì)算Cxy(ε,k)與 Cx(ε,k)環(huán) 節(jié)，和進(jìn)一步計(jì)算|Cx(ε,k)|與| Cxy(ε,k)|的 互相關(guān)環(huán)節(jié)。其中，第1環(huán)節(jié)中Cxy(ε,k)與Cxy(ε,k)的 計(jì)算復(fù)雜度均為O (M2)，M為信號采樣點(diǎn)數(shù)，二者合起來為O (2M2)。第2環(huán)節(jié)中關(guān)于互相關(guān)的計(jì)算復(fù)雜度為O (4M2)。這樣，本文算法總的計(jì)算復(fù)雜度為O (6M2)。作為對比的3種算法，其計(jì)算復(fù)雜度也均為O (6M2)。由此可見，本文HTGCCE算法的計(jì)算復(fù)雜度與對比算法的相同。由后面的仿真實(shí)驗(yàn)可見，本文算法抑制脈沖噪聲的能力更強(qiáng)，時(shí)延估計(jì)的性能更好。

4.2 計(jì)算機(jī)仿真及結(jié)果分析

本節(jié)設(shè)置了3組實(shí)驗(yàn)來討論所提算法的適用環(huán)境、比較各算法的時(shí)延估計(jì)性能以及探討影響時(shí)延估計(jì)性能的因素。且使用時(shí)延估計(jì)正確率Pa來衡量時(shí)延估計(jì)算法的性能，Pa的定義為

式中， Nc表 示估計(jì)正確的次數(shù)； N為蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)，后文計(jì)算Pa時(shí) 均將 N設(shè)為500。

在后文實(shí)驗(yàn)中，若不特別說明，均對HTGCCE,FLOCC, GCCE1及GCCE2共4種算法進(jìn)行仿真。實(shí)驗(yàn)條件設(shè)置為：目標(biāo)信號為BPSK信號，載波頻率為 f1= 100 Hz，波特率為fd1= 40 Baud，時(shí)延為D1=45個(gè)采樣間隔；同頻帶干擾信號也設(shè)為BPSK信號，載波頻率為f2=f1= 100 Hz，波特率為fd2=50 Baud，時(shí)延為D2=65個(gè)采樣間隔；采樣頻率設(shè)為 fs= 1000 Hz；高斯核函數(shù)的核長設(shè)置為σ =1；循環(huán)頻率設(shè)為目標(biāo)信號的波特率值，即ε =fd1= 40 Hz；信干比設(shè)為0 dB；廣義信噪比GSNR設(shè)為–7 dB；脈沖噪聲的特征指數(shù)設(shè)為α =1.2；且均假設(shè)脈沖噪聲服從S αS分 布，并設(shè)a =0；FLOCC的兩個(gè)系統(tǒng)階數(shù)均設(shè)為α /2 ?0.02；定義廣義信噪比為

式中，Ps為 信號功率。

(1) 算法適用環(huán)境的討論

實(shí)驗(yàn)1HTGCCE算法提取目標(biāo)信號的能力。實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定循環(huán)頻率范圍為ε ∈[1,120] Hz。由于信號的循環(huán)平穩(wěn)性可將具有不同循環(huán)頻率的信號進(jìn)行分離，故圖1中，當(dāng)ε = 40 Hz時(shí)，時(shí)延估計(jì)的峰值在45處；當(dāng) ε = 50 Hz時(shí)，峰值處的時(shí)延值為65。因此，圖1可表明HTGCCE算法具有提取目標(biāo)信號的能力。

圖1 不同循環(huán)頻率下HTGCCE算法的時(shí)延估計(jì)圖

圖2 不同信號環(huán)境下HTGCCE算法的時(shí)延估計(jì)性能比較

實(shí)驗(yàn)2HTGCCE算法在各信號環(huán)境下的普適性。圖2中各信號環(huán)境下的時(shí)延估計(jì)正確率均會(huì)隨信噪比(廣義信噪比)的增大而提升，且信號環(huán)境中無同頻帶干擾的正確率高于有同頻帶干擾的正確率。

綜上可知，HTGCCE算法在同頻帶干擾及脈沖噪聲并存的復(fù)雜電磁環(huán)境下效果較好，且即使某些信號環(huán)境中不存在脈沖噪聲或同頻帶干擾信號，該算法仍具有較高的時(shí)延估計(jì)正確率。

(2) 各算法時(shí)延估計(jì)性能的比較

實(shí)驗(yàn)3不同特征指數(shù)、廣義信噪比GSNR及信干比下各算法性能的比較。其中，圖3(a)中廣義信噪比G SNR ∈[?15,15] dB， 當(dāng)G SNR= –9 dB時(shí)，HTGCCE的正確率較GCCE2提升了40%；圖3(b)中特征指數(shù) α ∈[0.7,1.7] ， 在極端條件α =0.7時(shí)，HTGCCE較GCCE2的正確率提升了80%；圖3(c)中信干比為–5～15 dB，從圖可知，GCCE1算法表現(xiàn)出了良好的韌性，但HTGCCE的正確率隨信干比的增大而迅速提升，且相對于GCCE1, GCCE2正確率最大提升達(dá)20%。綜上可知，本文所提HTGCCE算法較其余3種算法性能更優(yōu)、韌性更強(qiáng)，且在極端實(shí)驗(yàn)條件下也具有良好的時(shí)延估計(jì)性能。

(3) 影響時(shí)延估計(jì)性能因素的探討

圖3 不同特征指數(shù)、廣義信噪比GSNR及信干比下各算法性能的比較

圖4 各算法時(shí)延估計(jì)性能隨特征指數(shù)及廣義信噪比變化圖

實(shí)驗(yàn)4特征指數(shù)、廣義信噪比GSNR及信干比對時(shí)延估計(jì)性能影響的分析。圖4中，廣義信噪比GSNR ∈[?15,15] dB ，特 征 指 數(shù)α ∈[0.7,1.7]。GSNR一定時(shí)，4種算法的正確率均隨α 的增大而提高，且當(dāng)GSNR升至–11 dB時(shí)，HTGCCE算法的正確率已接近100%，高于其余算法。同理， α一定時(shí)，4種算法的正確率也隨著GSNR的增大而上升，且HTGCCE的正確率隨GSNR的增大迅速升至100%，明顯快于其它算法。圖5中，廣義信噪比設(shè)為 GSNR ∈[?15,15] dB，信干比的變化范圍為–5～15 dB。當(dāng)GSNR小于–9 dB時(shí)，HTGCCE與GCCE2的正確率隨信干比的增大而提升，且HTGCCE上升速度快于GCCE2。而GCCE1與FLOCC的正確率始終較小，基本不隨信干比的變化而變化；當(dāng)信干比大于–9 dB時(shí)，HTGCCE與GCCE1即使在信干比較低時(shí)也可獲得較高的正確率，時(shí)延估計(jì)性能明顯優(yōu)于其余算法。

綜上可知，在同頻帶干擾及脈沖噪聲同時(shí)存在的復(fù)雜電磁環(huán)境中，各算法的時(shí)延估計(jì)性能均會(huì)受信干比、廣義信噪比及特征指數(shù)的影響。且本文所提HTGCCE算法在各實(shí)驗(yàn)條件下均可得到較高的時(shí)延估計(jì)正確率，具有良好的韌性。

圖5 各算法時(shí)延估計(jì)性能隨廣義信噪比及信干比變化圖

5 結(jié)論

復(fù)雜電磁環(huán)境的影響會(huì)導(dǎo)致時(shí)延估計(jì)值誤差過大。為改善時(shí)延估計(jì)算法在通頻帶干擾和脈沖噪聲并存條件下的性能，本文在廣義循環(huán)相關(guān)熵法的基礎(chǔ)上，利用雙曲正切函數(shù)對 x (t)y(t+τ)進(jìn)行幅度壓縮，進(jìn)一步提高脈沖噪聲特征指數(shù)較小時(shí)算法的時(shí)延估計(jì)性能。仿真實(shí)驗(yàn)表明，雖然GCCE1及GCCE2在某些特定條件下也具有良好的時(shí)延估計(jì)性能，但在信噪比、信干比以及脈沖噪聲特征指數(shù)均較小時(shí)，本文提出的HTGCCE明顯優(yōu)于其他算法。且HTGCCE受特征指數(shù)及信干比的影響較小，可以在較低信噪比的環(huán)境下獲得較好的時(shí)延估計(jì)結(jié)果。