袁海泉

三角函數(shù)是中考的熱點(diǎn)，其中一種常見(jiàn)題型是不給出直角三角形，需要構(gòu)造出相應(yīng)邊、角所在直角三角形來(lái)求解. 現(xiàn)舉例介紹解此類問(wèn)題的三種構(gòu)圖方法，供同學(xué)們參考.

一、利用網(wǎng)格構(gòu)圖求解

例1（2020·四川·南充）如圖1，點(diǎn)A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC等于（ ）.

A. [26] B. [2626] C. [2613] D. [1313]

解析：如圖1，作BD⊥AC于D，設(shè)正方形網(wǎng)格邊長(zhǎng)為1，

由圖1可得AB = [13]，∠BCD = 45°，∵BC = 1，

∴BD [=22]，∴sin∠BAC [=BDAB=2213=2626].

故選B.

點(diǎn)評(píng)：若∠BCD是非特殊角，則可利用勾股定理及等面積法求出BD.

二、類比構(gòu)圖求解

例2（2020·貴州·遵義）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要應(yīng)用，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖2，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使BD=AB，連接AD，得∠D=15°，設(shè)AC = 1，則tan15° [=ACCD=12+3=] 2 [- 3]. 類比這種方法，計(jì)算tan 22.5°的值為（ ）.

A. [2+] 1 B. [2-] 1 C. [2] D. [12]

[A][D][C][B][30°][15°][圖2][A][B][圖3][D][22.5°][45°] [C]

解析：如圖3，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，

延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使BD=AB，連接AD，得∠D=22.5°，

設(shè)AC=BC=1，則AB=BD [=2]，∴tan 22.5° [=ACCD=11+2=2-] 1，

故選B.

點(diǎn)評(píng)：22.5°是特殊角45°的一半，利用題目提供的tan15°求法，可以類比構(gòu)造雙直角三角形來(lái)求解.

三、應(yīng)用特殊角構(gòu)圖求解

例3（2020·廣西·南寧）如圖4，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島40 n mile的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15°的方向航行.

（1）漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近？（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行20[6] n mile到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊(duì)求救，問(wèn)：救援隊(duì)從B處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）

解析：（1）如圖4，過(guò)B作BM⊥AC于M，

由題意可知∠BAM = 30° + 15° = 45°，則∠ABM=45°，

在Rt△ABM中，∵∠BAM=45°，AB=40 n mile，

∴BM=AM=[22]AB=20[2] n mile，

∴漁船航行20[2] n mile距離小島B最近.

（2）∵BM=20[2] n mile，MC=20[6] n mile，

∴tan∠MBC=[MCBM]=[206202]=[3]，

∴∠MBC=60°，∴∠CBG=180° - 60° - 45° - 30°=45°，

在Rt△BCM中，∵∠CBM=60°，BM=20[2] n mile，

∴BC=2BM=40[2] n mile.

故救援隊(duì)從B處出發(fā)沿點(diǎn)B的南偏東45°的方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是40[2] n mile.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一個(gè)非直角三角形，已知其中的兩角和一邊，可過(guò)第三個(gè)角的頂點(diǎn)作高，將該三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，再利用三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)求解直角三角形.

（作者單位：江蘇省興化市臨城中心校）