王鋒

一、結(jié)論引入

引例 已知∠ACD = 90°，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，AC = DC，DB⊥MN于點(diǎn)B，如圖1，求證BD + AB = [2]CB.

提示：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，證明△ACE ≌△DCB（ASA），得到△ECB為等腰直角三角形，由BE = AE + AB = BD + AB，即可得到BD + AB = [2]CB.

探究：當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2和圖3兩個(gè)位置時(shí)，BD，AB，CB滿足什么關(guān)系？

分析：觀察圖2，看到BD，AB，CB這三條線段中線段AB變長(zhǎng)且為最長(zhǎng)，而線段BC變短了，可猜想到圖1中三邊關(guān)系不可能成立，結(jié)合圖1中結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征我們猜想AB - BD = [2]CB;

觀察圖3，發(fā)現(xiàn)線段BD變?yōu)樽铋L(zhǎng)，AB變?yōu)樽疃?，可以猜想BD - AB ?= [2]CB.

請(qǐng)同學(xué)們仿照證明圖1結(jié)論的思路自己證明圖2和圖3的結(jié)論.

反思：處理此類(lèi)問(wèn)題的突破口，一般是先構(gòu)造出表示某線段[2]倍或[3]倍的線段，這時(shí)要以常見(jiàn)的特殊三角形為模型，如：等腰直角三角形的斜邊是直角邊的[2]倍;頂角為120°的等腰三角形的底邊長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的[3]倍;含30°角的直角三角形中，較長(zhǎng)的直角邊等于較短直角邊的[3]倍;等等. 然后利用全等三角形進(jìn)行線段之間的等量代換，最終獲得問(wèn)題的結(jié)論.

二、實(shí)戰(zhàn)演練

例（2020·遼寧·本溪）如圖4，射線AB和射線CB相交于點(diǎn)B，∠ABC = α（0°<α<180°），且AB = CB.D是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C和點(diǎn)B重合），作射線AD，并在射線AD上取一點(diǎn)E，使∠AEC = α，連接CE，BE. 如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，α = 120°時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

分析：從圖形中可以發(fā)現(xiàn)線段AE最長(zhǎng)，于是，如圖5，在AE上截取AF = CE，連接BF，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于H，證△ABF ≌△CBE（SAS），得出∠ABF = ∠CBE，BF = BE，由等腰三角形的性質(zhì)得出FH = EH，根據(jù)“30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”及勾股定理容易得出FH = EH [=32]BE，進(jìn)而得出結(jié)論.

解： AE [=3]BE + CE，理由如下：

如圖5，在AD上截取AF = CE，連接BF，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于H，

∵∠ABC = ∠AEC，∠ADB = ∠CDE，

∴∠A = ∠C，

在△ABF和△CBE中，[ AF=CE， ∠A=∠C， AB=CB，]

∴△ABF ≌ △CBE（SAS），

∴∠ABF = ∠CBE，BF = BE，

∴∠ABF + ∠FBD = ∠CBE + ∠FBD，∴∠ABC = ∠FBE，

∵∠ABC = 120°，∴∠FBE = 120°，

∵BF = BE，

∴∠BFE = ∠BEF [=12×]（180° - ∠FBE）[=12×]（180° - 120°） = 30°，

∵BH⊥EF，

∴∠BHE = 90°，F(xiàn)H = EH，

在Rt△BHE中，EH [=32]BE，

∴EF = 2EH = 2 [× 32]BE[ =3]BE，

∵AE = EF + AF，AF = CE，

∴AE[ =3]BE + CE.

點(diǎn)評(píng)：添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的難點(diǎn)與關(guān)鍵.