汪元興

[摘? 要] 概念教學要讓學生經(jīng)歷概念的概括過程. 文章以基于APOS理論的因式分解概念教學設計為例，闡述了數(shù)學概念教學中要重視學生學習的過程，以及如何幫助學生理解概念.

[關鍵詞] APOS理論;學習過程;概念教學;教學設計

章建躍博士認為，概念是數(shù)學思維的細胞，理解概念是數(shù)學學習的首要任務，概念教學要讓學生經(jīng)歷概念的概括過程[1]. 《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，學生掌握學習知識，應以理解為基礎;學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程;學習評價既要關注學生學習的結(jié)果，也要重視學習的過程[2]. 因此，在數(shù)學概念教學中，必須重視學習的過程，這是幫助學生理解概念的基礎.

美國教育學家杜賓斯基等人創(chuàng)立的APOS理論認為，任何一個數(shù)學教育理論都應該致力于解決“學生是如何學習的”及“什么樣的教學計劃可以幫助這種學習的理解”這兩個問題. APOS理論還認為，學習者不可能直接學習到數(shù)學概念，而是要透過心智結(jié)構(gòu)使所學的概念產(chǎn)生意義才能學習到數(shù)學概念. 數(shù)學概念的形成要經(jīng)過“活動（Action）”“過程（Process）”“對象（Object）”和“圖式（Schema）”四個階段[3]，其中“活動階段”可與其他階段相互交叉，“活動階段”與“過程階段”不一定有明顯的界線. 文章以基于APOS理論的因式分解概念教學設計為例，闡述了數(shù)學概念教學中要重視學生學習的過程，以及如何幫助學生理解概念.

復習回顧，引入新知——活動階段（Action）

1. 復習回顧

師：在七年級的學習中，我們知道整式包括單項式和多項式，你還記得單項式和多項式的定義嗎？（結(jié)果如圖1所示）整式乘法主要的幾種形式如圖2所示.

師生活動：教師提出問題，學生口答，教師用PPT展示整式關系圖和整式乘法關系圖.

設計說明? APOS理論的“活動階段”的“活動”泛指所有的數(shù)學活動，如猜想、回憶、計算、推理等，這里主要是回憶. 通過復習舊知，舉例說明多項式的結(jié)構(gòu)特征，突出平方差公式和完全平方公式，為后面講解因式分解的概念做鋪墊.

2. 問題引入

利用整式的乘法運算，可將幾個整式的乘積化為一個多項式的形式;反過來，有時需要把一個多項式化為幾個整式的乘積的形式.

問題1：993-99能被99整除嗎？能被100整除嗎？你是怎么做的？

追問：代數(shù)式993-99的兩項都含有相同的因數(shù)99，顯然能被99整除;受此啟發(fā)，能否把993-99化成含有因數(shù)100的形式，即993-99=a×100（a為整式）？

學生獨立思考后，教師投屏展示兩種常見的解法（如圖3、圖4所示）：

小結(jié)：這里解決問題的關鍵是把一個代數(shù)式化成幾個整式的積的形式.

師生活動：教師提出問題，讓學生獨立思考后交流展示. 教師用手機投屏展示學生兩種常見的解法，組織全班學生評議，總結(jié)解決問題的關鍵是什么，鼓勵學生分享思考過程，說明992-1=9800的計算方法，為后面進一步分解a2-1做鋪墊，同時滲透最優(yōu)方案思想.

設計說明? APOS理論認為，概念的引入階段，要以學生已有的認知結(jié)構(gòu)和認知規(guī)律為基礎，在認真分析所授概念的具體內(nèi)容的前提下設置合適的“活動”，讓學生親身經(jīng)歷，主動建構(gòu)，從而直觀理解所學的概念. 這與史寧中教授所強調(diào)的教育教學要關注新概念引入的必要性是一致的. 這里的“活動階段”，通過引導學生回顧整式的相關知識，創(chuàng)設代數(shù)式整除問題，讓學生經(jīng)歷代數(shù)式的計算過程，直觀感知因式分解的作用，在心理上認識到學習因式分解這一概念的必要性.

自主探究，感知對象——過程階段（Process）

問題2：你能嘗試把a3-a化成幾個整式的乘積的形式嗎？與同伴交流.

追問：a2-1可以進一步分解嗎？如何分解？

師生活動：教師提出問題，先讓學生獨立思考，再組織學生交流展示. 類比993-99因數(shù)分解的過程，指出字母可以表示數(shù)，根據(jù)數(shù)式通性，可以把99看作a，進而得到a3-a=a（a2-1）;對a2-1進一步分解，引導和鼓勵學生展示和分享思考過程.

設計說明? 通過學生自主探究、合作交流，類比993-99的分解過程，對多項式a3-a進行分解，分享自己的解題思路. 教師在“過程階段”可以充分地關注學生的學習過程，引導學生初步掌握把一個多項式化成幾個整式的積的形式的方法，為后面歸納因式分解的概念提供具體且有一般性的例子，同時引導學生體會數(shù)式通性，感受平方差公式的逆運用.

問題3：觀察下面的拼圖過程（如圖5、圖6所示），寫出相應的關系式.

追問：你是怎么得到相應的關系式的？你能用不同的方法驗證關系式的正確性嗎？

師生活動：教師拋出問題，先讓學生獨立思考，再組織學生交流展示. 學生分享解決問題的思考過程，師生共同回顧用幾何圖形推導整式乘法公式的學習過程，也可以讓學生自己動手完成拼圖活動，引導學生既可以從拼圖前后的面積不變得到相應的關系式（“形”的角度），也可以逆用乘法公式驗證關系式的正確性（“數(shù)”的角度）.

設計說明? APOS理論的“過程階段”是通過數(shù)學活動進一步思考的過程，即當學生經(jīng)過多次重復的數(shù)學活動并對其熟悉后，便會在頭腦中自主描述這些數(shù)學活動. 本環(huán)節(jié)設計的兩個問題，讓學生分別從“數(shù)”與“形”的角度認識到一個多項式可以化成幾個整式的積的形式. 這是學習因式分解概念的“過程階段”，一定程度上也可以看作是前面“活動階段”的延續(xù). 一方面有利于學生加深對幾何直觀與數(shù)學抽象的認識，在心理上抽象出因式分解的本質(zhì)特征，進入因式分解概念的定義階段;另一方面有利于學生培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想、掌握等面積法，甚至為后續(xù)學習因式分解法（提公因式法和公式法）打下基礎，有利于因式分解與提公因式法、公式法等建立聯(lián)系.

合作交流，歸納概念——對象階段（Object）

問題4：觀察下列這幾個關系式，它們有什么共同的結(jié)構(gòu)特點？

（1）a3-a=a（a+1）（a-1）;

（2）ma+mb+mc=m（a+b+c）;

（3）x2+2x+1=（x+1）2.

追問：你能用自己的語言把你發(fā)現(xiàn)的說出來嗎？（合作交流后，用PPT或黑板展示出來）

定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫作因式分解.

小結(jié)：理解概念要抓住關鍵詞.

師生活動：教師提出問題，學生獨立思考后全班學生交流展示. 師生評議歸納后，教師給出準確的文字語言描述，為因式分解下定義;隨后向?qū)W生強調(diào)，理解概念要抓住關鍵詞，可結(jié)合關系式的結(jié)構(gòu)特點和字面含義加深對概念的理解.

設計說明? 概念學習主要依靠的是歸納思維. 學生通過對數(shù)學活動所得關系式的分析、比較、綜合，歸納出相同或不同關系式的共同特點，經(jīng)歷了從特殊到一般的學習過程，將發(fā)現(xiàn)、交流、歸納的結(jié)論準確地用文字語言表述出來，為因式分解下定義，這符合APOS理論的“對象階段”. 同時通過對“理解概念要抓住關鍵詞”的強調(diào)、對學生學習概念的學法指導，有助于學生從整體上理解概念的形成過程.

比較分析，鞏固概念——圖式階段（Schema）

問題5：下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解？為什么？

（1）（a+3）（a-3）=a2-9;

（2）m2-4=（m+2）（m-2）;

（3）a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1;

（4）2mn+2mr=2m（n+r）;

（5）（y-3）2=y2-6y+9;

（6）ax+ay=a（x+y）.

追問：結(jié)合問題5，你能說出因式分解的特征嗎？因式分解與整式乘法有什么關系？（學生交流后，用PPT或黑板展示如下圖畫，如圖7、圖8所示）

師生活動：教師出示問題，學生獨立思考后交流展示. 學生展示時，要說明判斷的理由;師生評議并修正，結(jié)合概念中關鍵詞的含義，共同歸納出因式分解的特征，明確因式分解與整式乘法之間的關系.

設計說明? 出示6個關系式，結(jié)合正反例，通過問題辨析，引導學生結(jié)合因式分解的概念，分析概念中關鍵詞的含義，整體把握因式分解的本質(zhì)特征，幫助學生明確：因式分解的對象是多項式，分解的結(jié)果是整式的積的形式;同時通過PPT或黑板展示因式分解與整式乘法的關系圖，助力學生理解“因式分解與整式乘法互為逆變形”，可以逆用乘法公式驗證因式分解是否正確，進而達到鞏固概念的目的，在認知上形成心理圖式.

學生掌握數(shù)學概念，不能依賴死記硬背，應以理解為基礎，而理解又以經(jīng)歷為基礎. 基于APOS理論的“概念學習四階段”進行數(shù)學概念教學設計，能夠較好地讓學生經(jīng)歷概念的形成過程，感受數(shù)學的整體性，符合學生的認知結(jié)構(gòu)和認知規(guī)律，有利于學生理解概念.

參考文獻：

[1]章建躍. 數(shù)學教育隨想錄[M]. 浙江：浙江教育出版社，2017.

[2]中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程課標（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]張敏，李軍，孫迪. 基于APOS理論下數(shù)學史融入一元二次方程概念教學設計[J]. 數(shù)學教學通訊，2019（35）.