茅云飛

(江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校,江蘇 揚(yáng)州 225009)

許多中學(xué)物理競賽資料中有下面這道靜力學(xué)競賽問題,文獻(xiàn)[1]從牛頓力學(xué)角度給出的兩種解法自認(rèn)為較繁,因此又從分析力學(xué)角度應(yīng)用虛功原理給出了另一巧妙的第3種解法．為了拓展學(xué)生的解題思路,本文對這道靜力學(xué)問題進(jìn)行再探究,給出有別于資料和文獻(xiàn)[1]的另兩種更加通俗易懂、便于學(xué)生理解的求解方法,供參考．

圖1 原題圖

圖2 微元分析

題目.質(zhì)量為m,長度為l的均勻柔軟細(xì)繩,繞過半徑為R的滑輪,繩的兩端吊在天花板上的兩個(gè)釘子上,兩釘間距為2R,滑輪上掛一重物,重物與滑輪總質(zhì)量為M,且相互間無摩擦,如圖1所示,求繩上最低點(diǎn)C處的張力．

1 應(yīng)用圓弧重心位置的計(jì)算公式求解

1.1 質(zhì)量均勻分布的圓弧形細(xì)繩重心位置的計(jì)算公式

由對稱性或懸掛法易知,質(zhì)量均勻分布的一段圓弧,它的重心位置在圓弧中點(diǎn)與圓心的連線上．設(shè)圓弧重心位置c到圓心的距離為L,圓弧半徑為R,圓弧所對的圓心角為2α(弧度),圓弧質(zhì)量線密度為λ．在圓弧上任取一小段,該小段對應(yīng)的圓心角為dθ,則其長度為Rdθ,如圖2所示,則圓弧重心位置c到圓心的距離

1.2 圓弧形細(xì)繩重心位置的計(jì)算公式的應(yīng)用

用質(zhì)量均勻分布的圓弧形細(xì)繩重心位置的計(jì)算公式,對上述靜力學(xué)競賽問題解析如下．

以滑輪、重物以及與滑輪接觸的半圈繩子為研究對象,其受力分析如圖3所示,由平衡條件得

(1)

圖3 受力分析

圖4 受力分析

對滑輪左側(cè)的BC段繩(研究對象),根據(jù)力矩平衡條件有

(2)

(3)

由(1)～(3)式易得

(4)

顯然,(4)式與文獻(xiàn)[1]所得結(jié)果相同,殊途同歸．

2 應(yīng)用功和能的關(guān)系求解

仔細(xì)研究后發(fā)現(xiàn),該題也可以通過巧妙的設(shè)想物理過程,恰當(dāng)?shù)倪x擇研究對象,然后根據(jù)功和能的關(guān)系,不用高等數(shù)學(xué)知識而僅用初等數(shù)學(xué),簡潔求解．

圖5 巧妙設(shè)想物理過程

巧妙設(shè)想物理過程: 設(shè)想把懸掛點(diǎn)A提升一個(gè)極小位移Δx到A′位置,同時(shí)讓懸掛點(diǎn)O下降同樣的極小位移Δx到O′位置,這樣使得滑輪和重物位置沒有發(fā)生移動,如圖5所示．

(5)

對重物、滑輪和全部細(xì)繩整體,由平衡條件易得

(6)

由(5)、(6)式得

(7)

(7)式與(4)式相同,殊途同歸．

3 結(jié)束語