周逸群，羅建軍，王明明,*

1. 西北工業(yè)大學(xué) 深圳研究院，深圳 518057 2. 西北工業(yè)大學(xué) 航天動力學(xué)國家重點實驗室，西安 710072

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，人們未來需要在太空中進(jìn)行更多復(fù)雜的艙外任務(wù)。與航天員相比，空間機(jī)器人在執(zhí)行在軌任務(wù)方面具有諸多優(yōu)勢。自20世紀(jì)80年代以來，空間機(jī)器人已被用于大型航天器上的許多航天任務(wù)，并成為實現(xiàn)在軌服務(wù)任務(wù)最重要的途徑之一。典型實例有“工程試驗衛(wèi)星7號(Engineering Test Satellite VII, ETS-VII)”[1]、“軌道快車(Orbit Express, OE)”[2]、“鳳凰計劃(Phoenix)”[3]、“德國軌道服務(wù)任務(wù)(Deutsche Orbitale Servicing Mission, DEOS)”[4]等。由單臂到多臂、由遙操作到自主、由合作目標(biāo)到非合作目標(biāo)是空間機(jī)器人技術(shù)發(fā)展的主要趨勢[5]。

與單臂機(jī)器人相比，多臂機(jī)器人所能處理的載荷更多，靈活性也更高。但與此同時，多臂協(xié)調(diào)操作的復(fù)雜性也更大。為操作所抓捕的目標(biāo)，機(jī)器人需要對目標(biāo)施加適當(dāng)?shù)耐饬?，以實現(xiàn)目標(biāo)的期望運動。由于多臂操作的冗余性，各機(jī)械臂所施加的外力組合是不唯一的。因此可以按照一定指標(biāo)，將目標(biāo)的期望合外力合理地分配到各機(jī)械臂。機(jī)械臂施加力可分為操作力和內(nèi)力兩部分，前者驅(qū)動目標(biāo)運動，后者對目標(biāo)運動沒有影響。Alberts和Soloway[6]將載荷分配轉(zhuǎn)化為線性約束二次優(yōu)化問題，并提出權(quán)重因子以平衡分配末端力，在載荷分配問題中引入了權(quán)重廣義逆。Walker等[7]提出了一種避免操作力在目標(biāo)內(nèi)部產(chǎn)生擠壓，從而消除內(nèi)力的載荷分配方案，并指出這種抓取矩陣廣義逆是惟一的。Bonitz和Hsia[8]將這種方法應(yīng)用于相互作用力的分析，以實現(xiàn)操作力和內(nèi)力的解耦。但Chung等[9]對這一結(jié)果提出了質(zhì)疑，認(rèn)為使用Moore-Penrose逆作為權(quán)重廣義逆才可以消除內(nèi)力。Kumar和Waldron[10]則將內(nèi)力定義為任意2個機(jī)械臂末端施加力在它們幾何連線上的投影之差，但沒能將這一概念擴(kuò)展至內(nèi)力矩。Yoshikawa和Nagai[11]提出了一種幾何啟發(fā)式的內(nèi)力定義，試圖解決使用廣義逆不一致的問題。Williams和Khatib[12]提出內(nèi)力的另一種表征，其中機(jī)械臂的組合近似為鉸接機(jī)制，內(nèi)力被解釋為鎖定這一機(jī)制所需的驅(qū)動力，但沒有考慮末端力對產(chǎn)生的扭矩的影響。Erhart和Hirche[13]提出了一種新定義，認(rèn)為內(nèi)力的產(chǎn)生是由于對運動約束的違反，并指出無擠壓的載荷分配是不唯一的，這為選擇合適的載荷分配方案提供了額外的自由度。

除多臂協(xié)調(diào)操作外，載荷分配在多指手抓取中也發(fā)揮著重要作用。在上述研究中，機(jī)械臂末端與目標(biāo)表面通常設(shè)定為固聯(lián)形式，但在實際中更類似于多指手抓取物體，機(jī)械臂末端的運動與目標(biāo)上的抓捕點并非完全相符，施加于目標(biāo)的接觸力必須符合接觸點處的摩擦約束，這就要求合理地規(guī)劃抓捕點布局和各臂所施加的抓捕力，以保持抓取穩(wěn)定并實現(xiàn)期望的目標(biāo)運動。抓取力的優(yōu)化可以描述為非線性規(guī)劃問題，即按照所設(shè)的目標(biāo)函數(shù)，尋找既能平衡目標(biāo)所受外力又能滿足接觸點處的摩擦錐約束條件的最優(yōu)接觸力。Nakamura等[14]用Lagrange乘子法進(jìn)行抓取力的非線性規(guī)劃，將摩擦錐作為非線性約束條件，摩擦力的最小范數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)。由于摩擦錐約束的高度非線性，這一問題的求解計算量往往很大，為此人們通常利用其特殊的幾何特性將約束線性化。Buss等[15]將非線性的摩擦約束條件替換為一個對稱矩陣的正定性判定條件，從而將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成具有線性約束的黎曼流形的最優(yōu)化問題。王濱[16]和Borgstrom[17]等分別利用Lagrange乘子法和懲罰函數(shù)法調(diào)節(jié)法向接觸力的權(quán)值，以使抓取力滿足摩擦錐約束，并通過梯度流算法優(yōu)化抓取力。Cornellà等[18]提出了一種基于對偶原理的非線性規(guī)劃方法。陳棟金等[19]將任意外力分解為單位力的線性組合，對基礎(chǔ)抓取力按同樣規(guī)律組合，得到滿足約束的抓取力初值。陳金寶等[20]提出了基于序列二次規(guī)劃算法的fmincon函數(shù)，并采用關(guān)節(jié)阻抗控制算法控制各指接觸力，能夠快速進(jìn)行抓取力非線性規(guī)劃。王新慶等[21]將外力分為12個單位力向量的線性組合，先離線計算得到力優(yōu)化問題的初值，再結(jié)合半正定規(guī)劃算法進(jìn)行動態(tài)力優(yōu)化。Kerr和Roth[22]最早提出用棱錐代替摩擦錐，將非線性的摩擦錐約束轉(zhuǎn)化為接觸力基向量的線性組合約束，提出抓取力優(yōu)化的線性規(guī)劃算法。Sinha[23]和Barkat[24]等采用二次規(guī)劃算法計算滿足非線性摩擦約束的最小接觸力。Jia等[25]建立了一種基于關(guān)鍵約束集的實時有效算法，直接優(yōu)化關(guān)節(jié)力矩，便于靈巧手的控制。Cloutier和Yang[26]對抓取力優(yōu)化的線性法、非線性法和線性矩陣不等式法進(jìn)行了比較研究?？傮w來說，抓取力規(guī)劃的非線性規(guī)劃方法的計算結(jié)果比較準(zhǔn)確，但計算量大，通常是離線進(jìn)行的。線性規(guī)劃方法的計算量較小，但由于對摩擦模型進(jìn)行了近似處理，所得結(jié)果較為保守。

現(xiàn)有的有關(guān)載荷分配的研究大都針對地面機(jī)械臂或多指手，在空間機(jī)器人領(lǐng)域尚未得到應(yīng)用。已有的研究大多僅考慮目標(biāo)的幾何特性，沒有考慮機(jī)械臂所能施加的接觸力等限制條件。抓取的對象多為靜止物體，難以適用于多臂操作目標(biāo)運動的情況。本文旨在提出一種綜合考慮目標(biāo)與機(jī)械臂特性，應(yīng)用于多臂空間機(jī)器人抓捕目標(biāo)后的載荷分配方法。在給定目標(biāo)期望運動的條件下，計算各臂滿足摩擦約束和機(jī)械臂能力約束的最小抓捕力。為降低計算量，采用線性規(guī)劃方法，將軟指接觸模型線性化。根據(jù)目標(biāo)與機(jī)器人的動力學(xué)特性和運動約束，建立關(guān)節(jié)扭矩約束。將求解最優(yōu)接觸力的非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題。

本文組織如下：第1節(jié)介紹抓捕后階段空間機(jī)器人及目標(biāo)組合體的動力學(xué)。第2節(jié)建立軟指接觸條件下的摩擦力約束及運動約束。第3節(jié)將摩擦錐約束線性化，并推導(dǎo)組合體中關(guān)節(jié)扭矩約束的形式，建立載荷分配的線性規(guī)劃方法。第4節(jié)展示對于目標(biāo)各種形式的期望運動，所提接觸力優(yōu)化方法的有效性。第5節(jié)給出結(jié)論。

1 動力學(xué)模型

1.1 空間機(jī)器人動力學(xué)

在抓捕后階段，空間機(jī)器人與目標(biāo)構(gòu)成一個組合體。如圖1所示，雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)由基座和2條n自由度的機(jī)械臂組成，共包含2n+1個剛體。

表1給出了空間機(jī)器人系統(tǒng)中運動學(xué)和動力學(xué)符號的含義。在本文中，如無特別說明，所有參數(shù)都表示在與之固聯(lián)的剛體坐標(biāo)系中。En和0n分別表示n×n的單位矩陣和零矩陣。參數(shù)的上標(biāo)a或b分別表示與臂a或臂b相關(guān)的項。下標(biāo)b、m、e、t分別表示與基座、機(jī)械臂、末端執(zhí)行器或目標(biāo)相關(guān)的項。上標(biāo)l(l=a,b)為接觸點編號，下標(biāo)i(i=1,2,…,n)為連桿編號。

表1 本文所用運動學(xué)和動力學(xué)符號Table 1 Kinematic and dynamic symbols used in this paper

根據(jù)Lagrange力學(xué)，空間機(jī)器人動力學(xué)方程表示為[27]

(1)

或簡寫為

(2)

對于自由漂浮空間機(jī)器人，fb=0，動力學(xué)方程可以改寫為

(3)

(4)

1.2 目標(biāo)動力學(xué)

目標(biāo)的動力學(xué)方程表示為[27]

(5)

(6)

×為3維叉乘因子，其具體形式為

(7)

(8)

2 機(jī)械臂與目標(biāo)的接觸模型

在實際情況下，機(jī)械臂與所抓捕目標(biāo)之間往往并非固聯(lián)，而是類似于多指手抓取的形式。這種情況下，機(jī)械臂末端與目標(biāo)的運動并不完全一致，指尖只能在某些方向上對目標(biāo)施加力和力矩，接觸力受到摩擦約束的限制。指尖和物體有3種基本的接觸形式：無摩擦點接觸(Frictionless Point Contact, FPC)、有摩擦點接觸(Point Contact with Friction, PCwF)和軟指接觸(Soft-Finger Contact, SFC[25])。其中，軟指接觸最接近實際情況。令接觸點l(l=a,b)坐標(biāo)系的z軸沿目標(biāo)表面法向并指向其內(nèi)部，x軸和y軸組成的平面垂直于目標(biāo)表面法向。

(9)

此時接觸力的方向局限于接觸點的法向軸線，并指向目標(biāo)內(nèi)部。

(10)

由式(10)表示的法向壓力與切向摩擦力的約束在幾何上可以表示為一個頂點位于接觸點，以法向壓力為軸的圓錐，稱為摩擦錐。

(11)

或

(12)

式(11)和式(12)分別稱為軟指接觸的線性模型和橢球模型。在法向壓力固定的情況下，切向摩擦力和摩擦力矩在幾何上可分別表示為一個3維雙錐體和3維橢球體。

圖2展示了三類接觸模型。

在軟指接觸的情形下，機(jī)械臂末端施加于目標(biāo)的6維力螺旋為

(13)

(14)

和

(15)

(16)

3 抓捕力優(yōu)化問題

3.1 優(yōu)化問題

多臂抓捕目標(biāo)的載荷分配問題可以表述為一個多約束優(yōu)化問題。機(jī)械臂末端與目標(biāo)間為軟指接觸形式。為避免接觸力過大損壞目標(biāo)，這里設(shè)定各抓捕點的法向壓力之和最小化作為優(yōu)化目標(biāo)。約束條件包括式(5)所代表的動力學(xué)約束、式(11) 或式(12)所代表的摩擦約束，以及由關(guān)節(jié)扭矩上限所決定的機(jī)械臂能力約束等。具體形式為

(17)

為減少計算量，下面將摩擦約束線性化，并建立 機(jī)械臂能力約束形式。

3.2 摩擦約束的線性化

由于摩擦錐約束的非線性，在抓捕力規(guī)劃問題中直接運用起來比較困難。此時可以通過線性化方法，將其轉(zhuǎn)化為線性約束。

(18)

(19)

或

(20)

式中：nl=2JK-J+2；Sl∈R4×nl為接觸力基向量的并列形式；λl∈Rnl為其系數(shù)向量。各抓捕點接觸力的并列可表示為

(21)

式中：S=diag(Sa,Sb)；λ=[(λa)T,(λb)T]T為其系數(shù)向量。

將接觸力轉(zhuǎn)換到目標(biāo)坐標(biāo)系，得到：

(22)

(23)

式中：W=[Wa,Wb]∈R6×(na+nb)為所有接觸點原始力螺旋組成的矩陣。

3.3 機(jī)械臂能力約束

在空間機(jī)器人運動過程中，關(guān)節(jié)扭矩既要為末端抓捕目標(biāo)提供期望的接觸力，又要驅(qū)動機(jī)器人的運動。因此，機(jī)械臂能力約束同時受到機(jī)器人和目標(biāo)的運動學(xué)和動力學(xué)因素的影響。

對式(16)兩邊求導(dǎo)，可得機(jī)械臂與目標(biāo)間的加速度級運動約束：

(24)

由式(14)和式(15)分別可得

(25)

(26)

將式(25)和式(26)代入式(24)，得到

(27)

忽略與速度相關(guān)的偏差項，可得：

(28)

將式(28)代入式(3)，得

(29)

(30)

經(jīng)過以上處理，優(yōu)化問題式(17)可以改寫為

(31)

通過對摩擦約束和機(jī)械臂能力約束的處理，原接觸力非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為原始力螺旋系數(shù)的線性規(guī)劃問題。

3.4 優(yōu)化算法

如式(31)所示，載荷分配問題可轉(zhuǎn)化為一個包含等式約束和不等式約束的線性規(guī)劃問題。本文采用原始-對偶內(nèi)點法[28]解決該優(yōu)化問題。

對于線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式：

(32)

式中:A和b分別為不等式約束系數(shù);Aeq和beq分別為等式約束系數(shù);l和u分別為優(yōu)化對象的下、上邊界。引入松弛變量s和t，將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束：

(33)

式中：

(34)

初始值x0設(shè)為下邊界值。設(shè)Lagrange乘子分別為y、v、w，得到Lagrange方程：

(35)

系統(tǒng)的KTT條件為

(36)

算法首先根據(jù)Newton-Raphson公式預(yù)測一步，然后計算校正步。Newton-Raphson步驟為

(37)

式中：X、V、W、T分別為對應(yīng)x、v、w、t的對角矩陣，最右項為剩余向量。式(37)可轉(zhuǎn)化為對稱矩陣形式：

(38)

式中：

(39)

式(38)經(jīng)轉(zhuǎn)換可得到：

(40)

求解該方程得到Δy后，代入式(37)和式(38)即可得到剩余迭代向量，通過逐步迭代得到目標(biāo)函數(shù)變量的收斂值。

4 仿真驗證

4.1 仿真模型

為了驗證所提載荷分配方法的實用性，本節(jié)給出采用冗余雙臂空間機(jī)器人抓捕目標(biāo)的仿真實例。空間機(jī)器人模型如圖1所示，兩臂各有7個自由度，基座有6個自由度?？臻g機(jī)器人的運動學(xué)和動力學(xué)參數(shù)如表2所示，其中ai、bi和Ii均表示在其本體坐標(biāo)系中。

表2 空間機(jī)器人的運動學(xué)與動力學(xué)參數(shù)Table 2 Kinematic and dynamic parameters of space robot

所抓捕的目標(biāo)的質(zhì)量mt=40 kg，轉(zhuǎn)動慣量It=diag(16.80,24.36,25.68) kg·m2，2個抓捕點的位置為rg=[0,±1.006,0]Tm。以上參數(shù)均表示在目標(biāo)坐標(biāo)系中。

兩機(jī)械臂末端與目標(biāo)間的摩擦力系數(shù)和摩擦力矩系數(shù)分別為μ=0.3,γ=0.4。線性化摩擦錐參數(shù)為J=20,K=1。關(guān)節(jié)扭矩幅值τmax=20。

數(shù)值仿真的基本步驟如下：

步驟1根據(jù)式(18)～式(23)，離線計算矩陣Jt、S和W。

步驟2對目標(biāo)進(jìn)行運動規(guī)劃，獲得目標(biāo)的期望運動信息(位姿、速度、加速度)。

步驟4根據(jù)式(5)計算期望合外力。

步驟5通過3.4節(jié)所示原始-對偶內(nèi)點法求解優(yōu)化問題式(31)，得到最優(yōu)接觸力。

4.2 仿真實例

4.2.1 場景1：目標(biāo)的平移運動

首先考慮空間機(jī)器人操作目標(biāo)進(jìn)行平移的情形。目標(biāo)運動軌跡可采用5階Bézier曲線參數(shù)化：

(41)

兩機(jī)械臂末端接觸力的仿真結(jié)果如圖4所示。未發(fā)生違反摩擦約束或機(jī)械臂能力約束的情況。在目標(biāo)的平移過程中，兩臂施加的力矩接近于零。由于目標(biāo)僅在x方向運動，所施加的y方向的摩擦力為零，x方向的摩擦力則與加速度變化趨勢一致。在z方向(即目標(biāo)表面法向)，兩機(jī)械臂需要施加一定的法向壓力以產(chǎn)生期望的摩擦力，其變化趨勢與摩擦力的幅值基本一致。

4.2.2 場景2：目標(biāo)的自旋運動

空間機(jī)器人抓捕非合作目標(biāo)后，通常需要施加力矩消除目標(biāo)的自旋運動。本文采用x-y-z順序的歐拉角φ=[α,β,γ]T表示目標(biāo)自旋運動，其軌跡可采用歸一化時間的初等函數(shù)表示：

φi(τ)=kiexp(-τ)+aiτ2+biτ+ci

(42)

(43)

仿真結(jié)果如圖6所示。未發(fā)生違反約束的情況。在目標(biāo)自旋過程中，兩臂所施加力矩的變化趨勢與目標(biāo)角加速度相同。為產(chǎn)生期望的摩擦力矩，兩機(jī)械臂需要施加一定的法向壓力和切向摩擦力以保持接觸，并呈指數(shù)衰減趨勢。隨著目標(biāo)自旋運動的消除，兩臂接觸力均收斂至零。

4.2.3 場景3：目標(biāo)的混合運動

圖8給出了兩機(jī)械臂末端接觸力的仿真結(jié)果。此時所需的合外力較大，在個別時刻出現(xiàn)了接近或達(dá)到關(guān)節(jié)扭矩約束邊界的情況，接觸力矩和接觸力出現(xiàn)了振動。同時，由于目標(biāo)的平移與自旋，兩臂所施加的力矩與力不再對稱，呈現(xiàn)更為復(fù)雜的變化。

5 結(jié) 論

載荷分配是空間多臂機(jī)器人在軌操控的前提條件，其主要任務(wù)為按照一定的衡量指標(biāo)，將抓捕目標(biāo)的期望合外力轉(zhuǎn)化為各機(jī)械臂施加的滿足約束條件的抓捕力。本文關(guān)于空間機(jī)器人載荷分配的研究成果包括：

1) 在地面機(jī)械臂及多指手抓取的基礎(chǔ)上，將載荷分配研究應(yīng)用至空間機(jī)器人，進(jìn)行抓捕目標(biāo)后的抓捕力規(guī)劃。

2) 載荷分配問題同時考慮了摩擦約束和機(jī)械臂能力約束，將摩擦約束線性化，并建立綜合考慮目標(biāo)與機(jī)械臂因素的關(guān)節(jié)扭矩約束，將原非線性規(guī)劃問題簡化為線性規(guī)劃問題。

3) 對雙臂空間機(jī)器人抓捕目標(biāo)后，目標(biāo)平移、自旋等不同運動狀態(tài)下的數(shù)值仿真，驗證了在滿足約束的前提下所提方法針對復(fù)雜運動狀態(tài)的有效性。