王世芳,吳 濤,蘇 怡

(1.湖北第二師范學(xué)院 理論物理研究所， 武漢 430205;2.武漢工程大學(xué) 光學(xué)信息與模式識(shí)別湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430205)

1 引言

自20世紀(jì)60年代以來，在油田開發(fā)過程中越來越多的使用聚合物溶液、泡沫液和乳狀液等非牛頓流體作為驅(qū)油劑，因此研究非牛頓流體的滲流規(guī)律具用重要的現(xiàn)實(shí)意義。非牛頓流體的顯著特征是流量和壓力梯度不滿足線性關(guān)系。目前，諸多文獻(xiàn)研究了各種流體在多孔介質(zhì)中的傳熱傳質(zhì)特性，取得了較大的研究進(jìn)展[1]-[6]。文獻(xiàn)[4]研究了冪律型流體在多孔介質(zhì)作平面平行流的滲透率分形模型，得到了冪律流體有效滲透率隨冪律指數(shù)n的增加而增加的結(jié)論。文獻(xiàn)[6]研究了冪律流體在樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)中的有效滲透率和相對(duì)滲透率的解析表達(dá)式。盡管這些研究結(jié)果有助于人們理解冪律流體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)機(jī)理，但是冪律流體在多孔介質(zhì)中作球向流動(dòng)的研究鮮有報(bào)道。

2 冪律流體在多孔介質(zhì)中球向滲流的滲透率分形模型

球向滲流模型假設(shè)毛細(xì)管沿球徑向分布，該模型是石油開采中的一個(gè)重要模型。一般在沒有完全射開的油層開采時(shí)，球向滲流模型更符合實(shí)

圖1 多孔介質(zhì)中冪律流體球向滲流的示意圖

際情況[7]。三維的球向滲流廣泛應(yīng)用于油、水、氣等儲(chǔ)集層，流體從井筒外部向滲流中心(即井筒中心)流動(dòng)，其中r為滲流區(qū)域的半徑，r0為井筒半徑，圖1為多孔介質(zhì)中冪律流體球向滲流的示意圖。

假定多孔介質(zhì)的孔隙大小分布滿足分形分布，在一個(gè)多孔介質(zhì)代表性單元體內(nèi)，孔隙直徑大于或等于λ的累計(jì)孔隙數(shù)目可以表示為[8]：

(1)

對(duì)上式微分，于是得到：

dN=Dfλmaxλ-(Di+1)dλ

(2)

其中Df與λmax分別代表孔隙面積分形維數(shù)及最大孔隙直徑。

多孔介質(zhì)的孔隙總面積可以寫成；

(3)

由孔隙率的定義得一個(gè)代表性單元的總橫截面積為：

(4)

其中代表性單元體面孔隙率φ與分形維數(shù)Df的關(guān)系滿足下列關(guān)系式[2]：

(5)

其中dE為歐幾里得空間維度數(shù)，在二維歐氏空間dE=2，在三維歐氏空間dE=3，下面我們推導(dǎo)多孔介質(zhì)中冪律流體球向滲流的滲透率。

多孔介質(zhì)的毛細(xì)管一般是彎曲的，毛細(xì)管的實(shí)際長度可表示為：

Lt=rDTλ1-DT

(6)

迂曲度分形維數(shù)Dr代表了毛細(xì)管的彎曲程度，其值越大代表毛細(xì)管越彎曲。

冪律流體流過單根彎曲毛細(xì)管的流量為：

(7)

通過積分得到冪律流體流過球形多孔介質(zhì)某個(gè)截面的總流量為:

(8)

(9)

則冪律流體流過半徑為r的球形橫截面的平均流速為：

(10)

令式(10)中，上式就可以表示為牛頓流體在半徑為r處的平均流速：

(11)

方程(11)與苗同軍[21]模型結(jié)果一致，從而說明了本模型的正確性。

接下來我們要推導(dǎo)冪律流體的視粘度μa。冪律流體在毛細(xì)管管壁處所受的剪切應(yīng)力τw與壓強(qiáng)梯度滿足下面關(guān)系式：

(12)

聯(lián)立公式(2)和(12)，推導(dǎo)出總剪切應(yīng)力為：

(13)

根據(jù)冪律流體的視粘度定義為：

(14)

冪律流體的本構(gòu)方程為：

(15)

根據(jù)式(13)(14)和(15)，推導(dǎo)出冪律流體的視粘度為：

(16)

冪律流體滲流滿足的廣義達(dá)西定律為[4]：

(17)

根據(jù)(11)(16)(17)從而推導(dǎo)出冪律流體在半徑r處球形橫截面的有效滲透率公式為：

(18)

如果n=1，上式(18)可以簡化為：

(19)

上式(19)表示多孔介質(zhì)中牛頓流體在離球中心r處有效球向滲透率，此結(jié)論與苗同軍[21]研究的結(jié)論一致；式(18)表示在多孔介質(zhì)中冪律流體球向滲流時(shí)的有效滲透率分形表達(dá)式。式(18)中包含分形維數(shù)DP、Dr，最大孔隙直徑λmax，最小孔隙直徑λmin及半徑r，沒有任何經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，每一個(gè)物理量都有意義。所以式(18)反映了多孔介質(zhì)中冪律流體球向滲流的有效滲透率的物理機(jī)理。當(dāng)r=r0時(shí)，式(18)可以寫為

(20)

式(20)表示冪律流體在球形井筒壁處的有效滲透率，為了得到歸一化滲透率，用式(18)除以式(20)，得到冪律流體球向流動(dòng)時(shí)無量綱滲透率：

(21)

方程(21)反映了冪律流體無量綱球向滲透率只取決于迂曲度分形維數(shù)DT、井筒的半徑r0和滲流半徑r，與冪指數(shù)n無關(guān)。此結(jié)果與文獻(xiàn)[20]研究的結(jié)果形式相同，該表達(dá)式也說明了無量綱滲透率與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，僅取決于多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)參數(shù)和滲流半徑及井筒半徑。

3 結(jié)果分析

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，我們將得到的無量綱滲透率模型(式21)與Chang和Yorttsos[9]提出的滲透率模型作比較：

(22)

其中θ是分形網(wǎng)絡(luò)的譜指數(shù)，是無量綱參數(shù)，一般是由分形多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)參數(shù)來確定，一般由蒙特卡洛模擬方法確定。

方程(22)也可表示為無量綱滲透率：

(23)

圖2 本模型(式21)與Chang and Yortsos’s模型Eq.(23)的比較，賦值參數(shù)如下：DT=1.7，φ=0.4，θ=1，DP=1.5。對(duì)于大多數(shù)多孔介質(zhì)來說，孔隙率一般在0.1～0.5之間，本文孔隙率φ=0.4。從圖2可以看出：滲流半徑r越大，無量綱球向滲透率越小，當(dāng)r>r0時(shí)，無量綱球向滲透率趨近于零。這是因?yàn)榘霃絩越大，球形橫截面上毛細(xì)管的數(shù)目越少，從而導(dǎo)致無量綱滲透率越小，這和現(xiàn)實(shí)情況相吻合。從圖2中也可以看出我們的模型與已有的Chang and Yortsos模型吻合的非常好，這說明我們的模型是正確的。

圖2 顯示了冪律流體無量綱球向滲透率隨徑向半徑比r/r0的變化關(guān)系

圖3顯示了球向有效滲透率(式18)和迂曲度分形維數(shù)DT的關(guān)系，所用參數(shù)賦值如下：r0=0.1m，r=100m，n=1.1。我們發(fā)現(xiàn)冪律流體球向有效滲透率隨迂曲度分形維數(shù)的增大而變小。這是因?yàn)橛厍确中尉S數(shù)越大，說明冪律流體流動(dòng)路徑越彎曲，冪律流體所受的流動(dòng)阻力越大，導(dǎo)致滲透率越小，這與實(shí)際情況相符。另外，還可以看出孔隙率越大，冪律流體球向有效滲透率越大。這是因?yàn)榭紫堵试酱?，流體流動(dòng)越容易，滲透率越高，這也與實(shí)際情況相符。

圖4顯示了有效球向滲透率隨冪指數(shù)的變化關(guān)系圖，所用參數(shù)賦值如下：r0=0.1m，r=10m，DT=1.2。從圖4中我們發(fā)現(xiàn)冪律流體的冪指數(shù)n越大，球向有效滲透率越大。這是因?yàn)閮缏闪黧w的冪指數(shù)越大，表明非牛頓流體特征越弱，從而導(dǎo)致滲透率越大。

圖3 冪律流體球向滲透率隨孔隙率及迂曲度分形維數(shù)的變化關(guān)系

圖4 冪律流體球向有效滲透率隨冪指數(shù)的變化關(guān)系圖

4 結(jié)論

本文根據(jù)冪律流體滿足的達(dá)西定律和多孔介質(zhì)的分形幾何理論，推導(dǎo)出了多孔介質(zhì)中冪律流體球向滲流時(shí)的有效滲透率，該有效滲透率方程與多孔介質(zhì)微結(jié)構(gòu)參數(shù)和冪律流體的特性有關(guān)，每個(gè)物理量物理含義明確。