梁桂珍,方慧文,2,王偉杰

（1.新鄉(xiāng)學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南新鄉(xiāng)453003；2.鄭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南鄭州450001）

長期以來,人們與各種疾病做著不屈不撓的斗爭,傳染病的防治仍是當前世界各國公共衛(wèi)生工作的重要內(nèi)容之一.在傳播過程中,傳染病往往隨著病情的發(fā)展,病毒自身易發(fā)生變異,則易導致疾病失控[1].如每年爆發(fā)的流感會以其中一種病毒形態(tài)表現(xiàn)出來,發(fā)作的病毒毒株還會發(fā)生或大或小的變異,也可能兩種病毒同時發(fā)作.近年來,數(shù)學模型已成為研究傳染病的重要工具,預測每次到來的傳染病疾病的流行趨勢[2-6].通過對傳染病模型的動力學分析,將對了解疾病,控制病毒傳播提供強有力的理論依據(jù).通常我們研究的是具有潛伏期的單獨存在的病毒傳染的SEIR模型,現(xiàn)今研究具有病毒變異的論文還不多.傅金波等[7]、吳紅良等[8]、程曉云等[9]分別研究了具有l(wèi)ogistic增長的SIRS、SIR、SIQS傳染病模型的穩(wěn)定性分析；Andrei[10]研究了具有多種病毒傳染的SEIR傳染病模型,患有多種不同病毒的染病者均具有傳染能力,多種不同病毒是單獨存在的,之間不是變異的關系,得到了模型全局性態(tài)的結果；李冬梅等[11]建立了潛伏期具有常數(shù)輸入率的SEIR模型,得到了模型僅存在地方性平衡點,并且是全局穩(wěn)定的結論.傳染病在傳播過程中,病毒易發(fā)生變異,會對疾病防控產(chǎn)生一定的影響,研究帶病毒變異的模型,能夠了解疾病傳播規(guī)律,為采取科學有效的防控措施提供理論依據(jù).

1 模型建立

有些傳染病在傳播期存在一定的潛伏期,易感者染病后在一個周期內(nèi)才會顯現(xiàn)出來.在疾病傳播的過程中,病毒易發(fā)生變異.在本文中,將人群分為易感者、潛伏者、感染者和恢復者,其中感染者分為病毒變異前的感染者和病毒變異后的感染者,他們均具有感染性.我們假定只有易感者具有生育能力,并考慮環(huán)境容納量這一因素,則易感人群增長量為Logistic增長,建立的模型為

式（1）中：S = S( t), E = E( t), I1=I1(t), I2= I2( t), R =R( t ),分別表示t時刻易感者、潛伏者、變異前病毒的感染者、變異后病毒的感染者、恢復者的數(shù)量,K表示環(huán)境容納量,d表示種群的自然死亡率,ε是潛伏者轉變成變異前患者的比率系數(shù),u是變異前患者轉變?yōu)樽儺惡蠡颊叩谋嚷氏禂?shù),β1和β2分別表示變異前患者和變異后患者的傳染率系數(shù),γ1和γ2分別表示變異前患者和變異后患者的恢復率系數(shù),a1和a2分別表示變異前患者和變異后患者的因病死亡率系數(shù).為了使模型具有生物意義,該模型的所有參數(shù)都為正.

模型（1）的前四個式子不含R,現(xiàn)考慮傳染病模型

顯然,模型的正向不變集為

2 模型平衡點的存在性

3 平衡點的穩(wěn)定性

4 數(shù)值模擬

通過數(shù)值模擬來驗證模型（2）中無病平衡點的漸近穩(wěn)定性,令參數(shù)K=4,r=0.5,β1=0.1，β2=0.2,d=0.2,ε=0.5,r1=0.8,r2=0.3,α1=0.01,α2=0.02,u=0.3則 基 本 再 生 數(shù)R0=0.28＜1取S（0）=0.3,E（0）=0.5,I1（0）=0.1,I2（0）=0.1并利用Matlab軟件進行數(shù)值模擬,得到模型（2）解的漸近穩(wěn)定性態(tài)見圖一,表明模型（2）的無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的,即疾病最終消除.

圖1 無病平衡點的穩(wěn)定性Fig.1 Stability of the disease-free equilibriumpoint

同理,令參數(shù)K=2,r=0.2,β1=0.5,β2=0.4,d=0.1,ε=0.7,r1=0.5,r2=0.1,α1=0.01,α2=0.02,u=0.3則基本再生數(shù)R0=4.02＞1,取初始條件S（0）=0.3,E（0）=0.5,I1（0）=0.1,I2（0）=0.1并利用MATLAB軟件進行數(shù)值模擬,得到模型（2）解的漸近穩(wěn)定性態(tài)見圖2,表明模型（2）的地方病平衡點是漸近穩(wěn)定的.

圖2 地方病平衡點的穩(wěn)定性Fig.2 Stability of the endemic disease equilibriumpoint

5 結論與展望

本文利用數(shù)學模型,研究了一類具有Logistic增長和病毒變異的SEIR傳染病的傳播和影響.通過對模型分析得到了該傳染病絕滅與否的基本再生數(shù)的表明表達式,證明了以下結論,當R0＜1時,無病平衡點P0（S0,E0,I10,I20）是全局漸近穩(wěn)定的,即傳染病最終消除；當R0＞1時,存在唯一地方病平衡點P*（S*,E*,I1*,I2*）是全局漸近穩(wěn)定的,則疾病將流行.我們還通過數(shù)值模擬驗證了結論的正確性,對具有病毒變異的傳染病的防控提供了理論依據(jù).但是在我們的模型中假設只有易感者具有生育能力,而垂直傳播的因素的影響還需要在我們今后的工作中進一步的進行研究.