李艷杰 佟福奇

沈陽理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 沈陽 110159

1 分析背景

倒立擺系統(tǒng)是一個非線性、強(qiáng)耦合、多變量自然不穩(wěn)定系統(tǒng),需要采用有效的控制策略。基于倒立擺系統(tǒng),可以檢驗控制理論與方法的合理性、有效性。軍工、航天及一般工業(yè)中的很多問題都可以簡化為倒立擺系統(tǒng),如人型機(jī)器人行走過程中的平衡控制問題、航天飛行器飛行中的姿態(tài)控制問題等。

單級倒立擺系統(tǒng)可以簡化為小車和擺桿兩部分。小車由電機(jī)帶動,沿直線軌道移動。擺桿與小車鉸接,可繞鉸接點旋轉(zhuǎn)。單級倒立擺系統(tǒng)的控制目標(biāo)是通過向小車施加控制力,使小車停留在期望的位置,并且擺桿豎直向上。

自20世紀(jì)50年代美國麻省理工學(xué)院設(shè)計出一級倒立擺實驗裝置以來,眾多學(xué)者對單級倒立擺系統(tǒng)的控制與仿真進(jìn)行了大量研究。楊世勇等[1]對單級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了比例積分微分控制研究。李秋菊等[2]針對單級倒立擺系統(tǒng)提出一種基于廣義擴(kuò)展線性化的非線性控制方法,并進(jìn)行了仿真分析。蒲建波等[3]在Matlab軟件中建立單級倒立擺系統(tǒng)的線性化仿真模型,進(jìn)行多種控制方法的仿真對比。

筆者針對單級倒立擺系統(tǒng)設(shè)計了雙比例積分微分控制、極點配置控制、線性二次型調(diào)節(jié)器控制三種控制方案[4-10],在單級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上,應(yīng)用Matlab/Simulink軟件Simscape子模塊建立單級倒立擺系統(tǒng)的物理仿真模型,進(jìn)行控制方案的對比與分析。

2 單級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

忽略空氣阻力及擺桿與支點之間等各種次要摩擦阻力后,將直線單級倒立擺系統(tǒng)抽象為由小車和勻質(zhì)剛性擺桿組成的系統(tǒng),如圖1所示。

圖1 單級倒立擺系統(tǒng)

對小車和擺桿進(jìn)行受力分析后,運用牛頓第二定律,得到小車和擺桿在水平、豎直方向共四個力的平衡方程,以及擺桿繞質(zhì)心的力矩平衡運動方程。消去大小相等的小車和擺桿之間的水平、豎直方向相互作用力后,可以得到單級倒立擺系統(tǒng)的運動方程,為:

(1)

(2)

式中:M為小車質(zhì)量;m為擺桿質(zhì)量;I為擺桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量;l為擺桿質(zhì)心與轉(zhuǎn)動軸心間的距離;b為小車與導(dǎo)軌之間的黏性摩擦系數(shù);g為重力加速度;θ為擺桿與豎直向下方向之間的夾角;F為施加在小車上的作用力;x為小車水平位移。

可見,單級倒立擺系統(tǒng)具有非線性、強(qiáng)耦合的特點。φ為擺桿與豎直向上方向之間的夾角,為了便于設(shè)計控制器,可以在φ為0°時對系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理。

用u代表施加在小車上的作用力F,得到線性化后運動方程為:

(3)

(4)

(5)

(6)

單級倒立擺系統(tǒng)具體參數(shù)如下:M為0.2 kg,m為0.5 kg,I為0.006 kg·m2,l為0.3 m,b為0.1 N/(m·s)。將參數(shù)代入式(5),可得狀態(tài)空間方程中的系統(tǒng)矩陣A為:

輸入矩陣B為:

3 單級倒立擺系統(tǒng)物理仿真模型

Simscape是Matlab/Simulink軟件中的一個子模塊。使用Simscape子模塊中的剛體、關(guān)節(jié)、約束、力元件、傳感器等模塊,可以建立多體系統(tǒng)物理仿真模型,實現(xiàn)在Matlab/Simulink軟件中對控制器和控制對象同時建模,避免多平臺聯(lián)合建模對仿真效率的影響。

建立單級倒立擺系統(tǒng)的物理仿真模型,如圖2所示。環(huán)境變量包括重力、維度等,一般不需要設(shè)置。基于世界坐標(biāo)、坐標(biāo)變換1、坐標(biāo)變換2,小車和擺桿建立空間位置聯(lián)系。設(shè)置移動關(guān)節(jié)和旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié),建立旋轉(zhuǎn)運動。小車在控制力的作用下移動,設(shè)置關(guān)節(jié)傳感器以觀測小車的位移和速度、擺桿的角位移和角速度等變量。單級倒立擺系統(tǒng)三維模型如圖3所示。

向小車施加單位階躍力,得到響應(yīng)曲線,如圖4所示。由圖4可以看出,如果不進(jìn)行反饋控制,擺桿將產(chǎn)生周期振蕩。假設(shè)導(dǎo)軌足夠長,小車將持續(xù)運動,速度越來越快。由此可見,單級倒立擺系統(tǒng)是自然不穩(wěn)定系統(tǒng)。

圖2 單級倒立擺系統(tǒng)物理仿真模型

圖3 單級倒立擺系統(tǒng)三維模型

4 控制方案分析

4.1 雙比例積分微分控制

比例積分微分控制具有結(jié)構(gòu)簡單、易于調(diào)節(jié)的特點,不需要精確數(shù)學(xué)模型,就可以達(dá)到較好的控制效果。為了對擺桿和小車都進(jìn)行控制,可以采用雙閉環(huán)比例積分微分控制,實現(xiàn)小車在指定位置時擺桿豎直向上的控制目標(biāo)。由于擺桿和小車之間存在變量耦合,雙比例積分微分控制的參數(shù)調(diào)整過程比較耗時,一般采用經(jīng)驗法進(jìn)行調(diào)整。雙比例積分微分控制單級倒立擺系統(tǒng)仿真模型如圖5所示。

圖4 單級倒立擺系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

通過反復(fù)試驗,小車位置比例、積分、微分參數(shù)依次整定為50、50、8,擺桿比例、積分、微分參數(shù)依次整定為80、100、8。雙比例積分微分控制單級倒立擺系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖6所示,可以看出小車平衡在設(shè)定的位置,擺桿維持豎直向上方向。

圖5 雙比例積分微分控制單級倒立擺系統(tǒng)仿真模型

圖6 雙比例積分微分控制單級倒立擺系統(tǒng)響應(yīng)曲線

4.2 極點配置控制分析

狀態(tài)空間極點配置控制可以通過設(shè)計狀態(tài)反饋控制器,將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在期望的位置,從而使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)的要求。極點配置控制原理如圖7所示。

根據(jù)單級倒立擺系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求,設(shè)定好期望的閉環(huán)極點,利用Matlab軟件中的PLACE函數(shù)可以方便獲得狀態(tài)反饋增益矩陣[k1k2k3k4],此時系統(tǒng)的控制律為:

(7)

圖7 極點配置控制原理

利用Matlab軟件中的PLACE函數(shù),可以直接獲得極點配置控制的增益,語句格式為K=PLACE(A,B,P),其中,P為配置極點,K為反饋增益矩陣。取期望配置極點P為(-10,-10,-0.6+1.171j),運行PLACE函數(shù),得到k1為105.537 7,k2為17.948 2,k3為-77.717 7,k4為-27.920 7。

極點配置控制單級倒立擺系統(tǒng)仿真模型如圖8所示,在模型中引入對擺桿的階躍干擾信號,幅值為0.5,作用時長為0～1 s。極點配置控制單級倒立擺系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖9所示。

圖8 極點配置控制單級倒立擺系統(tǒng)仿真模型

仿真結(jié)果表明,單級倒立擺系統(tǒng)在擾動信號消失大約3 s后,以較小的超調(diào)量穩(wěn)定在平衡位置,控制方案有效。

4.3 線性二次型調(diào)節(jié)器控制分析

線性二次型調(diào)節(jié)器控制是一種應(yīng)用廣泛的最優(yōu)控制方法,其控制原理如圖10所示。

系統(tǒng)二次型調(diào)節(jié)器控制性能指標(biāo)函數(shù)J為:

(8)

Q、R為加權(quán)矩陣變量,用于平衡輸入向量和狀態(tài)向量之間的權(quán)重。Q為半正定矩陣,R為正定矩陣。理論上Q的元素可在0到無窮大之間取值。Q的元素越大,系統(tǒng)的調(diào)整時間越短,響應(yīng)越快。但受計算限制,實際上Q的元素不可能取無窮大。一般通過調(diào)整Q的元素,以獲得良好的響應(yīng)特性。R的元素可不調(diào)整。

控制律同式(7),使J最小的K即為最優(yōu)反饋增益,可用MATLAB軟件LQR函數(shù)求取,語句格式為K=LQR(A,B,Q,R)。

Q為:

(9)

圖9 極點配置控制單級倒立擺系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖10 線性二次型調(diào)節(jié)器控制原理

Q11為小車位移權(quán)重,Q33為擺桿角度權(quán)重。修改Q11、Q33可以得到不同的反饋增益矩陣K,從而實現(xiàn)不同的控制效果。當(dāng)Q11為1,Q33為1,R為1時,最優(yōu)反饋增益矩陣為[-1.000 0 -1.656 7 18.685 2 3.459 4]。當(dāng)Q11為1 000,Q33為200,R為1時,最優(yōu)反饋增益矩陣為[-31.622 8 -19.537 9 65.404 4 12.593 2]。

線性二次型調(diào)節(jié)器控制單級倒立擺系統(tǒng)仿真模型如圖11所示,線性二次型調(diào)節(jié)器控制單級倒立擺系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖12所示。仿真時在模型中仍然引入幅值為0.5、作用時長為1 s的階躍干擾信號。由圖12可以看出,增大權(quán)重可以加快單級倒立擺系統(tǒng)的響應(yīng)速度,減小超調(diào)量。

圖11 線性二次型調(diào)節(jié)器控制單級倒立擺系統(tǒng)仿真模型

圖12 線性二次型調(diào)節(jié)器控制單級倒立擺系統(tǒng)響應(yīng)曲線

5 結(jié)束語

單級倒立擺系統(tǒng)是一個多變量、強(qiáng)耦合、不穩(wěn)定非線性系統(tǒng),針對這一系統(tǒng),筆者設(shè)計雙比例積分微分控制、極點配置控制、線性二次型調(diào)節(jié)器控制三種控制方案,進(jìn)行了仿真分析和對比。分析結(jié)果表明,在一定的干擾范圍內(nèi),單級倒立擺系統(tǒng)具有良好的抗干擾能力,可以通過調(diào)整控制律參數(shù)達(dá)到理想的控制效果。在實際應(yīng)用中,可根據(jù)系統(tǒng)的具體指標(biāo)要求選擇適合的控制方案。