廖昌俊, 潘 曄, 劉繼芝

(電子科技大學(xué) 1.信息與通信工程學(xué)院，2.電子科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 611731)

0 引言

陣列信號(hào)處理是信號(hào)處理領(lǐng)域的重要分支，它由以一定形式排列且分布在空間不同位置的若干個(gè)傳感器組成[1～4]。傳感器陣列中的所有陣元感應(yīng)來(lái)自空間中的信號(hào)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行特定的處理，使感興趣的目標(biāo)信號(hào)得到強(qiáng)化，無(wú)用的干擾和噪聲信號(hào)得到抑制，提取到有用的信號(hào)參數(shù)。陣列信號(hào)處理廣泛應(yīng)用于眾多軍事及國(guó)民經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，如雷達(dá)、聲納、通信以及生物醫(yī)學(xué)等。

波達(dá)方向估計(jì)作為陣列信號(hào)處理一個(gè)重要的研究分支，廣泛地應(yīng)用于軍事及民用領(lǐng)域，成為研究的一大熱點(diǎn)[5,6]?，F(xiàn)有的傳統(tǒng)窄帶信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)算法都是根據(jù)陣列輸出數(shù)據(jù)的二階統(tǒng)計(jì)特性對(duì)信源進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)的，其需要較多的采樣快拍數(shù)據(jù)來(lái)保證測(cè)向精度，并且對(duì)噪聲很敏感。

1 遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶測(cè)向模型建立

如果信號(hào)帶寬遠(yuǎn)小于其中心頻率，則該信號(hào)稱(chēng)為窄帶信號(hào)，其滿足：

(1)

式中，WB為信號(hào)帶寬，f0為中心頻率。通常將正弦信號(hào)和余弦信號(hào)統(tǒng)稱(chēng)為正弦型信號(hào)，正弦型信號(hào)是典型的窄帶信號(hào)。窄帶信號(hào)表示為

(2)

式中，a(t)為慢變幅度調(diào)制函數(shù)，θ(t)為慢變相位調(diào)制函數(shù)，ω0=2πf0為載頻。一般情況下a(t)和θ(t)包含了全部有用信息。

噪聲模型

設(shè)陣元接受到的噪聲均為平穩(wěn)零均值高斯白噪聲，方差為σ2。各陣元間的噪聲互不相關(guān)，且與目標(biāo)源不相關(guān)。這樣噪聲向量的二階矩滿足

(3)

其中

陣列天線統(tǒng)計(jì)模型的前提及假設(shè)

信號(hào)通過(guò)無(wú)線信道的傳輸情況是極其復(fù)雜的，其嚴(yán)格數(shù)學(xué)模型的建立需要有物理環(huán)境的完整描述，但這種做法較復(fù)雜。為了得到一個(gè)比較有用的參數(shù)化模型，必須簡(jiǎn)化有關(guān)信號(hào)傳輸?shù)募僭O(shè)。

關(guān)于接收天線陣列的假設(shè)：接收陣列由位于空間已知坐標(biāo)處的無(wú)源陣元按一定的形式排列而成。假設(shè)陣元的接收特性?xún)H與其位置有關(guān)而與其尺寸無(wú)關(guān)(認(rèn)為其是一個(gè)點(diǎn))，且陣元都是全向陣元，增益均相等。相互之間的互耦忽略不計(jì)。

關(guān)于空間源信號(hào)的假設(shè)：假設(shè)空間信號(hào)的傳播介質(zhì)是均勻且各向同性的，空間信號(hào)在介質(zhì)中將按直線傳播。同時(shí)假設(shè)陣列處于空間信號(hào)輻射的遠(yuǎn)場(chǎng)中，所以空間源信號(hào)到達(dá)陣列時(shí)可被看作一束平行的平面波?？臻g源信號(hào)到達(dá)陣列各陣元在時(shí)間上的不同時(shí)延，可由陣列的幾何結(jié)構(gòu)和空間波的來(lái)向決定?？臻g波的來(lái)向在三維空間中常用仰角θ和方位角φ來(lái)表征。

陣列天線模型

(a) 窄帶模型

(b) 增益和移相器的級(jí)聯(lián)圖1 一般窄帶波束形成器

均勻線陣

線陣如圖2所示。其中有N個(gè)陣元，位于z軸上，具有均勻間距d。把這種陣列稱(chēng)為均勻線性陣列，且陣列的中心放在坐標(biāo)系的原點(diǎn)上。

圖2 放置在z軸上的線陣

陣元位置為

(4)

(5)

矢量vk(K)包含了陣列的所有空間特征，稱(chēng)為陣列流形矢量。為了確定陣列的流行矢量vk(K)，把式(4)和式(5)代入式(6)，得：

(6)

進(jìn)一步得到

(7)

式(7)中

(8)

(9)

是波數(shù)的幅度，線陣在φ方向是沒(méi)有分辨能力的。

2 基于塊稀疏算法的窄帶測(cè)向仿真

最小范數(shù)算法[10～12]BP(Basis Pursuit)和正交匹配追蹤算法[13～16]OMP(Orthogonal Matching Pursuit)，都是基于單快拍的測(cè)向算法，測(cè)向精度受限于快拍的限制而無(wú)法進(jìn)一步提高，且未能充分利用稀疏信號(hào)的統(tǒng)計(jì)信息。為此，使用塊稀疏(Multiple Measurement Vectors)的方法來(lái)恢復(fù)稀疏信號(hào)。

壓縮感知理論是基于稀疏信號(hào)(或者更廣義地說(shuō)是可壓縮信號(hào))這一類(lèi)特殊信號(hào)而提出的釆樣與重構(gòu)理論。對(duì)于一個(gè)基矩陣Φ∈Rn×n，其各列線性獨(dú)立，若一個(gè)向量x∈Rn可由這個(gè)基矩陣完全表示，即

(10)

最具挑戰(zhàn)的任務(wù)是當(dāng)信號(hào)為稀疏向量且非零值位置完全未知時(shí)，如何通過(guò)少于n的釆樣點(diǎn)數(shù)來(lái)重構(gòu)系數(shù)向量s。壓縮感知理論正是針對(duì)這個(gè)問(wèn)題應(yīng)運(yùn)而生，通過(guò)構(gòu)造采樣矩陣使利用遠(yuǎn)少于n的釆樣點(diǎn)數(shù)就可以精確重構(gòu)出系數(shù)向量s。

壓縮感知的釆樣過(guò)程可由式(11)所示：

(11)

其中Ψ∈Rn×n,m

塊稀疏BP算法仿真

根據(jù)窄帶信號(hào)模型，從N元線陣上得到的有M個(gè)入射信號(hào)源的K快拍信號(hào)為

(12)

基于遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶獨(dú)立目標(biāo)信號(hào)源的數(shù)學(xué)模型為X(t)=AS(t)+N(t)，由此可以得到天線陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣R，并對(duì)其進(jìn)行特征值分解。

(13)

Us是由大特征值λi,i=1,2,…，M相對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的目標(biāo)信號(hào)子空間，而Um則是由小特征值λi,i=M+1,M+2,…，N相對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的噪聲子空間。

采樣協(xié)方差矩陣為：

(14)

設(shè)置空間搜索分辨率為1，根據(jù)陣列的信息建立稀疏重建的字典：

(15)

采用多快拍的BP算法重建信號(hào)：

(16)

仿真參數(shù)：c=3×108m/s，陣元數(shù)為8個(gè)，1000快拍，陣元間距與波長(zhǎng)之比為0.5，信噪比為10dB，分辨率為1°,設(shè)為多目標(biāo)，目標(biāo)方向?yàn)?43°,49°,如圖3所示。

圖3 非相干信號(hào)測(cè)向

3 相干信號(hào)塊稀疏算法測(cè)向仿真

由于在塊稀疏算法重建信號(hào)的過(guò)程中需要用到信號(hào)的協(xié)方差矩陣，而信號(hào)的相干性會(huì)導(dǎo)致協(xié)方差矩陣不滿秩從而無(wú)法估計(jì)出信號(hào)的波達(dá)方向。

仿真參數(shù)：c=3×108m/s，陣元數(shù)為8個(gè)，1000快拍，陣元間距與波長(zhǎng)之比為0.5，信噪比為10dB，分辨率為1°，設(shè)為多目標(biāo)，目標(biāo)方向?yàn)?31°,25°，如圖4所示。

類(lèi)似于傳統(tǒng)的窄帶相干信號(hào)測(cè)向算法，先對(duì)信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行空間平滑預(yù)處理使得協(xié)方差滿秩。

空間平滑技術(shù)可以解相干，陣列陣元數(shù)為M，信源數(shù)為N，將陣列劃分為K個(gè)相互重疊的子陣列，子陣列中的陣元數(shù)相等，且子陣列陣元數(shù)m>N且K+m=M+1 。每個(gè)子陣列組成結(jié)構(gòu)相同，子陣列劃分方案如圖5所示：

陣元{1,2,…,m}構(gòu)成子陣列1，陣元{2,3,…,m+1}構(gòu)成子陣列2，從左到右以此類(lèi)推。利用向量形式表示子陣列的接收數(shù)據(jù)：

圖5 前向平滑子陣列

(17)

(18)

可得子陣的接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為：

(19)

上式中，Rk為m×m維矩陣，空間平滑法處理后數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣定義為：

(20)

為了與前后向空間平滑區(qū)分，上式所描述的空間平滑又稱(chēng)前向空間平滑?？梢宰C明，若 則可以保證空間平滑協(xié)方差矩陣為滿秩矩陣。利用空間平滑法將協(xié)方差矩陣恢復(fù)為滿秩后，就可以利用特征空間原理分離出等效的信號(hào)子空間與噪聲子空間。從推導(dǎo)過(guò)程可以看出空間平滑法的有效陣元數(shù)減少，是以損失陣列孔徑為代價(jià)換取解相干能力的，可分辨的入射信源數(shù)目最多為M/2。

為了減少陣列孔徑損失，在前向空間平滑基礎(chǔ)上發(fā)展出了前后向空間平滑算法。前后相空間平滑增加了后向空間平滑，后向空間平滑與前向空間平滑的子陣構(gòu)成方案相似，與前向空間平滑法方向相反，抽取陣元組成子陣列。后向平滑子陣列構(gòu)成方案如圖6所示：

空間平滑子陣列：

(21)

圖6 后向平滑子陣列

(22)

前后向空間平滑法輸出協(xié)方差矩陣為：

(23)

對(duì)于前后向空間平滑法，前向子陣與后向子陣的結(jié)構(gòu)是一致的，子陣總數(shù)為2K，實(shí)際上只需要進(jìn)行前向子陣抽取就可以得到協(xié)方差矩陣?？梢宰C明，若子陣總數(shù)大于等于入射信號(hào)總數(shù)，即 2K≥N時(shí)，可以保證輸出協(xié)方差矩陣為滿秩矩陣。所以前后向空間平滑算法可分辨的入射信源數(shù)目最多為2M/3。

空間平滑是一種解相干的經(jīng)典算法，以空間平滑算法發(fā)展出基礎(chǔ)更多的改進(jìn)算法如空間差分算法、虛擬空間平滑算法、加權(quán)空間平滑算法。

對(duì)降秩后的協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解，求出信號(hào)子空間Us。由于協(xié)方差矩陣已進(jìn)行降秩處理，等價(jià)于所建立稀疏信號(hào)的字典時(shí)需要根據(jù)平滑預(yù)處理后的陣列信息而不是原先的陣列信息。設(shè)平滑預(yù)處理后的陣列的子陣列數(shù)為m，則字典D為：

(24)

塊稀疏重建模型為：

(25)

解出的稀疏矩陣S采用同樣的方式處理即可得出波達(dá)方向。設(shè)計(jì)代碼模塊如圖7：

圖7 仿真代碼模塊

設(shè)置仿真參數(shù)：c=3×108m/s，陣元數(shù)為8個(gè)，1000快拍，陣元間距與波長(zhǎng)之比為0.5，信噪比為10dB，分辨率為0.1°。

設(shè)為多目標(biāo)，目標(biāo)方向?yàn)?31°,25°。

圖8 相干信號(hào)解相干后測(cè)向

相干非相干信號(hào)塊稀疏混合測(cè)向仿真

設(shè)置仿真參數(shù)：c=3×108m/s，陣元數(shù)為18個(gè)，1000快拍，陣元間距與波長(zhǎng)之比為0.5，信噪比為10dB，分辨率為1°。假設(shè)目標(biāo)為多目標(biāo)，非相干目標(biāo)方向?yàn)?43°,-49°；相干目標(biāo)方向?yàn)?31°,25°。

圖9 混合信號(hào)解相干后測(cè)向

通過(guò)仿真仿真實(shí)驗(yàn)，可得到空間平滑與處理的塊稀疏相干測(cè)向也可用于相干非相干混合測(cè)向。

4 結(jié)語(yǔ)

陣列信號(hào)處理是信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)重要 分支，而其中的波達(dá)方向估計(jì)是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。學(xué)生通過(guò)本仿真實(shí)驗(yàn)，能夠?qū)W習(xí)分析傳統(tǒng)窄帶測(cè)向的不足。并利用波達(dá)方向?qū)τ谌沼蚪嵌染S的稀疏特性，將壓縮感知的算法應(yīng)用到DOA估計(jì)中來(lái)。

學(xué)生通過(guò)仿真試驗(yàn)，能夠?qū)W習(xí)建立遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶測(cè)向的噪聲模型，陣列天線模型和均勻線陣。同時(shí)學(xué)生在對(duì)相干信號(hào)塊稀疏算法測(cè)向和相干非相干信號(hào)塊稀疏混合測(cè)向的仿真實(shí)驗(yàn)中，學(xué)習(xí)到了如何能夠恢復(fù)基矩陣的稀疏系數(shù)，從而得到DOA估計(jì)值。通過(guò)本仿真實(shí)驗(yàn)，可以進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解和應(yīng)用。