王 濤， 陳丹丹， 孟麗巖， 鄭 歡

(黑龍江科技大學 建筑工程學院， 哈爾濱 150022)

0 引 言

近十多年來，人致橋梁振動分析一直是學者們關(guān)注的熱點問題。在設(shè)計新結(jié)構(gòu)尤其是人行天橋時，考慮到人致振動的舒適性和安全性，人致振動變得越來越重要。當代人行天橋設(shè)計的挑戰(zhàn)在于滿足對長、輕、細結(jié)構(gòu)的建筑需求?；诂F(xiàn)行標準，很多新建人行天橋在使用時容易產(chǎn)生過大振動，可能會令行人感到不舒適。最典型的例子是1999年巴黎索爾費里諾橋[1]和2000年倫敦千禧橋[2]均在啟用時因行人活動導致的過度振動而關(guān)閉。近年來，國內(nèi)外眾多學者在人致振動領(lǐng)域已經(jīng)進行了許多研究。Caprani等[3]考慮了豎向振動的人-結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)模型，給出了不同行人荷載模型作用下模態(tài)分析和有限元分析公式，對比分析不同行人荷載模型對簡支梁結(jié)構(gòu)動力特性的影響。汪志昊等[4]通過試驗研究了靜立、靜坐和下蹲3種姿態(tài)下人行橋豎向基頻和阻尼比的變化情況。陳得意[5]推導出人致橋梁振動響應(yīng)解析解，并在此基礎(chǔ)上進行了不同參數(shù)對人行橋人致振動舒適度影響的探究。操禮林等[6]比較分析了不同人體質(zhì)量、人體剛度及人體阻尼比對人行橋瞬時頻率、瞬時阻尼比和人行橋振動響應(yīng)的影響。目前，基于有限元分析理論從行人參數(shù)及人行橋參數(shù)兩個方面對人致振動響應(yīng)分析的研究成果相對較少。

筆者基于有限元理論給出了人行橋人致振動有限元分析方法，采用Matlab編程求解人-橋豎向相互作用動力控制方程，分析了人致橋梁振動動力響應(yīng)，結(jié)合算例進行了不同行人參數(shù)以及人行橋參數(shù)對人行橋人致振動響應(yīng)規(guī)律的探究，并在不同參數(shù)分析的基礎(chǔ)上進行了參數(shù)敏感性分析。

1 人行荷載模型

1.1 移動力模型

在進行人致振動分析時，通過將行人簡化成一個移動力(Moving force，MF)，圖1為行人的移動力簡化模型和橋梁的有限元模型。

在此模型中，行人移動力的大小可以用傅里葉級數(shù)模型[7-9]來表示，即

(1)

式中：Fpv(t)——豎向步行荷載激勵荷載，N；

W——人的體重，N；

n1——模型中主諧波考慮的階數(shù)；

n2——模型中次諧波考慮的階數(shù)；

αvi——豎向第i階主諧波動載因子；

αvsi——豎向第i階次諧波動載因子；

fp——人的步頻，Hz；

φvi——豎向第i階主諧波相位角，rad；

φvsi——豎向第i階次諧波相位角，rad。

圖1 行人的移動力模型

由于中國居民身體特征參數(shù)與外國居民存在一定差別，文中所采用的主次諧波傅里葉級數(shù)模型參數(shù)選取陳雋[10]所建議的參數(shù)取值。

1.2 移動彈簧質(zhì)量阻尼模型

圖2為人體的彈簧質(zhì)量阻尼(Spring-mass-damper，SMD)簡化模型和橋梁的有限元模型，在此模型中，人體被建模為具有剛度kp、阻尼cp、質(zhì)量mp的單自由度系統(tǒng)。

圖2 行人的SMD模型

2 人致振動有限元分析

采用有限元表示橋梁結(jié)構(gòu)，建立人體-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的移動力模型和移動彈簧-質(zhì)量-阻尼器模型。在橋梁的有限元描述中，將橋梁離散成ne個單元，位移場采用具有三次Hermitian插值形函數(shù)的二維剛架單元近似，每個節(jié)點有3個自由度。假設(shè)行人在整個過橋的過程中始終與橋梁表面緊密接觸。

動力平衡方程的有限元基本公式為

(2)

式中：M——結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；

C——結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣；

K——結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；

d——節(jié)點的位移向量；

P——節(jié)點的荷載向量。

移動力分析如圖3所示，動力平衡方程的自由度僅為橋梁的自由度，節(jié)點的荷載向量P為

P=NT(x)Fpv(t)，

(3)

式中，N(x)——形函數(shù)行向量。

圖3 行人的MF模型和梁的FE模型

移動力以恒速v移動，隨著時間遷移作用在橋梁的不同單元上，第j個單元形函數(shù)行向量由下式給出，即

(4)

式中：z——行人的位置與行人所在梁單元起點的位移；

le——梁單元長度；

x——行人距梁左端的位移；

xj——梁單元第j個節(jié)點距梁左端的位移；

γ——沿梁單元無量綱的距離，γ∈[0,1]。

形函數(shù)對x的一階導數(shù)和二階導數(shù)為

(5)

形函數(shù)共有2(ne+1)列，表達式為

N(x)={01×6…Nj(x) … 01×6}。

(6)

移動彈簧-質(zhì)量-阻尼模型分析如圖4所示。

圖4 行人的SMD模型和梁的有限元模型

行人移動彈簧-質(zhì)量-阻尼模型的運動方程由下式給出，即

(7)

式中：y——行人相對平衡位置的豎向動位移；

w——橋梁的豎向動位移；

式中：Vi為城市擴展速度；ΔUij為j時段第i個研究單元城市擴展面積，Δtj為j時段的時間跨度(一般以年為單位)。

SMD和橋梁之間的相互作用力由下式給出，即

(8)

橋梁的位移函數(shù)w(x,t)用形函數(shù)向量來表示，即

w(x,t)=N(x)d(t)。

(9)

式(9)中位移函數(shù)對空間微分，即

(10)

式(9)中位移函數(shù)對時間微分，即

(11)

(12)

將式(12)代入式(7)可以得到

(13)

(14)

類似地，行人SMD的運動方程可以表示為

(15)

聯(lián)立式(14)、(15)，人-橋相互作用運動方程為

(16)

當SMD不在橋上時，形函數(shù)向量全部為0，上述方程就變成橋梁的自由振動。

3 人致振動響應(yīng)參數(shù)及其敏感性

根據(jù)上述人行橋有限元分析方法理論，將人橋耦合系統(tǒng)分為行人、橋梁兩個子系統(tǒng)，然后分別建立動力平衡方程，并由行人、橋梁兩者之間的位移及力的協(xié)調(diào)關(guān)系把行人和橋梁耦合在一起。在Matlab中建立橋梁的FE模型，根據(jù)行人、橋梁兩者之間的位移和力的協(xié)調(diào)關(guān)系，采用狀態(tài)空間法求解出行人和橋梁的動力響應(yīng)，分析行人不同質(zhì)量、步頻及人行橋不同單位長度質(zhì)量、剛度、阻尼比等參數(shù)下的人行橋人致振動響應(yīng)變化規(guī)律，并分析參數(shù)敏感性。人-橋相互作用整體分析流程如圖5所示。

算例分析：人行橋跨度為50 m，截面尺寸為b×h=2.000 m×0.535 m，人行橋單位長度質(zhì)量M為500 kg/m，抗彎剛度B為5.1 GN·m2，阻尼比ζ為0.005。人體質(zhì)量mp取中國男性質(zhì)量均值66.2 kg[11]，行人步頻fp為2.0 Hz，根據(jù)Silva[12]非線性表達式取人體剛度kp為12.37 kN/m，人體阻尼cp為758.63 N·s/m。

圖5 人-橋相互作用分析流程

3.1 人行橋人致振動響應(yīng)參數(shù)分析

從行人及人行橋兩個方面分別探究對人致振動響應(yīng)的影響，選取不同的行人參數(shù)和不同的人行橋參數(shù)人行橋進行人致振動響應(yīng)分析。人行橋人致振動舒適度評估指標主要包括峰值加速度、均方根加速度和振動劑量，均方根加速度的定義為

(17)

式中：a——均方根加速度，m/s2；

T——振動持續(xù)時間，s；

aw(t)——加速度時程。

文中主要采用振動持續(xù)時間為1 s的均方根加速度，即1 s均方根加速度a1。

分別采用MF和SMD兩種行人荷載模型，求解行人不同質(zhì)量、步頻及人行橋單位長度質(zhì)量、剛度、阻尼比下的人行橋跨中1 s的均方根加速度響應(yīng)a1。兩種模型下人行橋跨中a1隨各參數(shù)變化分別如圖6、7所示。

圖6 MF模型作用下a1隨各參數(shù)變化

圖7 SMD模型作用下a1隨各參數(shù)變化

由圖6可知，人行橋跨中a1隨mp的增大而增大。當mp為50 kg時，人行橋跨中a1最大值為0.663 m/s2；當mp為80 kg時，人行橋跨中a1最大值為1.060 m/s2。人行橋跨中a1隨fp的增大先增大后減小。當fp為1.4 Hz時，人行橋跨中a1最大值為0.019 m/s2；當fp為2.0 Hz時，人行橋跨中a1最大值為0.877 m/s2；當fp為2.6 Hz時，人行橋跨中a1最大值為0.050 m/s2。這主要是因為隨著fp的逐漸增大，fp與人行橋基頻漸漸接近，人行橋跨中a1隨之增大；fp持續(xù)增大，fp逐漸遠離人行橋基頻，人行橋跨中a1隨之減小。人行橋跨中a1隨M的增大先增大后減小。當M為200 kg/m時，人行橋跨中a1最大值為0.035 m/s2；當M為500 kg/m時，人行橋跨中a1最大值為0.877 m/s2；當M為800 kg/m時，人行橋跨中a1最大值為0.047 m/s2。這主要是因為人行橋M的增大導致人行橋基頻改變，隨著M增加，橋梁基頻逐漸增大，當橋梁頻率與fp一致時發(fā)生共振，跨中a1達到最大值；M持續(xù)增大，fp漸漸遠離橋梁基頻，跨中a1逐漸減小。人行橋跨中a1隨B的增大先增大后減小。當B為3.6 GN·m2時，人行橋跨中a1最大值為0.047 m/s2；當B為5.1 GN·2時，人行橋跨中a1最大值為0.877 m/s2；當B為6.6 GN·m2時，人行橋跨中a1最大值為0.046 m/s2。這主要是因為B的增大會使人行橋固有頻率隨之變化，隨著B增加，橋梁固有頻率逐漸增大，當橋梁固有頻率與fp一致時發(fā)生共振，跨中a1達到最大值；B持續(xù)增大，fp漸漸遠離橋梁固有頻率，跨中a1逐漸減小。人行橋跨中a1隨的增大先增大后減小。當ζ為0.005時，人行橋跨中a1最大值為0.877 m/s2；當ζ為0.011時，人行橋跨中a1最大值為0.360 m/s2。

由圖7可知，SMD模型作用下，人行橋跨中a1隨各參數(shù)變化趨勢與MF模型作用下一致。

MF模型和SMD模型作用下人行橋跨中1 s均方根加速度響應(yīng)隨各參數(shù)變化對比如圖8所示。

由圖8可知，當mp為80 kg時，兩種模型作用下人行橋跨中a1最大值a1 max相差0.285 m/s2；當fp為2 Hz時，兩種模型作用下人行橋跨中a1 max相差0.161 m/s2；當M為500 kg/m時，兩種模型作用下人行橋跨中a1 max相差0.161 m/s2；當B為5.1 GN·m2時，兩種模型作用下人行橋跨中a1 max相差0.161 m/s2；當ζ為0.005時，兩種模型作用下人行橋跨中a1 max相差0.161 m/s2。

圖8 不同模型下a1最大值對比

綜上所述，MF和SMD兩種行人荷載模型下人行橋跨中a1相差較大，MF模型未能考慮人-橋相互作用，放大了人行橋響應(yīng)。

3.2 人行橋人致振動響應(yīng)參數(shù)敏感性分析

在上述不同行人參數(shù)及人行橋參數(shù)分析基礎(chǔ)上，進行人行橋人致振動參數(shù)敏感性分析。參數(shù)敏感性分析是為了選出對人行橋響應(yīng)影響最大的參數(shù)，以便更好地評估人行橋振動響應(yīng)。一般通過計算敏感度系數(shù)來進行敏感性分析：

(18)

式中：SAF——敏感度系數(shù)；

ΔA/A——各評價指標變動時的比率；

ΔP/P——各不確定參數(shù)發(fā)生變動時的比率。

由前文參數(shù)分析可知，隨著人體質(zhì)量的增大，人行橋跨中a1響應(yīng)隨之增大，隨著人行橋阻尼比的增大，人行橋跨中a1響應(yīng)隨之減小，隨著行人質(zhì)量、人行橋單位長度質(zhì)量及人行橋剛度的增大，人行橋跨中a1響應(yīng)隨之呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。表1對比了兩種不同行人荷載模型作用下a1響應(yīng)對各參數(shù)的敏感度系數(shù)。

表1 MF和SMD模型敏感度系數(shù)對比

由表1可知，對于MF模型而言，人行橋跨中a1響應(yīng)對行人質(zhì)量的敏感度系數(shù)為1.00，人行橋跨中a1響應(yīng)對人行橋阻尼比的敏感度系數(shù)為-1.40，人行橋跨中a1響應(yīng)相比行人步頻等其他參數(shù)對行人質(zhì)量和人行橋阻尼比更加敏感；對于SMD模型而言，人行橋跨中a1響應(yīng)對人行橋剛度的敏感度系數(shù)為0.67，人行橋跨中a1響應(yīng)對人行橋阻尼比的敏感度系數(shù)為-1.38，人行橋跨中a1響應(yīng)對人行橋阻尼比和剛度更為敏感。綜上所述，無論是MF模型還是SMD模型，人行橋響應(yīng)均對人行橋阻尼比參數(shù)最為敏感。為滿足人致工程振動舒適度要求，通過增加阻尼比的方式進行人行橋減振控制效果更為理想。

4 結(jié) 論

(1)人行橋跨中a1響應(yīng)隨著人體質(zhì)量的增大而增大，MF模型作用下人體質(zhì)量增大對人行橋跨中a1響應(yīng)影響更為顯著。人行橋跨中a1響應(yīng)隨著步頻逐漸增大先增大后減小。

(2)隨著人行橋單位長度質(zhì)量及剛度的不斷增大，人行橋跨中a1響應(yīng)隨之先增大后減小，隨著人行橋阻尼比的增大，人行橋跨中a1響應(yīng)隨之逐漸減小。

(3)行人質(zhì)量、步頻、人行橋單位長度質(zhì)量、剛度、阻尼比各項影響人致振動響應(yīng)參數(shù)中，人行橋跨中a1響應(yīng)對人行橋阻尼比參數(shù)變化更為敏感。