孫鴻強，張占月，方宇強

(航天工程大學 研究生院，北京 101416)

航天器軌道優(yōu)化對延長在軌壽命、降低風險系數(shù)、增大有效載荷以及保證工作效率等方面有著重要的實踐價值.早在20世紀60年代，針對空間最優(yōu)軌道機動問題就開展了大量的研究工作.在分析最優(yōu)軌道方面，遺傳算法、粒子群優(yōu)化(PSO)算法和模擬退火算法[1-2]等為解決復雜問題提供了新的思路和手段.與此同時，空間環(huán)境愈發(fā)復雜，截至2019年8月，美國空間監(jiān)視網(wǎng)編目了大于10 cm的空間目標約 23 000 個，對外公布已編目的在軌目標 19 524 個，其中 14 495 個為空間碎片[3-4].此外，美國太空探索技術(shù)公司宣稱要將其Starlink項目的低軌衛(wèi)星增至 42 000 顆.2019年9月2日，歐洲航天局表示為了避免與Starlink44衛(wèi)星相撞，在預計碰撞前1 h內(nèi)對Aeolus衛(wèi)星進行了機動，利用衛(wèi)星攜帶的推進器將軌道高度增加約350 m，從而將碰撞概率降到安全閾值以下.

在衛(wèi)星規(guī)避機動方面，其方式為利用所攜帶的燃料由安裝在不同方位的推進裝置獲得既定的速度沖量，進而改變衛(wèi)星的運行狀態(tài).目前，單星規(guī)避技術(shù)已相對成熟，主要采用基于碰撞概率的單顆衛(wèi)星規(guī)避機動方法.在獲取空間目標的位置矢量、速度矢量以及位置誤差協(xié)方差矩陣后，可對在軌航天器及其周圍空間進行碰撞概率估算，以獲得航天器周圍空間的碰撞概率密度函數(shù)，進而確定最佳機動的大小和方向.

而對于編隊衛(wèi)星而言，由于衛(wèi)星之間相互協(xié)作的特點，對其中的衛(wèi)星進行機動將會引起整個編隊工作效率的改變，若此時沿用單星預警規(guī)避機制，則無法同時兼顧機動消耗、碰撞概率、工作效率等指標，所以編隊衛(wèi)星如何在規(guī)避的同時兼顧上述多個指標的研究具有重要的價值和意義.針對當前衛(wèi)星規(guī)避方面出現(xiàn)的問題，在文獻[5]的基礎上，采用并改進非支配排序遺傳算法(NSGA-II)，根據(jù)編隊衛(wèi)星的運行狀態(tài)對其進行基因編碼，以改進的差分進化(IDE)算法作為種群生成模型，以Pareto支配作為優(yōu)劣評價標準，使得衛(wèi)星在保證工作效率的情況下進行機動后不再恢復原構(gòu)型.最后以海洋偵察衛(wèi)星為例，將多個指標作為切入點制定規(guī)避策略.

1 數(shù)學模型

為了解編隊衛(wèi)星的規(guī)避質(zhì)量，構(gòu)建能量消耗、碰撞概率、工作效率等數(shù)學模型，并計算上述指標.

1.1 能量消耗模型

為盡可能減少消耗燃料，衛(wèi)星進行規(guī)避機動之后，在保證工作效率的前提下將衛(wèi)星駐留在規(guī)避終點，從而減少回歸原軌道所消耗的燃料.在軌道規(guī)避的選擇方面，國際上主要采用高度分離法(錯開軌道高度)[6]和跡向分離法(錯開軌道相位)[7].

同軌道相位調(diào)整主要分為相位超前調(diào)整和相位滯后調(diào)整[8]，一般對于相位超前采用共面高軌變相，相位滯后則采用共面低軌變相[9].當相位需要調(diào)整時，需施加一跡向速度沖量，將航天器步入過渡軌道，縮短軌道周期，經(jīng)若干個周期再次變軌回到原軌道，最終實現(xiàn)相位調(diào)整[10].由文獻[5]可知,在近地軌道相位需要超前或滯后調(diào)整的情況下，單圈軌道機動所消耗的速度增量為

(1)

式中：Δvahe為相位超前時軌道機動所需的速度增量；Δvlag為相位滯后時軌道機動所需的速度增量；θ為相位角；RL為近地圓軌半徑；μ為地球引力常數(shù).

1.2 碰撞概率計算模型

根據(jù)觀測站觀測及國際公布的空間軌道數(shù)據(jù)對未來空間目標的運行軌道進行預推，計算其碰撞概率[11].美國國家航空航天局(NASA)將黃色碰撞預警值設定為10-5，紅色碰撞預警值設定為10-4.

由于現(xiàn)有技術(shù)的局限性，對空間目標的軌道預報存在一定誤差，該誤差表現(xiàn)在在軌空間目標的跡向、徑向和法向方向上，共同構(gòu)成了一個誤差橢球.當兩個空間目標間的距離小于其等效半徑之和時，可以判定為二者發(fā)生碰撞[12].在計算中，將聯(lián)合體與誤差橢球投影到相遇平面內(nèi)可簡化計算過程.

根據(jù)文獻[11]，碰撞概率的表達式可改寫為

P=?m2+n2≤R2f(m,n)dmdn=

(2)

式中：R為兩個空間目標聯(lián)合圓域的有效半徑；m、n為相遇平面的兩個坐標軸方向；d為兩目標相對距離矢量；C為聯(lián)合誤差協(xié)方差矩陣.

計算碰撞概率的基本流程為獲取接近信息，建立相關坐標系，構(gòu)成聯(lián)合誤差橢球和聯(lián)合體，在相遇坐標系中計算碰撞概率[12].

1.3 衛(wèi)星定位效率計算模型

在衛(wèi)星定位方面，到達時間差(TDOA)是廣泛采用的技術(shù).根據(jù)目標源的輻射信號到達不同衛(wèi)星時間的不同，可利用幾何關系進行定位求解[13].

假設f(α,β,γ)為地固坐標系下地球表面的簡化表達形式，目標源在地固坐標系下的概略位置為S0(α0,β0,γ0)，則將f(α,β,γ)在S0處展開可得：

(3)

式中：ΔS為Taylor展開后的高階項.

利用地心至目標源的轉(zhuǎn)換矩陣M可求得目標源當?shù)刈鴺讼档膮f(xié)方差矩陣ΔSloc，其表達式為

ΔSloc=MΔS

(4)

(5)

海洋偵察定位衛(wèi)星的定位高度可視為0[15]，因此僅進行水平方向的精度分析即可.假設目標源信號的傳播時間測量均方差為σ0，電磁波傳播速度為c，則此目標源的水平定位精度E可表示為

(6)

2 NSGA-II 算法的修正

NSGA-II 算法采用差分進化(DE)算法作為框架，結(jié)合Pareto支配的排序方法，對多目標優(yōu)化問題進行求解，是一種適合對多目標函數(shù)進行優(yōu)化的算法.針對NSGA-II 算法中差分進化階段收斂速度較慢這一問題，提出一種基于判別函數(shù)的自適應算法，用于改進差分進化階段的變異環(huán)節(jié)，在保證全局最優(yōu)的情況下加快尋優(yōu)速度.

2.1 差分進化算法

差分進化算法基本沿用遺傳算法的框架，但是其在選擇、交叉、變異等方面有著較大的差異，為之進行的操作也更為復雜.算法的實現(xiàn)步驟如下.

(1) 種群初始化

對于求解問題，需要給定種群數(shù)量、個體維數(shù)、每個維度的上下界，利用隨機程序生成初始種群.初始隨機種群可表示為

zj,i(0)=random(0,1)(bu-bl)+bl

(7)

j=1,2,…,D；i=1,2,…,NP

式中：zj,i(0)為初始代第i個個體上的第j個基因；random(0,1)為在(0,1)上均勻分布的隨機數(shù)；NP為種群數(shù)量；D為個體維度；bu和bl為不同維度的上下界閾值.

(2) 變異操作

通過差分法實現(xiàn)變異需要給定進化代數(shù)和差分縮放因子，差分法利用變異概率PM隨機選擇種群中的兩個個體，利用縮放因子將其差值進行縮放后與待變異個體進行合成，生成新的變異個體.變異操作可表示為

wi(G+1)=z1(G)+s[z2(G)-z3(G)]

(8)

式中：wi(G+1)為第(G+1)代第i個個體的變異個體；s為差分縮放因子；z1(G)、z2(G)、z3(G)分別為第G代的不同個體.由此，可通過上述方法生成變異個體.

(3) 交叉操作

交叉的對象為由上述步驟生成的所有個體，其中包括個體zi(G)和變異生成的個體wi(G+1)，需要給定交叉概率以生成新的交叉?zhèn)€體.此外，為保證由變異新生成的基因得以延續(xù)，隨機選擇變異個體wi(G+1)中的第jran個基因作為等位基因遺傳給交叉生成的個體，這樣就保證了變異個體中至少有一個基因會遺傳給下一代，保留了變異的合理性.交叉操作可表示為

uj,i(G+1)=

(9)

式中：uj,i(G+1)為第(G+1)代交叉生成的第i個個體上的第j個基因；PC為交叉概率；jran為[1,D]之間隨機生成的正整數(shù).交叉操作可以分為指數(shù)交叉和二項交叉[17].

(4) 選擇操作

在完成上述步驟后，基于貪婪算法對種群個體進行選擇，篩選出優(yōu)質(zhì)基因進入下一代種群.選擇操作可表示為

zj,i(G+1)=

(10)

式中：F(·)為目標函數(shù).根據(jù)貪婪算法對新生成的個體和初始個體進行比較，保留更適合目標函數(shù)的個體.

(5) 終止操作

當個體滿足目標函數(shù)所設定的條件或進化代數(shù)G達到設定的最大代數(shù)Gmax時，停止進化操作；否則返回步驟(2)～(4)繼續(xù)進行變異、交叉和選擇操作，直至滿足目標函數(shù)的設定.

2.2 差分進化的改進

由2.1節(jié)可知，差分進化算法的變異環(huán)節(jié)對待變異個體無要求，任何處于種群中的個體均可通過變異操作生成新的變異個體.變異操作的受眾面廣泛，更利于尋找全局最優(yōu)解.但由于該過程中每個個體都可能成為待變異的個體，計算過程較為繁瑣冗雜.此外，對于不符合設定期望的個體仍然進行變異操作也會造成計算空間的浪費.由此，文獻[18]提出一種優(yōu)質(zhì)變異的進化算法，其思路為在變異過程中，選擇種群中的優(yōu)質(zhì)個體作為待變異個體，對其進行變異操作，其表達式為

wi(G+1)=zbes(G)+s[z2(G)-z3(G)]

(11)

式中：zbes(G)為G代種群中符合設定函數(shù)期望的優(yōu)質(zhì)個體.由式(11)可知，該方法篩選了符合設定函數(shù)期望的優(yōu)質(zhì)個體集合，集合中的個體作為待變異個體，對其進行變異操作生成新的下一代個體.此方法降低了計算量，可以快速獲得設定函數(shù)的最優(yōu)解.但其亦存在一定的弊端，由于在篩選后舍去了一部分個體，所以在變異操作后，新生成的個體變化范圍將會有所減少，不利于種群的多樣性，容易陷入局部最優(yōu)解，進而可能錯失了求取全局最優(yōu)解的機會.

結(jié)合上述兩種差分進化算法，為盡可能快速地求得全局最優(yōu)解，引入變異判別函數(shù)，對變異操作進行修正，以待變異個體的優(yōu)質(zhì)性為依據(jù)，采用不同的數(shù)學模型進行變異操作.該過程可表示為

wi(G+1)=

(12)

式中：Q(G)為變異判別函數(shù).利用變異判別函數(shù)可對變異情況進行分類：① 在進化早期，由初始化生成的種群數(shù)量有限，有許多基因沒有體現(xiàn)在種群個體之中，此時采用第1種隨機選取待變異個體的進化方式，以保證種群的多樣性，有利于尋求全局最優(yōu)解；② 在進化晚期，經(jīng)過篩選后種群內(nèi)個體的基因趨于穩(wěn)定，采用第2種選取優(yōu)質(zhì)個體作為待變異個體的進化方式，可以有效地減少冗余計算，獲得優(yōu)化結(jié)果.以下對判別函數(shù)Q(G)的選擇進行分析討論.

(13)

圖1 變異判別函數(shù)Fig.1 Mutation discriminant function

wi(G+1)=

(14)

2.3 仿真算例

已知目標函數(shù)表達式如下，解向量T包含10個基因t1～t10，求目標函數(shù)在|ti|≤3內(nèi)的最小值.

(15)

T=[t1t2…t10], |ti|≤3

參數(shù)設定為Gmax=5 000，PM=0.5，PC=0.9，D=10，NP=100.

利用所提改進的差分進化算法模型，經(jīng)過種群初始化、變異操作、交叉操作和選擇操作后，輸出的優(yōu)化結(jié)果如表1所示.

表1 目標函數(shù)最優(yōu)解Tab.1 Optimal solution of objective function

將改進的差分進化算法與標準差分進化算法的計算過程進行比較，如圖2所示.

由圖2可以看出，在種群初始化時，兩種方法初代解的最小值均遠遠大于全局最優(yōu)解F(T)=0.隨著種群不斷進化，改進的差分進化算法的尋優(yōu)速度更快，更早獲得全局最優(yōu)解，計算效率也更高.

圖2 IDE算法與DE算法比較Fig.2 Comparison of IDE algorithm and DE algorithm

3 NSGA-II算法在編隊衛(wèi)星上的應用

自然界的生物依靠基因的交叉、變異，不斷進化達到更適合物種生存的狀態(tài)，這一現(xiàn)象屬于多目標優(yōu)化問題[19-20].將編隊衛(wèi)星視為種群個體，每個個體均攜帶決定衛(wèi)星參數(shù)的基因，利用NSGA-II 算法進行優(yōu)化，最終獲得最優(yōu)解集[21].

3.1 基于編隊衛(wèi)星的編碼方式

以三星編隊的海洋監(jiān)視衛(wèi)星為例，在衛(wèi)星躲避碎片而位置發(fā)生變化后，多個狀態(tài)指標也隨即發(fā)生改變，需要重點關注的指標有：衛(wèi)星機動后的碰撞概率、衛(wèi)星機動的能耗、編隊衛(wèi)星機動后的工作效率等.由此，可將目標函數(shù)設定為如下形式：

F(X)=F(P,W,η)

(16)

式中：W為衛(wèi)星機動的能量消耗；η為編隊衛(wèi)星機動后的工作效率.

編隊中衛(wèi)星的機動位置主要依據(jù)軌道六根數(shù)進行確定.假設機動前后軌道均為近地圓軌，則沿跡分離機動時，軌道六根數(shù)中產(chǎn)生變化的是衛(wèi)星的軌道半長軸a和真近點角f.因此，共軌道面上的衛(wèi)星位置可由(a，f)表示.

采用3層基因編碼對其進行描述.

(1) 上層基因zup,i決定該方案中有哪些衛(wèi)星需進行規(guī)避機動，同時根據(jù)預警時間的長短選擇合適的機動方式，可表示為

(17)

i=1,2,…,NP

由式(17)可知，上層基因可以決定編隊衛(wèi)星是否需要進行規(guī)避.當衛(wèi)星需要機動時，可采用2.1節(jié)的沿跡分離軌道機動方式進行規(guī)避機動.上層基因起到了統(tǒng)籌全局、把握規(guī)避整體方向的作用.

(2) 中層基因zmid,i=(ai,fi)決定該衛(wèi)星進行規(guī)避機動后的軌道半長軸和真近點角變化位置，可表示為

(18)

i=1,2,…,NP

式中：Δa為軌道半長軸的改變量；Δf為真近點角的改變量；種群數(shù)量NP=n.由于分析對象為近地圓軌，在同軌道面內(nèi)，可由包含軌道半長軸和真近點角的中層基因?qū)庩犘l(wèi)星在空間中的位置進行簡化表達.此外，可根據(jù)中層基因?qū)庩犘l(wèi)星的狀態(tài)進行計算，如：根據(jù)坐標轉(zhuǎn)化求出編隊衛(wèi)星在J2000坐標系下的位置和速度，根據(jù)這些信息進而可求得下層基因性狀.故中層基因是最重要的部分，起到了承接上層基因，引導下層基因的作用.

(3) 下層基因包括衛(wèi)星的碰撞概率、編隊衛(wèi)星的工作效率、衛(wèi)星重構(gòu)所需能量等由上、中層基因支配的變量，可表示為zlow,i=(Pi,Wi,ηi).其中，衛(wèi)星的碰撞概率包括編隊中的每顆衛(wèi)星與空間碎片之間的碰撞概率，以及編隊衛(wèi)星之間的碰撞概率.在所研究的海洋監(jiān)視衛(wèi)星中，其主要需求為對海上目標的偵察定位，故可采用HDOP這一指標對工作效率進行描述.此外，編隊衛(wèi)星重構(gòu)能量亦是需要考慮的方面，將每個進行機動操作的衛(wèi)星能量消耗累加，獲得總重構(gòu)能量.下層基因的作用是對最關心的指標進行計算羅列，以便進行基因的優(yōu)化篩選操作.綜上，整個基因排列如圖3所示.

圖3 上中下層基因編碼示意圖Fig.3 Diagram of upper,middle and lower level codes for genes

由上述步驟對衛(wèi)星的機動位置進行基因編碼，當對這些基因進行初始化、交叉、突變、查重等操作后，可以產(chǎn)生大量的描述不同編隊衛(wèi)星狀態(tài)的基因以供篩選[22-23].

3.2 基于編隊衛(wèi)星的差分進化

由3.1節(jié)基因的定義可知，中層基因是最重要的組成部分，在對上層基因進行了詳細表達的同時，也可根據(jù)中層基因?qū)ο聦踊虻慕M成進行計算，故在差分進化時選擇中層基因作為差分進化的變量.

(1) 種群初始化

采用隨機程序初始化編隊衛(wèi)星種群，以保證種群基因的全面性.由于中層基因包含軌道半長軸以及真近點角兩個分量，所以將其維度設為2.此外，在初始化階段需要對基因在不同維度上的邊界進行限制.針對在軌衛(wèi)星的碎片規(guī)避決策，其主要目標為躲避碎片的威脅，并不需要大幅度地調(diào)整衛(wèi)星的位置，故在中層基因中，軌道半長軸設定的維度上下界為[-1,+1] km，在真近點角設定維度的上下界為[-0.5°,+0.5°]，如圖4所示.其中，五角星位置代表衛(wèi)星所在位置.

圖4 編隊衛(wèi)星中層基因邊界示意圖Fig.4 Diagram of middle level gene boundary of formation satellites

(2) 變異操作

變異維度為2，故需要對軌道半長軸和真近點角分別進行變異操作，根據(jù)種群數(shù)量NP和變異概率PM確定進行變異的數(shù)量NM，NM=NP×PM.由2.2節(jié)分析，采用基于判別函數(shù)的自適應變異算法，對種群的中層基因進行變異.種群個體可依據(jù)其軌道半長軸和真近點角在二維坐標系下表示，如圖5所示.

圖5 種群個體在二維坐標系中的表示Fig.5 Individual populations in two-dimensional coordinates

為避免出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象，過早獲得局部最優(yōu)解進而影響整體最優(yōu)的篩選，引入式(14)作為變異判別函數(shù)，對變異操作進行修正.為豐富種群的基因池，尋找全局最優(yōu)解，在變異初期不對待變異個體進行要求，即隨機選擇待變異個體，對其進行變異操作；經(jīng)過變異前期的積累，種群中基因的多樣性得到增加，為加快尋優(yōu)速度，在變異后期選取種群中的優(yōu)質(zhì)基因作為待變異個體.兩種變異模式如圖6和7所示.其中：aM為變異生成新個體w的軌道半長軸；fM為變異生成新個體w的真近點角；zmid,bes為中層優(yōu)質(zhì)基因.

圖6 初期變異操作模式Fig.6 Initial mutation operation mode

圖7 后期變異操作模式Fig.7 Later mutation operation mode

(3) 交叉操作

交叉的對象為初始化的個體和變異生成的個體，通過交叉操作生成新的交叉?zhèn)€體.根據(jù)種群數(shù)量NP和交叉概率PC確定進行交叉的數(shù)量NC，NC=NP×PC.中層基因的交叉過程如圖8所示.其中：aU、fU為初始個體的軌道半長軸和真近點角；aC、fC為交叉生成新個體的軌道半長軸和真近點角.

圖8 編隊衛(wèi)星中層基因的交叉示意圖Fig.8 Diagram of middle level gene crossing in formation satellite

3.3 基于Pareto支配的優(yōu)劣評價標準

經(jīng)過初始化、變異和交叉操作，種群獲得了極大的豐富，對于個體基因，如何進行優(yōu)劣評判進而對其取舍是算法中非常重要的一部分.由前文分析可知，位于下層基因中的分量是在編隊規(guī)避中最為核心的指標，故在對不同個體進行優(yōu)劣評價時，其評價依據(jù)主要是個體的下層基因.

對下層基因的優(yōu)質(zhì)性進行分析，選擇4個個體z1～z4比較，如圖9所示.由圖9(a)可知，個體z1相對于個體z2而言，工作效率η較小、燃料消耗W較少且碰撞概率P也較低，因此無論從何種方面考慮，個體z1都更為適合.但由于經(jīng)過差分進化后種群數(shù)量激增，基因多樣性更加豐富，下層基因不同指標的優(yōu)劣亦會出現(xiàn)區(qū)分，如圖9(b)所示.個體z3相對于個體z4雖然燃料消耗W較少，但是其工作效率η和碰撞概率P卻較大，在任務約束不明確的情況下，無法直接對其進行優(yōu)質(zhì)性比較.

圖9 個體之間的優(yōu)質(zhì)性比較Fig.9 Comparison of high quality among individuals

針對如何進行優(yōu)劣評價問題，可采用Pareto支配思想，對種群中的每個個體進行快速非支配排序，以支配等級作為評價個體間優(yōu)劣的標準，具體方法如下.

對于不同的兩個個體zp和zq，其下層基因可表示為zp=(Pp,Wp,ηp)，zq=(Pq,Wq,ηq).當以下兩種情況同時發(fā)生時，可認為個體zp支配zq，即zp優(yōu)于zq，記為zpzq：

(1) 個體zp中的所有分量都不差于zq對應的分量，即(Pp≤Pq)∩(Wp≤Wq)∩(ηp≤ηq)；

(2) 個體zp中存在至少一個分量，優(yōu)于zq所對應的分量，即(Pp

根據(jù)Pareto支配的思想，個體z2優(yōu)于個體z1，給予個體z2更加靠前的支配等級(見圖9(a))；個體z3和個體z4之間沒有相互優(yōu)于的關系，給予兩者相同的支配等級(見圖9(b)).

編隊衛(wèi)星碰撞規(guī)避中，碰撞概率是評價規(guī)避操作的最重要依據(jù)，若下層基因中出現(xiàn)碰撞概率高于預警門限(10-4)的情況，則可直接否定這一個體.故可將下層基因中的碰撞概率作為個體篩選的第1道門檻，且由基因中的機動消耗和工作效率對種群中的個體在二維坐標系中進行表述，如圖10所示.

圖10 編隊衛(wèi)星下層基因的二維示意圖Fig.10 Diagram of lower level genes of formation satellites in two-dimensional view

根據(jù)Pareto快速支配排序方法，可以對每個個體進行支配等級排序，支配等級較高的個體更為優(yōu)質(zhì)，予以保留.

通過上述方法對種群中的個體進行優(yōu)劣性評價，且由于經(jīng)過變異、交叉等進化操作，種群數(shù)量勢必會增長，為獲取下一代個體，可采用精英保留策略，即優(yōu)先保留支配等級較高的個體.當支配等級相同時，優(yōu)先保留擁擠度較大的個體，以此將保留的個體作為新一代種群，重復進行進化和篩選，直到出現(xiàn)滿足條件的最優(yōu)解.

4 仿真算例

以3顆衛(wèi)星構(gòu)成的海洋偵察編隊衛(wèi)星為算例，在碰撞發(fā)生前1圈(約107 min)發(fā)出碰撞預警，隨即對衛(wèi)星進行軌道機動，對有碰撞風險的衛(wèi)星進行相位機動.初始時刻衛(wèi)星和危險碎片的軌道根數(shù)如表2所示.其中：e為軌道偏心率；i為軌道傾角；Ω為軌道升交點赤徑；ω為軌道近地點幅角.

表2 編隊衛(wèi)星和危險碎片的軌道根數(shù)Tab.2 Orbital roots of formation satellites and dangerous debris

衛(wèi)星在機動后產(chǎn)生一定的相位差，從而規(guī)避了危險碎片，同時也保證偵察編隊衛(wèi)星的定位性能處于良好狀態(tài)，通過基于多目標優(yōu)化算法比較衛(wèi)星不同位置下的狀態(tài)，確定合適的參數(shù)組合.

當編隊衛(wèi)星中的1顆、2顆和3顆衛(wèi)星受到碰撞威脅時，利用不同優(yōu)化方法的結(jié)果比較如圖11～16所示.其中，紅色與黑色點表示該位置仍然存在碰撞風險(P>10-4)；Lsa為安全解；Lda為危險解；Lda-PSO為粒子群算法下的危險解；Lda-NSGA-II 為NSGA-II 算法下的危險解.進行比較的優(yōu)化方法有：標準遺傳算法、粒子群算法和NSGA-II 算法.

由圖11～16可知，紅色的預警點位置主要分布于坐標系的下方，這是由于當衛(wèi)星燃料消耗較少時，與危險碎片之間的最小距離未能拉升到足夠長，所以仍然存在碰撞風險.由圖11和13可知，采用“遺傳算法+比例篩選”后的衛(wèi)星參考機動位置存在許多非優(yōu)質(zhì)解，主要集中在右側(cè)，其在相同耗能情況下HDOP較高.相比較而言，利用粒子群算法和NSGA-II 優(yōu)化算法篩選出的衛(wèi)星機動位置，解集元素并不相互支配，可在設定任務目標的情況下迅速確定最優(yōu)機動位置.

圖11 單星規(guī)避遺傳算法優(yōu)化結(jié)果Fig.11 Genetic algorithm optimal results of single satellite avoidance

圖12和14為多目標優(yōu)化算法中粒子群算法與NSGA-II 算法的對比.由圖12和14可以看出，粒子群算法所篩選出的基因個體處于NSGA-II 算法最優(yōu)前沿之后，且分布較為離散，全局優(yōu)化效果不理想.這是由于相對于改進的NSGA-II 算法，標準粒子群算法在尋優(yōu)過程中缺乏對粒子速度的動態(tài)調(diào)節(jié)，易陷入局部最優(yōu)，導致優(yōu)化效果相對較差，而采用改進的NSGA-II 算法的優(yōu)化結(jié)果更為理想.

圖12 單星規(guī)避的PSO算法與NSGA-II 算法優(yōu)化結(jié)果比較Fig.12 Comparison of optimal results of PSO and NSGA-II for single satellite avoidance

針對單顆衛(wèi)星規(guī)避(見圖12)，衛(wèi)星機動的能量消耗區(qū)間為[0.007 8，0.026 8] km/s，對應的HDOP范圍為[9.73，10.38].在保證任務條件HDOP≤10的情況下，考慮機動消耗盡可能小，最佳基因?qū)淖鴺它c為(9.93，0.017 5 km/s)，對應的真近點角為[358.800 3°,2°,4°].

圖13 雙星規(guī)避遺傳算法優(yōu)化結(jié)果Fig.13 Genetic algorithm optimal results of double satellites avoidance

針對兩顆衛(wèi)星規(guī)避(見圖14)，能量消耗區(qū)間為[0.010 2，0.050 0] km/s，對應的HDOP范圍為[8.64，9.97].在保證任務條件HDOP≤9的情況下考慮機動消耗盡可能小，最佳基因?qū)淖鴺它c為(8.90，0.029 8 km/s)，對應的真近點角為[359.223 6°,3.408 1°,4°].

圖14 雙星規(guī)避的粒子群算法與NSGA-II 算法優(yōu)化結(jié)果比較Fig.14 Comparison of optimal results of PSO and NSGA-II for double satellites avoidance

針對全部三顆衛(wèi)星規(guī)避(見圖16)，能量消耗區(qū)間為[0.022 5，0.057 7] km/s，對應的HDOP范圍為[8.54，9.68].在保證任務條件HDOP≤9.5的情況下考慮機動消耗盡可能小，最佳基因?qū)淖鴺它c為(9.08，0.034 0 km/s)，對應的真近點角為[359.106 3°,2.597 1°,3.134 7°].

圖15 三星規(guī)避的PSO算法優(yōu)化結(jié)果Fig.15 PSO algorithm optimal results for triple satellites avoidance

圖16 三星規(guī)避的NSGA-II 算法優(yōu)化結(jié)果Fig.16 NSGA-II algorithm optimal results for triple satellites avoidance

將所得最優(yōu)機動位置與編隊衛(wèi)星原始位置進行比較，三星編隊海洋偵察衛(wèi)星中的2顆和3顆衛(wèi)星在進行真近點角調(diào)整后的位置分布如圖17和18所示.其中：LNG為經(jīng)度；LAT為緯度.

由圖17(a)可知，當單顆衛(wèi)星受碰撞風險進行機動時，需要盡可能將該衛(wèi)星機動至使三星基線變長、星下三角形外側(cè)處.由圖17(b)可知，當2顆衛(wèi)星受碰撞風險進行機動時，需要盡可能將兩顆衛(wèi)星分別機動至星下三角形外側(cè)，將衛(wèi)星基線拉長.由圖18可知，當全部3顆衛(wèi)星受碰撞風險進行機動時，同軌道2顆衛(wèi)星的基線盡可能拉長，同時在保證無碰撞風險下，不同軌的單顆衛(wèi)星機動至同軌衛(wèi)星的中垂線附近，從而使其到兩同軌衛(wèi)星的距離差較小，保證三星結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定.

圖17 單顆/兩顆衛(wèi)星規(guī)避的最優(yōu)質(zhì)解集位置Fig.17 Best solution sets for single satellite/two satellites avoidance

圖18 三顆衛(wèi)星規(guī)避的最優(yōu)質(zhì)解集位置Fig.18 Best solution sets for three satellites avoidance

5 結(jié)論

針對編隊衛(wèi)星在遭遇空間碎片威脅時的規(guī)避決策問題，通過基于多目標優(yōu)化算法對編隊衛(wèi)星的規(guī)避模型進行優(yōu)化分析，并以三星編隊的海洋偵察衛(wèi)星作為仿真算例進行研究.仿真結(jié)果表明：

(1) 衛(wèi)星可選擇的規(guī)避軌道有許多，但并不是每條規(guī)避軌道都具有使用的價值；

(2) NSGA-II算法可以對編隊衛(wèi)星規(guī)避軌道的選擇進行優(yōu)化，使得編隊衛(wèi)星在不受碰撞威脅的同時，燃料消耗和工作效率得到保證；

(3) 針對三星編隊海洋偵察衛(wèi)星，可以根據(jù)不同的預警類型，分別對編隊衛(wèi)星中的一顆、兩顆和全部三顆衛(wèi)星進行規(guī)避軌道優(yōu)化，為制定編隊衛(wèi)星規(guī)避策略提供了參考.