高興泉，黃東冬，丁三毛

(吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，吉林 吉林 132022)

現(xiàn)如今，多數(shù)PID參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的相關(guān)優(yōu)化算法在求解最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，都是依靠適應(yīng)度函數(shù)值的大小來(lái)區(qū)分優(yōu)化結(jié)果的好壞，可以看出目標(biāo)函數(shù)的選取在優(yōu)化算法中起著決定性的作用.一些常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)如絕對(duì)誤差積分[1]、誤差平方積分[2]、時(shí)間乘誤差平方積分[3]、時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分[4]都被引用到優(yōu)化算法的過(guò)程中，這些目標(biāo)函數(shù)能夠迅速減小起始誤差，并且在系統(tǒng)中反應(yīng)較快，但是系統(tǒng)中因此出現(xiàn)的超調(diào)變大將會(huì)無(wú)法避免，這些適應(yīng)度函數(shù)作用于系統(tǒng)時(shí)選擇性較差，最終導(dǎo)致系統(tǒng)的反應(yīng)速度變慢和穩(wěn)定性變差等問(wèn)題.本文提出將懲罰函數(shù)[5]引入到目標(biāo)函數(shù)中實(shí)現(xiàn)對(duì)PID的參數(shù)優(yōu)化的方法，首先以傳統(tǒng)遺傳算法[6]為基礎(chǔ)，選用時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分為目標(biāo)函數(shù)，然后將系統(tǒng)中出現(xiàn)的超調(diào)量作為懲罰項(xiàng)來(lái)構(gòu)建新的目標(biāo)函數(shù).最后以雙容水箱為例的仿真結(jié)果中表明，用懲罰函數(shù)構(gòu)造出的新的目標(biāo)函數(shù)能大大減小超調(diào)量，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力.

1 PID控制算法及其參數(shù)優(yōu)化

PID控制器是根據(jù)系統(tǒng)的給定值與輸出值之間的偏差作為輸入信號(hào)，利用此信號(hào)來(lái)和PID控制器中的控制算法相乘產(chǎn)生控制輸出，其控制規(guī)律如下：

(1)

其中：Kp是一個(gè)比例系數(shù)；Ki是積分系數(shù)；Kd是微分系數(shù)；e(t)是誤差信號(hào)；u(t)是PID的控制輸出.

PID控制器在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，最為困難的在于比例、積分、微分系數(shù)的選取問(wèn)題上.所以一般都會(huì)使用優(yōu)化算法對(duì)這3個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化進(jìn)而得到理想的參數(shù)來(lái)應(yīng)用于系統(tǒng).對(duì)于傳統(tǒng)優(yōu)化算法都會(huì)使用如下4種目標(biāo)函數(shù)來(lái)對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.

對(duì)于這4種目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化出來(lái)的PID參數(shù)效果并不滿(mǎn)意，使得系統(tǒng)中出現(xiàn)震蕩和超調(diào)的現(xiàn)象從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定.這里提出將傳統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)中結(jié)合懲罰函數(shù)的思想來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題.

2 懲罰函數(shù)

懲罰函數(shù)法[7]的優(yōu)點(diǎn)是能將系統(tǒng)約束融入最優(yōu)化問(wèn)題中，其中心思想就是將脫離可行域的點(diǎn)通過(guò)構(gòu)造懲罰函數(shù)的方式來(lái)進(jìn)行約束，然后用最優(yōu)化方法解決無(wú)約束情況下的相應(yīng)的問(wèn)題.然后考慮非線性約束優(yōu)化問(wèn)題[8-9]：

minf(x),

(2)

s.t.gi(x)≥0,i=1,…,m,

hj(x)=0,j=1,…,l,

(3)

其中f(x)為目標(biāo)函數(shù)，hj(x)(j=1,…,l)是等式約束條件，gi(x)(i=1,…,m)是不等式約束條件，三者均是在Rn上的連續(xù)函數(shù).

懲罰函數(shù)中心思想就是將問(wèn)題(2)轉(zhuǎn)化為：minG(x)=f(x)+cP(x)，此處的G(x)就是懲罰函數(shù)，c為懲罰因子，P(x)則為懲罰項(xiàng).

通常當(dāng)x在可行域內(nèi)時(shí)，P(x)=0，則G(x)=f(x)；當(dāng)x不在可行域內(nèi)的時(shí)候，在x處，cP(x)是很大的正數(shù)，他的存在就是迫使脫離點(diǎn)靠近可行域.

引理2.1[10]假設(shè)f,g,h是Rn上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)于每一個(gè)懲罰因子c，都會(huì)存在一個(gè)xc∈Rn，使得G(c)=f(xc)+cP(xc)成立，滿(mǎn)足以下內(nèi)容：

(1)inf{f(x):g(x)≤0,h(x)=0}≥

supc>0G(c)，其中G(c)=inf{f(x)+cP(x)}；

(2)當(dāng)c>0時(shí)，f(x)關(guān)于x單調(diào)不降，G(c)對(duì)于c單調(diào)不降，P(xc)對(duì)于c單調(diào)不增.

為了得到滿(mǎn)意的過(guò)渡過(guò)程動(dòng)態(tài)特性，采用時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分為目標(biāo)函數(shù):

(4)

若系統(tǒng)中出現(xiàn)了超調(diào)，以原來(lái)的目標(biāo)函數(shù)為基礎(chǔ)再加入懲罰函數(shù)，將系統(tǒng)中出現(xiàn)的超調(diào)量作為懲罰項(xiàng)加入目標(biāo)函數(shù)中形成新的目標(biāo)函數(shù)：

(5)

所以對(duì)于系統(tǒng)中的目標(biāo)函數(shù)可以總結(jié)為:

(6)

將帶有懲罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)用到PID的參數(shù)優(yōu)化中需要一種優(yōu)化算法，這里結(jié)合傳統(tǒng)遺傳算法實(shí)現(xiàn)PID的參數(shù)優(yōu)化.

3 遺傳算法解決PID參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題

3.1 遺傳算法

遺傳算法是一種可以模擬自然界生物繁衍規(guī)則進(jìn)化發(fā)展機(jī)制的隨機(jī)全局搜索和優(yōu)化學(xué)習(xí)算法.該算法的工作原理大致為以下3步：第1步，初始群體是在給定區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)方式產(chǎn)生；第2步，通過(guò)研究選取的適應(yīng)度函數(shù)來(lái)計(jì)算各個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，以適應(yīng)度值的大小來(lái)判斷所得解或個(gè)體是否為系統(tǒng)最優(yōu)；第3步，按照遺傳算子3大基本步驟進(jìn)行尋優(yōu)處理，也就是選擇、交叉、變異，從而得到最優(yōu)良的個(gè)體，最終讓種群不斷地尋優(yōu)直至達(dá)到理想的目標(biāo)區(qū)域內(nèi)為止.

3.2 遺傳算法求解PID參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的步驟

遺傳算法來(lái)優(yōu)化Kp，Ki，Kd3個(gè)參數(shù)，優(yōu)化得到的參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的控制性能有很大的改善.首先隨機(jī)產(chǎn)生初始種群，將種群信息給予PID參數(shù).若系統(tǒng)中出現(xiàn)超調(diào)，那么將超調(diào)量作為懲罰項(xiàng)構(gòu)造懲罰函數(shù)并且加入目標(biāo)函數(shù)中，從而生成新的目標(biāo)函數(shù).將新的目標(biāo)函數(shù)融入遺傳算法中的性能指標(biāo)中進(jìn)行判斷，借助遺傳算法中的基本法則不斷優(yōu)化，直到系統(tǒng)達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)，輸出最優(yōu)一組參數(shù).懲罰函數(shù)結(jié)合遺傳算法優(yōu)化PID參數(shù)示意圖如圖1所示.

圖1 遺傳算法優(yōu)化PID參數(shù)系統(tǒng)圖

3.3 實(shí)施步驟

遺傳算法通過(guò)以下步驟優(yōu)化PID參數(shù)：

(1)按經(jīng)驗(yàn)選取一組Kp、Ki、Kd參數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際情況以及要求確定約束條件，Kp∈[0,8]，Ki∈[0,2]，Kd∈[0,1].

(2)編碼及初始種群生成.采用二進(jìn)制的方法對(duì)系統(tǒng)中的Kp、Ki、Kd參數(shù)進(jìn)行編碼，并且設(shè)置種群規(guī)模為50，根據(jù)之前按經(jīng)驗(yàn)法所得參數(shù)產(chǎn)生初始種群.

(3)系統(tǒng)如果存在超調(diào)，則選擇加入懲罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)J1，如果沒(méi)有超調(diào)，則選擇目標(biāo)函數(shù)J作為最優(yōu)性能指標(biāo).

(4)解碼，確定適應(yīng)度函數(shù)f=1/J，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)來(lái)算個(gè)體適應(yīng)度值的大小來(lái)判斷并找出最優(yōu)個(gè)體.

(5)若符合優(yōu)化要求(達(dá)到設(shè)置的最大進(jìn)化代數(shù))，即可輸出系統(tǒng)中最優(yōu)的一組PID參數(shù)，算法結(jié)束，若不滿(mǎn)足要求，按照遺傳算法的核心三大步繼續(xù)尋優(yōu)以尋得最優(yōu)一組參數(shù)為止.

(6)返回步驟(3)，若系統(tǒng)流程優(yōu)化至指定要求(達(dá)到設(shè)置的最大進(jìn)化代數(shù))，將最優(yōu)解輸出，否則，繼續(xù)進(jìn)行優(yōu)化.

遺傳算法優(yōu)化PID參數(shù)的流程圖如圖2所示.

圖2 遺傳算法優(yōu)化PID參數(shù)流程

4 仿真實(shí)驗(yàn)并分析

以雙容水箱系統(tǒng)為例.將懲罰函數(shù)引入到目標(biāo)函數(shù)中實(shí)現(xiàn)對(duì)PID參數(shù)優(yōu)化的方法應(yīng)用到雙容水箱系統(tǒng)中.

雙容水箱模型描述如下：

(7)

其中:h1和h2分別代表上水箱和下水箱的液位；Q代表流量；其他參數(shù)代表的意義及其數(shù)值如表1所示.

表1 參數(shù)代表意義及數(shù)值

雙容水箱系統(tǒng)實(shí)際上是以下水箱的液位達(dá)到設(shè)定值為控制目標(biāo).上水箱和下水箱的初始液位均設(shè)為0.本次設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)是對(duì)下水箱液位達(dá)到的設(shè)定值為15 cm.

下面采用基本遺傳算法、懲罰函數(shù)引入到目標(biāo)函數(shù)兩種方法對(duì)PID參數(shù)整定的仿真進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn).遺傳算法中的種群大小設(shè)置為50，進(jìn)化代數(shù)為100代，交叉率為0.9，變異率為0.01，懲罰函數(shù)的懲罰因子設(shè)置為100.

兩種方法優(yōu)化PID參數(shù)結(jié)果如表2所示.

表2 兩種方法優(yōu)化PID參數(shù)的結(jié)果

圖3所示為兩種優(yōu)化PID參數(shù)方法對(duì)最優(yōu)適應(yīng)度值的對(duì)比圖.

進(jìn)化代數(shù)圖3 最優(yōu)適應(yīng)度值對(duì)比圖

從圖3就可以看出，通過(guò)兩種優(yōu)化方法最后得到的最優(yōu)指標(biāo)幾乎是一致的，但是基本的遺傳算法在58代的時(shí)候接近最優(yōu)，62代才能達(dá)到最優(yōu)，而懲罰函數(shù)引入到目標(biāo)函數(shù)的方法在5代的時(shí)候接近最優(yōu)，到12代的時(shí)候就達(dá)到了最優(yōu)，表明了懲罰函數(shù)引入到目標(biāo)函數(shù)的方法能夠大大提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力.

圖4為總仿真時(shí)間為200 s下的兩種優(yōu)化后的下水箱液位曲線和PID輸出控制量曲線.

從圖4可以看出，基本的遺傳算法雖然能使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，但是系統(tǒng)中還是存在著較大的超調(diào).而用本文所設(shè)計(jì)的新目標(biāo)函數(shù)的結(jié)果來(lái)看，系統(tǒng)中幾乎沒(méi)有存在超調(diào)，有效地控制了系統(tǒng)中的超調(diào)量，并且能夠有效地改善系統(tǒng)控制性能的穩(wěn)定性.

t/s

t/s圖4 液位曲線及控制量曲線

5 結(jié) 論

針對(duì)傳統(tǒng)優(yōu)化算法對(duì)PID參數(shù)優(yōu)化時(shí)，由于目標(biāo)函數(shù)選擇不當(dāng)出現(xiàn)的超調(diào)量過(guò)大，從而引起系統(tǒng)的反應(yīng)速度變慢和穩(wěn)定性變差的問(wèn)題，提出了懲罰函數(shù)引入到目標(biāo)函數(shù)中實(shí)現(xiàn)對(duì)PID的參數(shù)優(yōu)化的方法.在系統(tǒng)的運(yùn)行過(guò)程中，一旦產(chǎn)生超調(diào)，則懲罰函數(shù)將會(huì)用超調(diào)量作為懲罰項(xiàng)加入目標(biāo)函數(shù)中，進(jìn)而形成新的目標(biāo)函數(shù)，遺傳算法將會(huì)以帶有罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.本文中，以雙容水箱系統(tǒng)仿真為例，實(shí)踐仿真結(jié)果表明，懲罰函數(shù)引入到目標(biāo)函數(shù)中實(shí)現(xiàn)對(duì)PID的參數(shù)優(yōu)化的方法能有效地減小了超調(diào)量，加快優(yōu)化以及運(yùn)行速度的同時(shí)保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.