張光輝

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000)

分?jǐn)?shù)階微分方程作為一種新的建模工具，在彈性材料、信號(hào)處理、流體力學(xué)和控制系統(tǒng)等領(lǐng)域有非常廣泛的應(yīng)用[1-5].分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性已被眾多學(xué)者給出和討論[6].下文將基于Chebyshev逼近，推導(dǎo)整數(shù)s階和分?jǐn)?shù)α階譜微分算子矩陣，并建立用于計(jì)算α階導(dǎo)數(shù)的Chebyshev譜微分算子矩陣的遞推公式.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1Caputo意義下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[7]：

(1)

其中a≤x≤b,m-1<α≤m，m∈N.

Tn(x)=cos(narccosx)，|x|≤1.

(2)

引理1關(guān)于Caputo意義下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子Dα，滿足[7]：

Dα(λ1f1+λ2f2)=λ1Dαf1+λ2Dαf2，λ1,λ2∈R.

(3)

引理2n次Chebyshev多項(xiàng)式[8]Tn(x)=cos(narccosx)，對(duì)?n≥1，成立：

(a)Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)，

2 Chebyshev譜微分矩陣的構(gòu)建

2.1 整數(shù)階譜微分矩陣

記區(qū)間[-1,1]上次數(shù)不大于n的所有代數(shù)多項(xiàng)式空間為:

(4)

例如n=5時(shí)，(4)式為

2.2 分?jǐn)?shù)階譜微分矩陣

當(dāng)-11時(shí)可做類似分析)，由定義1得f(x)的α階導(dǎo)數(shù)為：

(5)

(6)

其中J=[J0(x),J1(x),…,Jn(x)]|X，T=[T0(x),T1(x),…,Tn(x)]|X.

下面給出計(jì)算Jk(xi)的迭代公式，以完成矩陣J的計(jì)算[10].

定理1[-1,1]上由Chebyshev多項(xiàng)式Tn(x)生成的序列Jn(x)滿足遞推關(guān)系：

(1+x)1-α(-1)n+1，

考慮積分式

類似的，有

考慮積分式

由引理2(a)遞推關(guān)系，進(jìn)一步計(jì)算，得

整理，得

2.3 [0,T]上譜微分算子矩陣

當(dāng)0

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

N圖1 函數(shù)的階Chebyshev譜導(dǎo)數(shù)精度

N圖2 函數(shù)的階Chebyshev譜導(dǎo)數(shù)精度

4 結(jié) 論

將用分?jǐn)?shù)階譜微分算子矩陣計(jì)算的數(shù)值結(jié)果和解析解進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)隨著f(x)的Chebyshev級(jí)數(shù)展開式中截取項(xiàng)數(shù)n的增加，解析解和數(shù)值解誤差的無窮范數(shù)迅速收斂，且在算例2中達(dá)到了譜精度，從而驗(yàn)證了譜微分算子矩陣的有效性和高精度.