余 鵬，張曉宇，陳 杰，杜兆偉，殷 洪

(武漢第二船舶設(shè)計研究所，湖北 武漢 430205)

0 引 言

在水下航行器的初步設(shè)計階段，對其主要組成的圓柱殼結(jié)構(gòu)進行聲振響應(yīng)預(yù)報，可以為結(jié)構(gòu)的聲學(xué)優(yōu)化設(shè)計提供理論基礎(chǔ)[1-2]。

在實際工程中，為了對結(jié)構(gòu)振動數(shù)據(jù)進行采樣，需要在結(jié)構(gòu)表面布置相關(guān)傳感器，但在整個結(jié)構(gòu)上均布置傳感器實施難度大、不現(xiàn)實。所以，通過一種好的測點布置方法，實現(xiàn)較少數(shù)目的傳感器對結(jié)構(gòu)聲振響應(yīng)的準確預(yù)報就顯得非常重要。目前，國內(nèi)研究人員基本是采用均勻布置方法[3-7]，這種方法簡單易行，但測點數(shù)目及位置的選擇存在較大的主觀性和盲目性，且需借助大量的數(shù)值分析算例。

幾十年來，學(xué)者們根據(jù)自然界中的生物進化或物理演變過程，提出了很多基于概率變換來實現(xiàn)最優(yōu)組合的隨機類算法，如遺傳算法等[8]。這類算法可在全域內(nèi)進行搜索，不易陷入局部最優(yōu)解，比較適合解決組合優(yōu)化類的問題，但也存在收斂速度慢、迭代次數(shù)多、計算效率有待改善等缺點。

針對圓柱殼結(jié)構(gòu)的測點布置問題，本文提出一種改進方法—均勻子集隨機選取測點方法：將所有待選測點分成相互獨立的均勻子集，子集數(shù)量與測點數(shù)量保持一致，測點從各個子集中隨機選取，再利用設(shè)定的目標函數(shù)對隨機選取的測點組進行評價，從而選擇出好的測點布置方案。這種測點布置改進方法不僅具有均勻布置方法中取樣全面、操作簡單等優(yōu)點，同時通過劃分子集進行隨機選擇，可避免選擇范圍廣、收斂速度慢、迭代次數(shù)多等缺點。

根據(jù)模態(tài)疊加原理，可將結(jié)構(gòu)振速展開為模態(tài)疊加的形式，再利用均勻子集隨機選取方法得到的測點布置方案，與均勻布置方法對比。通過上述不同測點布置方案得到的水下圓柱殼振動聲輻射預(yù)報結(jié)果對比表明，均勻子集隨機選取測點方法是一種優(yōu)秀的測點布置方法。

1 基本理論

1.1 模態(tài)疊加理論

水下彈性結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)方程如下：

其中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；p(t)為 流體與結(jié)構(gòu)交界面上的流體載荷；f(t)為除了p(t)以 外的外界激勵；x(t)為結(jié)構(gòu)各節(jié)點的位移向量。

經(jīng)拉普拉斯變換可得：

將結(jié)構(gòu)振速展開為如下形式：

式中：V為結(jié)構(gòu)速度矢量； ?r為第r階模態(tài)振型；qr為第r階模態(tài)坐標。

速度與位移的關(guān)系如下：

結(jié)合式（2）～式（4）可得：

式中：ms=?Ts M?s為模態(tài)質(zhì)量，cs=?TsC?s為模態(tài)阻尼，ks=?TsK?s為模態(tài)剛度。

由此，可得第S階模態(tài)坐標為：

當阻尼及外部激勵均為0 時，式（5）可表示如下：

式中： ωr為結(jié)構(gòu)在空氣中的固有頻率。對式（7）進行質(zhì)量歸一，即ms=?sTM?s=1，可得：

根據(jù)式（7），當結(jié)構(gòu)處于流體介質(zhì)中時，其對結(jié)構(gòu)振動影響可表示成附加質(zhì)量的形式：

式中： ?ms為模態(tài)附連水質(zhì)量； ωs為結(jié)構(gòu)水中模態(tài)的固有頻率。

結(jié)合式（7）～式（9），可得：

即可通過式（10），對結(jié)構(gòu)空氣和水中的振動固有頻率進行轉(zhuǎn)換。

1.2 均勻子集隨機選取測點方法

均勻子集隨機選取測點包含以下3 個方面內(nèi)容：

1）子集劃分

將所有待選測點劃分成相互獨立的均勻子集，子集數(shù)量與測點數(shù)量保持一致。并且可根據(jù)結(jié)構(gòu)形狀選擇合適的子集劃分方式，針對本文中的單層圓柱殼結(jié)構(gòu)，可沿軸向和周向進行劃分，圖1 所示將圓柱殼沿軸向分成了4 個子集，圖2 所示將圓柱殼沿周向分成了8 個子集，子集的表示方式為AiBj(i=1,···,4;j=1,···,8)， 子集A1和A2交 界處的節(jié)點視為子集A1中的節(jié)點，子集B1和B2交 界處的節(jié)點視為子集B2中的節(jié)點。

圖1 沿軸向劃分子集示意圖Fig. 1 The axial subset

2）測點選取

從每個子集中隨機選擇一個測點形成測點組合，并且引入循環(huán)策略，循環(huán)選擇的次數(shù)應(yīng)足夠多，以保證能夠大概率的選到子集中每一個待選測點。

3）目標函數(shù)設(shè)定

圖2 沿周向劃分子集示意圖Fig. 2 The circumferential subset

由于每個測點均是從對應(yīng)子集中隨機選取，所以通過設(shè)定目標函數(shù)，對選取的測點組合進行評判?？筛鶕?jù)實際情況設(shè)定合適的目標函數(shù)，本文將測點組模態(tài)矩陣的MAC 值[9-10]作為目標函數(shù)，如下式：

式 中： ?i為第i階模態(tài)向量； ?j為第j階模態(tài)向量；MAC值為模態(tài)向量的余弦值，其值越小，模態(tài)向量的空間夾角就越大，對應(yīng)振型越易識別。

本文通過計算不同測點組的模態(tài)矩陣MAC值，從而選擇MAC值最小的測點組，再對水下單層圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動聲輻射進行預(yù)報，以驗證本文方法的準確性。

1.3 振動聲輻射預(yù)報基本理論

假設(shè)模態(tài)階數(shù)為N，節(jié)點數(shù)為n，以矩陣形式將振速在模態(tài)空間中展開如下：

根據(jù)式（12），若測點數(shù)為M個，則測點振速可表示如下：

已知測點振速 [V]M×1， 和前N階模態(tài)向量 [Φ]M×N，根據(jù)式（13）可求解得到模態(tài)坐標，進而通過式（12）可得到結(jié)構(gòu)表面所有節(jié)點振速 [V]n×1，再結(jié)合邊界元法得到的聲傳遞矢量ATV，即可求解輻射聲壓如下：

2 數(shù)值分析

2.1 有限元建模

本文中的單層圓柱殼結(jié)構(gòu)相關(guān)參數(shù)如下：

總 長L=1.2 m， 半 徑R=0.4 m，殼 體 厚t=0.01 m ，密 度 ρ=7 800 kg/m3，彈 性 模 量E=210 GPa，泊 松 比μ=0.3，阻尼比ξ =0.005，尺寸如圖3 所示。

圖3 結(jié)構(gòu)尺寸示意圖Fig. 3 The structure size

對結(jié)構(gòu)兩端面上的節(jié)點約束橫向和垂向位移，在結(jié)構(gòu)中間正下方作用一垂向單位力。同時在距離結(jié)構(gòu)100 m 處，與激勵力相同方向和垂直方向分別布置1 個聲壓場點，如圖4 所示。

圖4 聲壓場點位置示意圖Fig. 4 The sound pressure field point

采用Ansys 軟件對結(jié)構(gòu)進行有限元建模，在軸向和周向分別劃分24 和48 個網(wǎng)格，頻率分析范圍由2～1000 Hz，間隔2 Hz。有限元模型如圖5 所示。

圖5 結(jié)構(gòu)有限元模型Fig. 5 The structural finite element model

2.2 模態(tài)分析

根據(jù)上述理論分析，結(jié)合有限元軟件，可得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析結(jié)果如表1 所示。

根據(jù)上表分析結(jié)果，第47 階空氣振動模態(tài)對應(yīng)的水中頻率已達1000 Hz 以上。為了避免頻率范圍內(nèi)的模態(tài)遺漏，本文選取了空氣中前100 階模態(tài)進行分析。

表1 固有頻率換算表Tab. 1 Natural frequency conversion table

2.3 振動聲輻射預(yù)報

為驗證本文方法的準確性，開展對比分析。

1）均勻測點布置

目前，均勻測點布置方法在圓柱殼結(jié)構(gòu)振動采樣中應(yīng)用最為廣泛，所以，本文先針對這種方法預(yù)報結(jié)構(gòu)振動聲輻射開展分析研究。

根據(jù)上述建模情況，模型總的節(jié)點數(shù)目為1200，去除邊界節(jié)點，其余均可作為待選測點，共計1104 個待選測點。按照測點布置的疏密程度不同，本文設(shè)計了以下3 種方案：方案1 的測點總數(shù)為264，其中軸向11 排，周向24 列，測點布置較為密集；方案2 相比方案1，將軸向測點減為6 排，周向測點不變，測點總數(shù)144；方案3 相比方案2，軸向測點不變，將周向測點減為12 列，測點總數(shù)72。

表2 三種均勻布置方案對比Tab. 2 Comparison of three uniform layout schemes

圖6 均勻布置方案1Fig. 6 The first uniform layout scheme

圖7 均勻布置方案2Fig. 7 The second uniform layout scheme

圖8 均勻布置方案3Fig. 8 The third uniform layout scheme

根據(jù)截斷的前100 階空氣中模態(tài)、及上述3 種均勻測點布置方案，通過式（13）對結(jié)構(gòu)表面振速場進行重構(gòu)。其中方案1 和方案2 的測點數(shù)目M大于模態(tài)數(shù)目N，采用最小二乘法求解；方案3 的測點數(shù)目M小于模態(tài)數(shù)目N，采用欠定分離法解決解的非唯一性問題。根據(jù)重構(gòu)的結(jié)構(gòu)表面振速，結(jié)合邊界元法求得的聲傳遞矢量ATV，通過式（14）便可得到各個場點的輻射聲壓，如圖9～圖11 所示。

圖9 均方振速對比結(jié)果Fig. 9 The change curve of square vibration velocity

圖10 1 號場點輻射聲壓對比結(jié)果Fig. 10 The radiated sound pressure of field point No.1

通過對比上述結(jié)果可知，在分析頻段內(nèi)，方案1和方案2 的預(yù)報結(jié)果精度更高，且方案2 的預(yù)報結(jié)果已基本達到收斂，但方案3 的預(yù)報結(jié)果精度明顯降低。

2）均勻子集隨機選取測點布置

圖11 2 號場點輻射聲壓對比結(jié)果Fig. 11 The radiated sound pressure of field point No.2

根據(jù)上述理論分析，該方法將所有待選測點分成相互獨立的均勻子集，子集數(shù)量與測點數(shù)量保持一致，從每個子集中隨機選擇一個測點形成測點組合，再通過目標函數(shù)對每種測點組合進行評價，從而選擇出好的測點布置方案。

以上述方案3 為參照，對應(yīng)其測點布置方案，本文將結(jié)構(gòu)沿周向劃分了12 個子集，軸向劃分了6 個子集，劃分的子集總數(shù)為72 個，如圖12 和圖13 所示。在循環(huán)策略中，為了盡可能選到每一個待選測點，本文將循環(huán)次數(shù)定為單個子集中待選測點數(shù)目的10 倍，考慮單個子集中最多有16 個待選測點，相應(yīng)需進行160 次循環(huán)操作。再根據(jù)式（11）中設(shè)定的目標函數(shù)，當目標函數(shù)MAC 值為0.1461 時達到最小，其對應(yīng)的測點布置方案如圖12 和圖13 所示。利用該組測點對結(jié)構(gòu)振動聲輻射進行預(yù)報，得到的預(yù)報結(jié)果與均勻布置方法對比曲線如圖14～圖16 所示。

圖12 軸向測點分布示意圖Fig. 12 The axial measuring point distribution

圖13 周向測點分布示意圖Fig. 13 The circumferential measuring point distribution

圖14 均方振速對比結(jié)果Fig. 14 The change curve of square vibration velocity

圖15 1 號場點輻射聲壓對比結(jié)果Fig. 15 The radiated sound pressure of field point No.1

圖16 2 號場點輻射聲壓對比結(jié)果Fig. 16 The radiated sound pressure of field point No.2

由圖12 和圖13 可知，本文通過劃分子集的方式選取測點，使得測點能夠覆蓋曲面且分布相對均勻。通過設(shè)定目標函數(shù)MAC 值，可保證能夠選取到模態(tài)向量空間夾角小的測點組合，對應(yīng)的模態(tài)振型更易辨識。最后通過圖14～圖16 中的振動聲輻射預(yù)報結(jié)果對比曲線可知，當其他因素（如分析頻段、測點數(shù)目、模態(tài)截斷數(shù)目等）相同時，相比均勻測點布置方法，均勻子集隨機選取測點方法能夠更準確地進行振動聲輻射預(yù)報，且能與參考結(jié)果吻合較好。

3 結(jié) 語

通過上述分析，可得到以下結(jié)論：

1）均勻子集隨機選取測點方法測點覆蓋曲面、分布均勻，并且測點選取不存在主觀性和盲目性。

2）本文以測點組模態(tài)矩陣的MAC 值作為目標函數(shù)，可保證測點組的模態(tài)向量間的空間夾角較小，其模態(tài)振型相應(yīng)較易識別。

3）通過數(shù)值分析，當分析頻段、測點數(shù)目、模態(tài)截斷數(shù)目等相同時，該方法對結(jié)構(gòu)振動聲輻射預(yù)報結(jié)果的精度比均勻布置方法更高。