苗晉達(dá)，羅天任，蔡 寧，張明敏，潘志庚

AR物理實(shí)驗(yàn)中的磁感線仿真

苗晉達(dá)1，羅天任2，蔡 寧2，張明敏1，潘志庚2

(1. 浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 310012； 2. 杭州師范大學(xué)虛擬現(xiàn)實(shí)與智能系統(tǒng)研究院，浙江 杭州 311121)

針對如何在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，在增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)(AR)的虛擬環(huán)境中模擬出符合物理規(guī)律的磁感線、電場線等曲線的問題，研究了一套在三維空間中擬合出符合磁感線性質(zhì)的磁感線算法，并將其應(yīng)用到多模態(tài)自然交互的AR實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中。該算法使用四階龍格庫塔方法生成磁感線，并在必要時(shí)使用能量最小化的方法進(jìn)行修正。該AR系統(tǒng)使用基于實(shí)物套件的增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)并利用多相機(jī)協(xié)同AR三維注冊來克服傳統(tǒng)二維MARK跟蹤失效問題。最終以中學(xué)教學(xué)中常見的電生磁實(shí)驗(yàn)為例，測試了該磁感線生成算法和實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。結(jié)果表明，該磁感線符合物理定律，并可以較好地服務(wù)于電磁相關(guān)的物理實(shí)驗(yàn)中，具有解決實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象不明顯，使學(xué)生理解更為直觀透徹的實(shí)際意義。

磁感線；仿真；MARK；龍格庫塔方法；修正

1 背景介紹

近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)和移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)大潮的來臨，增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)(augmented reality，AR)技術(shù)正在和傳統(tǒng)的教育方法進(jìn)行深度融合。AR物理實(shí)驗(yàn)具有增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的優(yōu)點(diǎn)，可令學(xué)生更加直觀、易懂地理解抽象概念。其中，電磁場相關(guān)概念的重要性對于初高中物理是不言而喻的。然而，由于其概念的抽象性，中學(xué)生在理解時(shí)難免會(huì)出現(xiàn)困難，產(chǎn)生挫敗感。如何在AR的虛擬環(huán)境中模擬出符合物理規(guī)律的磁感線、電場線等曲線便成為了亟待解決的焦點(diǎn)問題。

磁感線是用以形象地描繪磁場分布的曲線，是人為假設(shè)的曲線。人們將磁感線定義為處處與磁感應(yīng)強(qiáng)度相切的線。磁感線方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向相同，磁感線的密度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小成正比。了解磁感線的基本特點(diǎn)是掌握和分析磁路的基礎(chǔ)。然而傳統(tǒng)的中學(xué)實(shí)驗(yàn)具有很多的局限性如成本高、抽象(如磁感線、電流不可視等)。在中學(xué)常見的電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)中，磁場的可視化是通過鐵屑在磁場中的分布來間接實(shí)現(xiàn)的，如圖1所示。

圖1 磁感線可視化的傳統(tǒng)做法

傳統(tǒng)做法有以下缺陷：在實(shí)驗(yàn)過程中，由于實(shí)驗(yàn)是在水平桌面上進(jìn)行，易給學(xué)生帶來誤導(dǎo)；磁感線布滿磁體周圍整個(gè)空間，并不在一個(gè)平面上。輕敲玻璃板時(shí)，由于晃動(dòng)鐵屑轉(zhuǎn)動(dòng)不均勻不能直觀展現(xiàn)磁場分布。

與之相比，AR為用戶提供了一個(gè)無縫的界面，其結(jié)合了現(xiàn)實(shí)世界和虛擬世界。用戶可與周圍的真實(shí)場景中的虛擬對象進(jìn)行交互，并獲得最自然和真實(shí)的人機(jī)交互體驗(yàn)。

本文主要研究了通電螺線管生成的磁感線及磁場的幾種可視化方法。并使之符合磁感線的基本屬性，如閉合的，疏密表示磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。之后將其集成到AR系統(tǒng)中，最后在真實(shí)的場景中可以看到AR模擬出的虛擬的磁感線及磁場。

進(jìn)一步研究了對磁場中離散點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的可視化的方法。通過畢奧薩伐爾定理可以精確地計(jì)算出空間上某一位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度。還研究了磁場中閉合磁感線的可視化方法。使之在美觀的同時(shí)在視覺上符合磁感線的物理約束，并與目前常見的中學(xué)物理書上示意圖式的磁感線方式相比，本文呈現(xiàn)的磁感線更精確、更能表現(xiàn)磁感線的真實(shí)意義。

圖2展示了AR物理實(shí)驗(yàn)中的磁場可視化?？煽吹秸鎸?shí)的手和虛擬的螺線管產(chǎn)生的磁感線在三維空間中相互遮擋，另一只手拿起了虛擬的小磁針。通過調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器改變磁感線的疏密。

圖2 AR物理實(shí)驗(yàn)中的磁場可視化

2 相關(guān)工作

經(jīng)過研究和測試，AR技術(shù)用于中小學(xué)和大學(xué)的教育確實(shí)可以起到促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的作用。LEE[1]描述了AR如何應(yīng)用于教育和培訓(xùn)，以及對未來實(shí)驗(yàn)教育的潛在影響。ARICI等[2]關(guān)注了AR在2013– 2018年度發(fā)表的科學(xué)教育文章中的應(yīng)用，指出了化學(xué)實(shí)驗(yàn)需要更接近真實(shí)自然的交互。文獻(xiàn)[3]篩選出68篇期刊論文進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)AR技術(shù)在教育環(huán)境中具有許多優(yōu)勢，且可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。文獻(xiàn)[4]分析了AR對學(xué)生學(xué)習(xí)成績的有利影響。此外，還分析了學(xué)習(xí)環(huán)境、學(xué)習(xí)者類型等變量對學(xué)習(xí)收益的影響。

近年來，具有三維空間的虛擬實(shí)驗(yàn)的交互技術(shù)研究越來越受到研究者們的青睞，并將虛擬現(xiàn)實(shí)(virtual reality，VR)和AR技術(shù)應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)教育，并取得良好的效果。

WANG等[5]開發(fā)了一個(gè)基于AR的移動(dòng)設(shè)備交互應(yīng)用程序DSIAR來模擬雙縫干涉物理實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，DSIAR在輔助物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)、吸引學(xué)生注意力、激發(fā)學(xué)生興趣等方面具有積極的作用。文獻(xiàn)[6]探討不同類型的AR與引導(dǎo)策略對高中生電化學(xué)概念的影響。文獻(xiàn)[7]提出了一種用于教育的三維磁場沉浸式實(shí)時(shí)可視化系統(tǒng)，使用戶能夠在增強(qiáng)的三維空間中方便地觀察和掌握由多個(gè)源(如磁鐵和/或多個(gè)線圈)產(chǎn)生的磁場。允許用戶在可視化空間內(nèi)自由交互移動(dòng)磁源，實(shí)時(shí)觀察磁場干擾。文獻(xiàn)[8]使用AR與運(yùn)動(dòng)傳感學(xué)習(xí)技術(shù)教授磁場的知識(shí)，參與實(shí)驗(yàn)的38名八年級(jí)學(xué)生被分為實(shí)驗(yàn)組和對照組。結(jié)果表明，基于AR的運(yùn)動(dòng)感知軟件可以改善學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)成果。文獻(xiàn)[9]挑選101名參加數(shù)學(xué)展覽的參與者，測量利用AR技術(shù)在非正式學(xué)習(xí)環(huán)境中獲取和記憶數(shù)學(xué)知識(shí)的效果。與沒有AR的展覽相比，參觀者從增強(qiáng)展覽中獲得了更多的知識(shí)。文獻(xiàn)[10]使用AR工具來幫助化學(xué)教學(xué)，通過直觀的3D用戶界面幫助學(xué)生更好地理解幾何圖形的空間結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[11]利用AR可視化模擬光學(xué)工作臺(tái)，學(xué)生可以交互式地修改透鏡類型等屬性和儀器在空間中的位置，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對光學(xué)定律的理解。文獻(xiàn)[12]使用AR和VR的開源技術(shù)，將分子可視化應(yīng)用于原子上。文獻(xiàn)[13]針對初中化學(xué)課堂物質(zhì)部分的構(gòu)成，設(shè)計(jì)開發(fā)了一套基于探究性的AR學(xué)習(xí)工具。學(xué)生可利用標(biāo)記物控制、組合，與三維微粒子模型交互，進(jìn)行一系列探究性實(shí)驗(yàn)。文獻(xiàn)[14]利用虛實(shí)融合技術(shù)，以凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)為例，利用AR技術(shù)進(jìn)行互動(dòng)性、綜合性的成像實(shí)驗(yàn)以提高教學(xué)效果，發(fā)現(xiàn)虛實(shí)融合的學(xué)習(xí)環(huán)境可極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)習(xí)能力。文獻(xiàn)[15]提出了基于價(jià)層電子對互斥(valence shell electron pair repulsion，VSEPR)理論的AR教學(xué)系統(tǒng)，旨在提高學(xué)生的三維空間認(rèn)知和更深刻理解化學(xué)反應(yīng)的能力。文獻(xiàn)[16]開發(fā)了一種針對中學(xué)生的電磁感應(yīng)AR教學(xué)輔助工具，以127名日本中學(xué)生為實(shí)驗(yàn)對象，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，63%的學(xué)生在使用AR教具后能夠科學(xué)地講解電磁感應(yīng)原理。文獻(xiàn)[17]采訪了使用物理方面的AR輔助教育系統(tǒng)的老師，并總結(jié)出以下幾點(diǎn)對AR教育系統(tǒng)設(shè)計(jì)的建議，即要有新穎性、強(qiáng)化性、探索性、多變的展示和協(xié)同性。文獻(xiàn)[18]則使用unity開發(fā)了使用AR的現(xiàn)代教育系統(tǒng)。

3 系統(tǒng)框架

本研究的技術(shù)流程如圖3所示。

本研究根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)定制出符合實(shí)驗(yàn)特點(diǎn)的虛實(shí)交互方案，以中學(xué)實(shí)驗(yàn)較為復(fù)雜和典型的奧斯特實(shí)驗(yàn)(電生磁實(shí)驗(yàn))為例進(jìn)行交互設(shè)計(jì)。表1和表2分別介紹了該AR實(shí)驗(yàn)中實(shí)物和虛物的選擇與交互的方式。

圖3 技術(shù)流程圖

表1 實(shí)物和虛物的選擇

表2 交互方式

4 虛實(shí)融合實(shí)驗(yàn)仿真及其關(guān)鍵技術(shù)實(shí)現(xiàn)

4.1 總體流程

該虛實(shí)融合實(shí)驗(yàn)主要用到的關(guān)鍵技術(shù)有：①三維空間的磁感線可視化技術(shù)；②基于實(shí)物套件的AR技術(shù)；③虛實(shí)空間關(guān)系一致性渲染技術(shù)。具體步驟為：

(1)獲取實(shí)驗(yàn)中螺線管的各參數(shù)，如半徑、匝數(shù)等。根據(jù)畢奧薩伐爾定理計(jì)算周圍的磁場分布。

(2)通過空間離散不均勻向量場生成磁感線模型。

(3)將上述生成的磁感線模型導(dǎo)入本文的虛實(shí)融合實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，利用RGB-D相機(jī)和其他輔助相機(jī)追蹤手和手上佩戴的紙環(huán)標(biāo)記物，并根據(jù)深度信息進(jìn)行三維重建還有追蹤實(shí)物套件上的MARK來進(jìn)行三維注冊。

(4) 利用虛實(shí)遮擋算法進(jìn)行渲染處理，將渲染的結(jié)果輸出到主屏幕上。

4.2 磁場仿真的關(guān)鍵技術(shù)實(shí)現(xiàn)

4.2.1 磁場中離散點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可視化

已知通電導(dǎo)體周圍存在磁場，由式(1)畢奧薩伐爾定理的推論可知，有限長通電直導(dǎo)線在任意一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小(磁場)為

其中，為點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向可由右手螺旋定則給出：用右手握住通電直導(dǎo)線，大拇指指向電流的方向，四指指向的是磁感線的環(huán)繞方向；為點(diǎn)到直導(dǎo)線所在直線的距離；為通電導(dǎo)線的電流強(qiáng)度；μ0為常數(shù)。其他符號(hào)如圖4所示。

由畢奧薩伐爾定理可知，空間中任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度與通電導(dǎo)線的形狀有關(guān)，中學(xué)實(shí)驗(yàn)中大多數(shù)導(dǎo)線圈都是圓形線圈組，為了加速計(jì)算，將不規(guī)則形狀近似成很多直線段來求解，根據(jù)算法表現(xiàn)的性能還可以控制近似參數(shù)，達(dá)到視覺效果與計(jì)算速度的折衷平衡。

在本例中，將圓形導(dǎo)線近似成正多邊形進(jìn)行求解。首先分別計(jì)算多邊形的每一條邊在某一位置生成的磁感應(yīng)強(qiáng)度，最后疊加所有磁感應(yīng)強(qiáng)度即可得到該螺線圈在該位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。

通電線圈附近空間中處處有磁強(qiáng)，由此構(gòu)成的磁場是一個(gè)連續(xù)的向量場，但在計(jì)算機(jī)中只能生成離散場，用本文方法生成的可視化離散場如圖5所示。

本文依據(jù)畢奧薩伐爾定理，空間中每點(diǎn)的磁強(qiáng)是根據(jù)每段導(dǎo)線的影響進(jìn)行積分而得的，即將各個(gè)直線段在該點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度疊加起來。因此磁強(qiáng)度和方向不依賴于線圈的形狀，所以可以用此方法可視化任何形狀的通電導(dǎo)線生成的磁場，如圖6所示，該磁場是由三角形形狀的線圈產(chǎn)生的。

圖4 有限長通電直導(dǎo)線的磁場強(qiáng)度計(jì)算示意圖

圖5 2個(gè)圓形通電線圈生成的磁場在二維圓形區(qū)域內(nèi)的可視化

圖6 正三角形螺線管的磁場在球形區(qū)域內(nèi)的可視化

4.2.2 磁感線的可視化

磁感線的可視化首先要滿足磁感線的物理性質(zhì)。由麥克斯韋方程組可知，磁場的散度總合為零，其物理性質(zhì)為：磁感線是閉合曲線；任意2條磁感線不相交；磁感線上每一點(diǎn)的切線方向都表示該點(diǎn)的磁場方向；磁感線的疏密程度表示磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。

綜上，可知空間任意位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度。并根據(jù)其擬合出磁感線，已知三維空間中的某曲線(磁感線)在離散點(diǎn)上的方向(磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向)，擬合出該曲線。選擇使用擁有較高階的精度四階龍格庫塔法(圖7)，如式(2)

其中，u為磁感線上的第個(gè)點(diǎn)(的三維位置坐標(biāo))；為步長；函數(shù)()的參數(shù)是三維位置坐標(biāo)，返回的是該位置的單位磁感應(yīng)強(qiáng)度；u+1即為所求。

由于磁感線可視化算法的復(fù)雜性，本文很難令磁感線的生成達(dá)到動(dòng)態(tài)交互的水平。然而，當(dāng)螺線管的參數(shù)(如半徑、匝數(shù)、形狀)確定時(shí)，其周圍的磁場僅由通過螺線管的電流強(qiáng)度的大小決定。也就是說，對于同一個(gè)螺線管的磁感線的可視化，電流大小的改變會(huì)改變磁感線的根數(shù)(疏密)，而不會(huì)改變磁感線的形狀?；谏鲜龇治觯⑶铱紤]到中學(xué)的電生磁物理實(shí)驗(yàn)中不會(huì)改變螺線管的半徑、匝數(shù)、形狀，而只會(huì)通過滑動(dòng)變阻器改變通過電流強(qiáng)度的大小，故可先根據(jù)螺線管的參數(shù)生成足夠多根磁感線模型(這一步會(huì)花費(fèi)較長的時(shí)間)，之后將模型整合到實(shí)驗(yàn)中去，在實(shí)驗(yàn)過程中可以動(dòng)態(tài)地根據(jù)電流大小改變磁感線根數(shù)。

圖7 四階龍格庫塔法

4.2.3 磁感線的修正

由于該磁感線生成的方法是利用空間中的離散點(diǎn)來擬合一條連續(xù)的空間曲線，所以隨著迭代次數(shù)的增多，誤差也會(huì)隨之累積。大部分情況下，生成的磁感線并不能閉合。面對這個(gè)問題，可采取的策略是，當(dāng)前點(diǎn)與起點(diǎn)的位置足夠近時(shí)就停止迭代。接著進(jìn)行曲線的光滑檢測，如果檢測是不光滑的，就進(jìn)行修正。即將原本累積到最后一點(diǎn)的誤差反向分散回去。由畢奧薩伐爾定理可知磁感線終點(diǎn)的磁感應(yīng)方向，而終點(diǎn)與起點(diǎn)的連線理論也代表終點(diǎn)的磁感應(yīng)方向，當(dāng)兩者的向量夾角大于某一既定的閾值時(shí)，表示累積誤差過大，需要修正。

圖8展示了生成的磁感線由于誤差的累積致使在起點(diǎn)和終點(diǎn)處產(chǎn)生了很大的撕裂感。為了對初始生成的磁感線進(jìn)行修正，使用能量最小化使得磁感線平滑，同一磁感線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻變化。

圖8 誤差累積導(dǎo)致的磁感線不閉合

修正的做法是：從最后一點(diǎn)X開始逆向遍歷，對任意一點(diǎn)X，以其為圓心以步長為半徑的球面上選擇出使能量(X+1)最小的點(diǎn)，將其做為下一個(gè)X+1點(diǎn)。經(jīng)過多次遍歷，曲線會(huì)趨近平滑。為了在球面上取得能量最小的點(diǎn)，需通過在球面上隨機(jī)選取個(gè)點(diǎn)，并取其中能量最小的點(diǎn)，稱該點(diǎn)為能量最小點(diǎn)的合理近似。顯然，越大，最終的結(jié)果就越精確，但所耗費(fèi)的時(shí)間也越長，經(jīng)過多次測試和權(quán)衡取舍，選取值為400。圖9和圖10分別對比了修正前和修正后的效果。

圖9 對多條磁感線修正的結(jié)果

圖10 左邊是修正前；右邊為修正后

4.3 基于實(shí)物套件的增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)

現(xiàn)在的AR技術(shù)大多數(shù)基于人工二維標(biāo)記和單目相機(jī)，當(dāng)標(biāo)記物與攝像機(jī)角度過大或者被遮擋時(shí)，三維注冊將會(huì)失敗，從而無法魯棒地增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)，影響體驗(yàn)效果。手持紙質(zhì)MARK做交互缺乏真實(shí)物體的觸感也不夠自然，所以需進(jìn)行改進(jìn)，制作了實(shí)物套件如圖11(a)所示，并采取多個(gè)相機(jī)協(xié)同對貼有MARK的實(shí)物進(jìn)行三維注冊，既可以無死角地進(jìn)行AR，又有拿取真實(shí)物體的觸覺。

本文使用海明編碼形式的MARK，不僅賦予每個(gè)MARK需要AR出何種物體，并且還要測量出需要貼MARK的實(shí)物的特定的幾何信息并進(jìn)行記錄，在讀取MARK時(shí)就可以對三維注冊后的位姿進(jìn)行偏移，讓虛擬的電源和螺線管模型AR到合適的位置，如圖11(b)所示。

圖11 電生磁實(shí)驗(yàn)的真實(shí)場景和AR場景((a) MARK的設(shè)計(jì)；(b) AR出的虛擬物體)

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

5.1 實(shí)施細(xì)節(jié)

為了生成磁感線，在Unity3D環(huán)境中，執(zhí)行算法的計(jì)算機(jī)為：Intel Core(TM)i7-9700K CPU@3.00 GHz和Nvidia RTX 2060。

而虛實(shí)融合的物理實(shí)驗(yàn)的實(shí)施細(xì)節(jié)為：Intel Realsense D435i在本研究中作為RGB-D主相機(jī)，2臺(tái)普通規(guī)格攝像頭作為RGB輔相機(jī)。本系統(tǒng)使用Unity3D進(jìn)行研發(fā)。由多相機(jī)協(xié)同追蹤二維MARK的三維注冊技術(shù)使用OPENCV C＃在CPU上執(zhí)行，對于手部MARK連通域的判斷、三維重建等步驟也在CPU上執(zhí)行。此外，追蹤并分割手和手部MARK、虛實(shí)遮擋算法和一些特殊材質(zhì)、特效的仿真使用Cg語言在著色器上實(shí)現(xiàn)，并在GPU上執(zhí)行。

5.2 磁感線生成算法的時(shí)間復(fù)雜度分析

本文的磁感線生成算法(不考慮修正)涉及的參數(shù)有：①線圈的匝數(shù)；②將圓形線圈近似成正多邊形的邊數(shù)；③需要生成的磁感線的根數(shù)；④生成磁感線的步長(與生成的磁感線上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān))。當(dāng)=10，=10，=0.1 (螺線圈半徑為2)時(shí)，使用四階龍格庫法所耗時(shí)間測試見表3。

表3 時(shí)間復(fù)雜度分析(ms)

可以看到，在有、無修正的情況下，該離線算法的時(shí)間復(fù)雜度均為()。并且可以觀察到，有修正時(shí)的耗時(shí)要比無修正時(shí)多了約3個(gè)數(shù)量級(jí)，這主要與修正時(shí)的迭代次數(shù)和修正算法中“在球面上選擇能量最小的點(diǎn)”的個(gè)數(shù)有關(guān)。不過，幸運(yùn)的是，在使用四階龍格庫塔方法時(shí)，修正引入額外的時(shí)間耗費(fèi)幾乎為0，因?yàn)樗碾A龍格庫塔方法具有高精度，首次生成的磁感線就已經(jīng)是平滑的了。

5.3 應(yīng)用了磁感線仿真的AR物理實(shí)驗(yàn)

將生成的磁感線整合到虛實(shí)結(jié)合的AR物理實(shí)驗(yàn)中去。并在中學(xué)的電生磁實(shí)驗(yàn)對其進(jìn)行了測試?？梢钥吹?，實(shí)驗(yàn)符合預(yù)期，而一個(gè)可視化的磁場毫無疑問地加強(qiáng)了學(xué)生對磁場的理解。圖12分別展示了在電流強(qiáng)度較小和較大時(shí)的磁場可視化。

圖12 虛擬實(shí)驗(yàn)中部分仿真展示((a)電流較小時(shí)的磁場；(b)電流較大時(shí)的磁場)

最后，將本文系統(tǒng)與文獻(xiàn)[7]的工作進(jìn)行了對比，如圖13所示。

圖13 虛擬實(shí)驗(yàn)中部分仿真展示對比((a)文獻(xiàn)[7]的磁感線；(b)本文的磁感線)

可以看到，本文的磁感線更密集、更能完整地呈現(xiàn)出磁場的分布。而文獻(xiàn)[7]的磁感線是實(shí)時(shí)生成的，綜合考慮到時(shí)間效率的問題，其只能生成寥寥數(shù)根磁感線。并且，文獻(xiàn)[7]的AR場景并未考慮虛實(shí)遮擋關(guān)系，虛擬的磁感線完全疊加在真實(shí)的手之上，給予受眾的是不自然感。

綜上，本文系統(tǒng)達(dá)到了預(yù)期，生成的磁感線符合電磁理論，AR交互系統(tǒng)更加方便和自然。

6 總結(jié)和展望

本文通過龍格庫塔方法和獨(dú)創(chuàng)的修正技術(shù)繪制出符合物理規(guī)律的封閉光滑的磁感線。并應(yīng)用于AR物理實(shí)驗(yàn)中。將抽象的磁感線具象化，從而加強(qiáng)中學(xué)生對電磁學(xué)的理解，并通過交互式的操作(如滑動(dòng)變阻器可以觀察到磁感線疏密的變化)加深中學(xué)生對磁感線這一物理概念的印象。此外，本文用到的仿真技術(shù)可以廣泛應(yīng)用于其他的數(shù)物模擬中，使復(fù)雜抽象的數(shù)物概念變得直觀易懂，既緩解了學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，又減輕了教師的教學(xué)負(fù)擔(dān)，具有實(shí)際意義。

在后續(xù)的工作中，將繼續(xù)提升和改進(jìn)模擬算法，令其在模擬精度上和在時(shí)間效率上均有所提高，并將其應(yīng)用于使用AR技術(shù)的中學(xué)科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，包括電場線的可視化、磁場中帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的可視化等物理實(shí)驗(yàn)中，使教師和學(xué)生從中獲益。

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Simulation of magnetic lines in AR physics experiments

MIAO Jin-da1, LUO Tian-ren2, CAI Ning2, ZHANG Ming-min1, PAN Zhi-geng2

(1. School of Computer Science and Technology, Zhejiang University, Hangzhou Zhejiang 310012, China; 2. Virtual Reality and Intelligent Systems Research Institute, Hangzhou Normal University, Hangzhou Zhejiang 311121, China)

This paper proposed a virtual-real fusion simulation method of magnetic lines suitable for middle school experiments, and explored a set of algorithms applicable to the properties of magnetic lines in 3D space. It was applied to the multi-modal natural interactive augmented reality (AR) experiment system. This algorithm employed RK4 to generate magnetic induction lines and adopted the minimum energy method to revise them when necessary. The AR system utilized augmented reality based on physical kits and the multi-camera cooperative AR three-dimensional registration to overcome the traditional problem of two-dimensional MARK tracking failure. Finally, an electro-magnetic experiment commonly conducted in middle school teaching was taken as an example to test this magnetic induction line generation algorithm. Tests results show that these magnetic induction lines conform to the laws of physics and can better facilitate the electromagnetics-related physical experiments, which is of practical significance. By magnifying the phenomenon of the experiment, it is conducive to students’ understanding of physical concepts.

magnetic lines; simulation; MARK; Runge Kutta method; revise

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021010087

A

2095-302X(2021)01-0087-07

2020-08-07；

7August，2020；

2020-08-17

17August，2020

國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2018YFB1004900)

：State Key Research and Development Program (2018YFB1004900)

苗晉達(dá)(1996–)，男，河南新鄉(xiāng)人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)槲锢砟M仿真。E-mail：384751024@qq.com

MIAO Jin-da (1996–), male, master student. His main research interest covers physically based simulation. E-mail：384751024@qq.com

張明敏(1968–)，女，浙江杭州人，副教授，博士。主要研究方向?yàn)樘摂M現(xiàn)實(shí)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等。E-mail：zhangmm@zju.edu.cn

ZHANG Ming-min (1968–), female, associate professor, Ph.D. Her main research interests cover virtual reality, computer graphics, etc. E-mail：zhangmm@zju.edu.cn