（中國鐵道科學研究院集團有限公司 基礎設施檢測研究所，北京100081）

我國高速鐵路開通已逾十年，在大運量、高速度以及長期運營條件下，基礎設施服役狀態(tài)已與建成初期有所不同，橋梁徐變上拱[1-2]引起軌道狀態(tài)劣化，軌道板溫度變形[3]導致軌道板與砂漿層出現(xiàn)離縫[4-5]、沉降[6]持續(xù)發(fā)展超出規(guī)范限值、大跨度橋梁溫度變形[7]顯著、梁端伸縮裝置工作狀態(tài)不良等現(xiàn)象相繼出現(xiàn)，病害機理分析、動力性能評估以及評價標準制定的需求日益迫切，傳統(tǒng)的列車-軌道-橋梁動力分析模型更側(cè)重于設計階段的動力性能評估，對局部軌道或軌下結(jié)構(gòu)的參數(shù)變化難以準確模擬。因此，需要針對線路結(jié)構(gòu)提出更為精細化和高效率的動力分析模型，同時也需要對列車-線路-橋梁的動力分析算法作出相應的改變。

線路動力分析模型中，鋼軌是連接車輛與線路的紐帶，對鋼軌的處理直接影響計算效率和精度，本文在分析傳統(tǒng)線路模型及其局限性的基礎上，提出優(yōu)化的線路結(jié)構(gòu)處理方案和列車-線路-軌下結(jié)構(gòu)的動力分析方法，將路基、橋梁、隧道等基礎設施統(tǒng)一處理為軌下結(jié)構(gòu)，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)對局部病害的準確模擬，也簡化了不同類型基礎設施組合結(jié)構(gòu)的動力分析。

1 傳統(tǒng)線路結(jié)構(gòu)模型及其局限性

較早的車橋振動研究工作大都以橋梁為主體，未考慮（或簡單考慮）軌道結(jié)構(gòu)參振影響，常常是將整個鋼軌-軌枕-道床質(zhì)量體系作為二期恒載加到梁體上，以梁體位移和軌道隨機不平順之和作為鋼軌位移計算輪軌作用，隨著各種無砟軌道結(jié)構(gòu)的廣泛采用，軌道與橋面之間的隨動性明顯受到軌道結(jié)構(gòu)的影響，軌道結(jié)構(gòu)參振就成為不應忽視的因素。

陳松、雷曉燕、朱志輝等[8-9]采用有限元法建立鋼軌-橋梁整體模型，通過直接剛度法求解鋼軌和橋梁的動力響應。由于橋梁和線路在材質(zhì)、質(zhì)量、剛度上存在明顯差異，在單元尺寸、線路布置上需要互相協(xié)調(diào)，因此建模難度較線、橋分離模型大，且線橋一體會導致結(jié)構(gòu)的求解規(guī)模顯著增長，也在一定程度上影響了計算效率。

目前更為普遍的是線-橋分離模型，以板式無砟軌道為例說明，圖1為典型的板式軌道動力學模型側(cè)視圖（為方便說明，未畫出橋梁結(jié)構(gòu)）。圖中：Er為鋼軌材料彈性模量；Jr為鋼軌截面抗彎慣性矩；ρr為鋼軌材料容重；kpv和cpv分別為軌下膠墊的剛度和阻尼；ksv和csv分別為CA砂漿的剛度和阻尼。

圖1 板式軌道動力學模型

板式軌道由鋼軌、扣件、軌道板、凸形擋臺、CA砂漿及混凝土底座等組成，軌道的振動主要體現(xiàn)在鋼軌和軌道板的振動上，鋼軌與軌道板以及軌道板與混凝土底座之間分別由軌下膠墊和CA砂漿提供彈性，左右2 股鋼軌均視為離散彈性點支承基礎上的無限長Euler 梁，在考慮鋼軌振動的邊界條件影響后，翟婉明[10]、高芒芒[11]、張健[12]等人將線路模型中的鋼軌與軌下結(jié)構(gòu)分別考慮，鋼軌的無限長Euler 梁模型簡化為有限長簡支梁模型，引入鋼軌的正則坐標，采用振型疊加法[13-14]建立鋼軌運動方程，列車荷載以及軌下膠墊的支承均為簡支梁所受的外荷載，此時鋼軌的力學模型及受荷狀態(tài)如圖2所示。圖中：x0為車輛最后1個輪對距鋼軌端部的距離；l為車輛定距之半；l1為車輛軸距之半；Fp1，F(xiàn)p2，F(xiàn)p3和Fp4為車輛作用于鋼軌的輪軌垂向力；Frs1，F(xiàn)rs2，F(xiàn)rsi和Frsn為軌下結(jié)構(gòu)作用于鋼軌的垂向力；zr為鋼軌垂向位移；L為鋼軌計算長度；xi（i=1，2，…，n）為各扣件x坐標；v為列車速度。

圖2 傳統(tǒng)線橋結(jié)構(gòu)中鋼軌受力

盡管實際振動過程中鋼軌在扣件位置處所受的支承力隨荷載增加而同步增大，但在動力分析過程中需要確定性荷載才能進行位移計算，因此實際的計算流程如下。

（1）計算輪軌垂向力作用下的鋼軌位移；

（2）根據(jù)計算出的鋼軌位移，計算各扣件位置處的支承反力；

（3）計算支承反力與輪軌力共同作用下的鋼軌位移；

（4）如果此時鋼軌位移與計算輪軌力時采用的鋼軌位移之差超過允許誤差，則重新計算輪軌力；

（5）重復上述步驟（1）—步驟（4），直至前后2次計算的鋼軌位移差滿足迭代精度。

上述鋼軌的動力分析模型計算精度顯然受到計算長度的影響，當計算長度較長時，將鋼軌處理成簡支梁會造成鋼軌位移的反復動蕩，通過理論推演，如不考慮慣性力和阻尼力的影響，只考慮靜力情況，則計算結(jié)果的收斂性要求由軌下膠墊提供的支承剛度不大于鋼軌作為簡支梁提供的剛度值的2倍，盡管引入正則坐標后通過限制截止模態(tài)的階數(shù)可以解決這一矛盾，但限制模態(tài)階數(shù)同時也導致鋼軌的局部高頻振動無從反映[15]，因而計算得到的鋼軌動力分析結(jié)果較實際情況偏小。

2 優(yōu)化后線路結(jié)構(gòu)模型及其特點

為實現(xiàn)對局部軌道病害的模擬，同時避免將鋼軌處理為簡支梁后可能產(chǎn)生的計算發(fā)散，需要建立鋼軌子系統(tǒng)和軌下結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)的三維有限元模型，并采用直接剛度法計算動力響應，但同時為降低建模難度和減小求解規(guī)模，又需要將線-橋結(jié)構(gòu)適當分離。圖3為優(yōu)化后軌道系統(tǒng)和軌下結(jié)構(gòu)垂向耦合動力學模型。

圖3 軌道系統(tǒng)和軌下結(jié)構(gòu)垂向耦合動力學模型

用彈簧-阻尼單元模擬軌下膠墊，將由鋼軌和扣件組成的鋼軌子系統(tǒng)和由軌道板、橋梁、隧道等組成的軌下結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)分別處理，列車荷載仍為鋼軌子系統(tǒng)的外荷載，但軌道板對鋼軌子系統(tǒng)的作用則以扣件處強迫位移和強迫速度的形式施加給鋼軌子系統(tǒng)，這樣可以更好地體現(xiàn)出鋼軌和軌下結(jié)構(gòu)各自的振動情況，消除了采用力的邊界條件模擬軌下膠墊對鋼軌的約束引起的不收斂的可能性，且軌下結(jié)構(gòu)與鋼軌子系統(tǒng)的建模各自獨立，可較為方便地適應多種軌道形式及特殊工況，如軌道板脫空，扣件失效、過渡段、橋梁、隧道等。此時鋼軌的力學模型及受荷狀態(tài)如圖4所示。圖中：zsi，vsi分別為軌道板各扣件位置處的垂向位移和垂向速度。

圖4 優(yōu)化后線橋結(jié)構(gòu)中的鋼軌受力

3 車輛、鋼軌系統(tǒng)、軌下結(jié)構(gòu)模型及其運動方程

采用優(yōu)化后的線路結(jié)構(gòu)時，車輛-軌道-軌下耦合系統(tǒng)包括3個子系統(tǒng)：車輛子系統(tǒng)、鋼軌子系統(tǒng)和軌下結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)?；诙鄤傮w理論建立車輛模型，基于有限元建立鋼軌子系統(tǒng)和軌下結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)模型，其中軌下結(jié)構(gòu)對鋼軌子系統(tǒng)的作用以扣件處強迫位移和強迫速度的形式施加，而鋼軌子系統(tǒng)對軌下結(jié)構(gòu)的作用則以荷載的形式表現(xiàn)，各子系統(tǒng)均采用直接剛度法求解動力響應。

3.1 車輛模型及運動方程

列車含有多節(jié)車輛，每節(jié)車輛包含1個車體、2個轉(zhuǎn)向架和4個輪對。以二系懸掛客車為例，考慮列車的垂向振動，每節(jié)車包括車體、構(gòu)架的沉浮和點頭以及輪對的沉浮共10個獨立自由度。車輛動力分析模型如圖5所示，其中各變量對應的物理意義見表1。

圖5 車輛動力分析模型

表1 車輛模型中各變量的物理意義

假定車輛的位移向量為Xv，速度向量為加速度向量為根據(jù)多剛體理論和D’Alembert原理，形成車輛運動方程，即

式中：Mv，Cv和Kv分別為車輛的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；FV為振動過程中作用于車輛各自由度的荷載向量。

車輛的質(zhì)量、阻尼和剛度陣構(gòu)成如下。

式中：F0是輪對的平均靜軸重。

阻尼矩陣Cv與剛度矩陣Kv形式類似，不再贅述。

3.2 鋼軌和軌下結(jié)構(gòu)動力分析模型及運動方程

如圖3所示，采用上下對應的2層節(jié)點建立鋼軌子系統(tǒng)模型，鋼軌為具有彈性離散點支承的連續(xù)Euler梁，下層節(jié)點表征扣件，上下節(jié)點間用彈簧-阻尼單元表述軌下膠墊的彈性約束。

假定鋼軌子系統(tǒng)的位移向量為Xr，速度向量為，加速度向量為由鋼軌剛度矩陣、質(zhì)量矩陣及荷載向量可得出鋼軌的動力平衡方程如下。

式中：Mr，Cr和Kr分別為鋼軌的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Fr為振動過程中作用于鋼軌各自由度的荷載向量。

軌下結(jié)構(gòu)模型可采用板單元、梁單元、彈簧-阻尼單元等形式模擬包括有砟或無砟軌道、路基、橋梁和隧道等結(jié)構(gòu)。

假定軌下結(jié)構(gòu)的位移向量為Xb，速度向量為加速度向量為則軌下結(jié)構(gòu)運動方程可寫成矩陣形式，即

式中：Mb，Cb和Kb分別為軌下結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Fb為軌下結(jié)構(gòu)的廣義荷載向量。

3.3 車輛-軌道-軌下結(jié)構(gòu)耦合方程及分析方法

分別建立了車輛、鋼軌和軌下結(jié)構(gòu)的動力平衡方程后，完整的列車-軌道-軌下結(jié)構(gòu)就被分解為3個子系統(tǒng)、2個作用界面的耦合系統(tǒng)，其中列車與鋼軌間的相互作用體現(xiàn)為輪軌力，鋼軌與軌下結(jié)構(gòu)間的相互作用則體現(xiàn)為軌道板以扣件處強迫位移和強迫速度作用于鋼軌，同時鋼軌以扣件位置處的彈簧力和阻尼力反作用于軌道板，3個子系統(tǒng)間通過力的平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件進行耦合。耦合系統(tǒng)的運動方程可表示為

其中，

式中：X，分別為耦合系統(tǒng)的位移、速度、加速度及荷載列向量；M，C和K分別為耦合系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

在確定輪軌力時，采用Hertz 非線性彈性接觸理論，允許輪軌脫離，即發(fā)生跳軌，計算輪軌力時考慮軌道幾何不平順的影響。

在計算軌下結(jié)構(gòu)對鋼軌子系統(tǒng)的作用時，扣件處的強迫振動采用常見的“主1 賦0 法”[16]對鋼軌系統(tǒng)的剛度矩陣和阻尼矩陣進行處理，由于軌下膠墊在模型中視為無質(zhì)量的彈簧-阻尼單元，因此不考慮軌下結(jié)構(gòu)振動加速度對鋼軌子系統(tǒng)的影響；在計算鋼軌子系統(tǒng)對軌下結(jié)構(gòu)的作用時，則依據(jù)鋼軌與軌道板間的相對位移和相對速度直接計算。

確定列車、軌道和軌下結(jié)構(gòu)的動力方程后，采用Newmark-β方法進行求解。由于每時間步各子系統(tǒng)之間的相互作用均與該時刻的系統(tǒng)響應有關(guān)，因此需要反復迭代。在計算各子系統(tǒng)間的相互作用時已經(jīng)采用了力的平衡條件，因此以車輛、鋼軌與軌下結(jié)構(gòu)在每時間步的相鄰2次迭代間的位移差滿足精度要求作為收斂條件，選取的位移精度限值為0.1 μm。計算流程如圖6所示。

圖6 動力分析流程

4 模型驗證

為了驗證方法的正確性和實用性，建立路基+10跨32 m 簡支梁橋+路基的線橋結(jié)構(gòu)模型，鋪設無砟軌道，10跨32 m 簡支梁橋和橋上軌道有限元模型分別如圖7和圖8所示。為充分考慮線路隨機不平順和橋梁徐變上拱的影響，選取圖9所示實測軌道靜態(tài)高程數(shù)據(jù)作為輸入不平順?？梢?，橋梁徐變上拱引起的軌道高低峰峰值最大可達5.02 mm。車型為中國高速綜合檢測列車CRH380A型車，行駛速度為300 km·h-1，考慮進、出橋和車輛自身長度的影響，線橋模型總長度為1 000 m。進行車輛-軌道-橋梁動力仿真分析。

圖7 10跨32 m簡支梁橋有限元模型

圖8 橋上軌道有限元模型

圖9 實測軌道靜態(tài)高程數(shù)據(jù)

圖10給出了車體垂向振動加速度的實測及仿真分析結(jié)果。實測車體垂向振動加速度最大值為0.540 m·s-2，計算值為0.566 m·s-2。實測值與計算值吻合良好。

圖10 車體垂向振動加速度

圖11給出了仿真分析得到的路基段和橋梁跨中的垂向位移時程曲線。由圖11可見：路基段和橋梁跨中鋼軌、橋梁的最大垂向位移分別為0.825，1.248 和0.440 mm，計算結(jié)果與中國某高速鐵路聯(lián)調(diào)聯(lián)試實測結(jié)果基本吻合。

圖11 鋼軌和橋梁垂向位移

通過分析結(jié)果與實測數(shù)據(jù)的對比分析，可確認本文模型能夠充分反映車輛、線路和橋梁的振動響應，計算精度達到工程應用的要求。

5 應 用

本文所建立的車輛-軌道-軌下結(jié)構(gòu)動力分析模型可以考慮線路、橋梁等基礎設施局部病害對系統(tǒng)動力響應的影響，以扣件失效為例，分析長100 m的CRTS I型板式無砟軌道線路，考慮到邊界效應、列車長度和運行穩(wěn)定性等問題，無砟軌道總長為700 m，如圖12所示。

圖12 無砟軌道局部有限元模型

參考現(xiàn)場調(diào)研結(jié)果，選取線路中部352.836 和353.465 m處連續(xù)2個扣件失效的病害工況，詳見圖13，進行扣件失效與扣件正常服役條件下，車輛、鋼軌、軌道板動力響應對比仿真分析。

扣件失效可以采用2種方法進行模擬，一種是將對應扣件提供的剛度和阻尼賦值為0，另一種是取消強迫振動傳遞，即不考慮此位置軌下結(jié)構(gòu)與鋼軌之間的相互作用，本文采用后一種。模型中軌下彈性墊層垂向靜剛度為25 MN·m-1，阻尼為70 kN·s·m-1。列車編組為4 動4 拖，計算車速分別為300，320，340，350 和385 km·h-1，選取的不平順如圖14所示。

圖13 扣件失效位置圖

圖14 高速鐵路路基段軌道幾何不平順

表2給出了扣件失效以及扣件正常服役情況下車輛及352.836 和353.465 m處鋼軌、軌道板的動力響應最大值，圖15—圖19給出了在350 km·h-1速度條件下，352.836 和353.465 m處的鋼軌位移和振動加速度、輪對振動加速度及輪軌力時程曲線。

表2 車輛、軌道動力響應最大值

圖15 350 km·h-1車速時扣件失效和正常服役情況下鋼軌垂向位移時程

圖16 350 km·h-1車速時扣件失效和正常服役情況下不同扣件位置處鋼軌垂向位移

圖17 350 km·h-1車速時扣件失效和正常服役情況下輪對垂向振動加速度時程

圖18 350 km·h-1車速時扣件失效和正常服役情況下鋼軌垂向振動加速度時程

圖19 350 km·h-1車速時扣件失效和正常服役情況下輪軌垂向力時程曲線

由分析結(jié)果可知，由于輪軌接觸和車輛的二系懸掛特性，扣件失效對乘車舒適性和軌下結(jié)構(gòu)的影響較小，但對鋼軌振動影響較大，輪軌振動加劇，輪軌力和輪重減載率均明顯增大?？奂７蹠r，350 km·h-1的速度下輪對最大垂向振動加速度為35.652 m·s-2，鋼軌最大垂向位移為0.943 mm，鋼軌最大垂向加速度為66.20 m·s-2，最大輪軌垂向力和最大輪重減載率分別為85.951 kN 和0.265，當扣件失效時，輪對最大垂向振動加速度為46.266 m·s-2，鋼軌最大垂向位移2.777 mm，為正常值的2.94倍，鋼軌最大垂向加速度為196.638 m·s-2，為正常值的2.97倍，最大輪軌力和輪重減載率分別為104.872 kN 和0.398，比正常服役狀態(tài)分別增大了22.0%和50.2%。

在列車荷載作用下，局部扣件失效會造成此區(qū)域內(nèi)的鋼軌垂向位移增大，加劇對此范圍附近鋼軌和扣件的破壞程度，嚴重時可能影響行車安全。

6 結(jié) 語

將鋼軌和軌下結(jié)構(gòu)處理為分離的2個子系統(tǒng)，分別建立有限元模型，軌下結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)考慮路基、橋梁、隧道等基礎設施，鋼軌子系統(tǒng)采用2層節(jié)點，上層鋼軌視為彈性離散點支承的連續(xù)梁，下層節(jié)點表征扣件，鋼軌與扣件間以彈簧-阻尼單元形式連接，在此基礎上采用強迫位移和強迫速度的方法處理軌下結(jié)構(gòu)對鋼軌的作用。該方法可以更好地反映鋼軌的局部振動狀態(tài)，并可以方便地模擬各類病害對耦合系統(tǒng)動力響應的影響。

應用本文模型對局部扣件失效條件下的列車-軌道-軌下結(jié)構(gòu)動力響應分析表明，扣件缺失將引起輪軌間的局部高頻振動，車速350 km·h-1時鋼軌最大垂向位移為正常值的2.94倍，鋼軌最大垂向加速度為正常值的2.97倍，最大輪軌力和輪重減載率分別較正常值增大了22.0%和50.2%。