羅建國(guó)，王 婷，聶高興，王宇強(qiáng)

(1.華北科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，河北 三河 065201) (2.河北省礦山設(shè)備安全監(jiān)測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 三河 065201) (3.華北科技學(xué)院安全工程學(xué)院，河北 三河 065201) (4.太原理工大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，山西 太原 030024)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)[1]，其中平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)廣泛應(yīng)用于機(jī)械精密加工、軍事、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域[2-3]，逐漸成為機(jī)構(gòu)學(xué)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)。許多學(xué)者對(duì)平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究，并提出了多種不同類型的平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中3-RRR就是一種靈活度較高、操作性強(qiáng)的平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)[4]。馮志堅(jiān)等[5]采用數(shù)值法對(duì)三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置求解，并結(jié)合ADAMS軟件仿真分析，得到該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)速度、加速度曲線。劉偉等[6]采用代數(shù)消元法對(duì)3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)位置求解。劉震[7]基于方位特征集和數(shù)值法分析3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性、位置求解、工作空間，得到了該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)空間軌跡。宋軼民等[8]通過(guò)分析對(duì)比3-RRR和4-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的耦合度低，即冗余支鏈增加了機(jī)構(gòu)耦合度，對(duì)奇異位形造成了影響。黃劍鋒等[9]基于ADAMS軟件建立3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型，得到了該機(jī)構(gòu)的位移及速度曲線。許多學(xué)者基于數(shù)值法和代數(shù)消元法對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)位置進(jìn)行求解，但求解過(guò)程比較復(fù)雜。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，并聯(lián)機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)，因此通過(guò)分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的耦合度，進(jìn)而采取更加安全、有效、合理的措施，就可以減輕奇異位形造成的損失。本文以3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象分析該機(jī)構(gòu)的耦合度，對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的解耦具有非常重要的意義。

1 機(jī)構(gòu)耦合度分析

本文構(gòu)建的3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖如圖1所示。該機(jī)構(gòu)由定平臺(tái)A、動(dòng)平臺(tái)C和3條相同的支鏈RRR構(gòu)成。設(shè)θi為AiBi繞轉(zhuǎn)動(dòng)副Ai的軸線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與o-x軸平行的轉(zhuǎn)角；φi為CiBi與通過(guò)點(diǎn)Bi的軸線的夾角，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針；ai為轉(zhuǎn)動(dòng)副Ai和轉(zhuǎn)動(dòng)副Bi軸線之間的距離，a1=a2=a3=a；bi為轉(zhuǎn)動(dòng)副Bi和轉(zhuǎn)動(dòng)副Ci軸線之間的距離，b1=b2=b3=b；r為動(dòng)平臺(tái)內(nèi)接圓半徑；R為靜平臺(tái)內(nèi)接圓半徑。其中θi,φi的大小由機(jī)構(gòu)的位形決定，ai,bi,r,R由機(jī)構(gòu)本身的結(jié)構(gòu)確定，其中i=1,2,3。

圖1 平面3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)

本文基于有序單開(kāi)鏈(SOC)進(jìn)行機(jī)構(gòu)耦合度和運(yùn)動(dòng)學(xué)位置求解，步驟如下：首先，由于任一機(jī)構(gòu)都是由若干個(gè)基本運(yùn)動(dòng)鏈(BKC)組成，因此可將3-RRR拓?fù)錂C(jī)構(gòu)基本運(yùn)動(dòng)鏈分解成約束度為正、負(fù)、零3種不同的序單開(kāi)鏈，并計(jì)算其各自的約束度，其中序單開(kāi)鏈按照自由度不可再分的是基本運(yùn)動(dòng)鏈。其次，在按機(jī)構(gòu)的基本運(yùn)動(dòng)鏈計(jì)算出約束度后，再通過(guò)其約束度(Δj)計(jì)算耦合度(κ):當(dāng)SOC約束度的數(shù)值為正時(shí)，SOC支鏈自由度增加，由此可增加κ個(gè)虛擬變量，進(jìn)而建立包含虛擬變量的位置方程；當(dāng)SOC約束度的數(shù)值為零時(shí)，SOC支鏈自由度不發(fā)生變化，不需設(shè)立虛擬變量，即可單獨(dú)求解位置方程；當(dāng)SOC約束度的數(shù)值為負(fù)時(shí)，SOC支鏈自由度減少，位置方程求解比較困難,因此可通過(guò)設(shè)立虛擬變量建立約束方程。最后，利用數(shù)學(xué)方法求解位置方程。該方法可將位置求解過(guò)程簡(jiǎn)化成求解各個(gè)有序單開(kāi)鏈的位置，過(guò)程簡(jiǎn)單，思路清晰。

基于上述理論基礎(chǔ)，將該機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分為2條支鏈，分別為SOC1{-A1-B1-C1-C2-B2-A2}、SOC2{-A3-B3-C3-}，計(jì)算其各自的約束度，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(1)所示：

(1)

式中：Δj為第j個(gè)單開(kāi)鏈的約束度；mj為第j個(gè)單開(kāi)鏈的運(yùn)動(dòng)副數(shù)目；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度；Ij為第j個(gè)單開(kāi)鏈的驅(qū)動(dòng)副數(shù)目；ζLj為第j個(gè)回路的位移方程數(shù)。

將約束度Δ1，Δ2的計(jì)算結(jié)果代入耦合度κ的公式中，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(2)

式中：ν為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基本回路數(shù)。

耦合度的數(shù)值越大，表明該機(jī)構(gòu)位置求解越復(fù)雜；反之，耦合度的數(shù)值越小，表明該機(jī)構(gòu)位置求解越簡(jiǎn)單。

2 位置分析

2.1 位置正解分析

3-RRR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解可簡(jiǎn)述為：已知定平臺(tái)上各個(gè)主動(dòng)副Ai的輸入角度θi(如圖1所示)、動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系上P點(diǎn)的坐標(biāo)以及位姿角γ(如圖2所示)。設(shè)動(dòng)平臺(tái)上點(diǎn)P在固定坐標(biāo)系的位置為(xP,yP)，轉(zhuǎn)動(dòng)副Bi在定坐標(biāo)系o-xy中表示如下：

(3)

式中：R為定平臺(tái)內(nèi)接圓半徑。

圖2 動(dòng)平臺(tái)位姿圖

(4)

式中：x和y分別為C2的橫、縱坐標(biāo)；xC1和yC1分別為點(diǎn)C1的橫、縱坐標(biāo)；xB1和yB1分別為點(diǎn)B1的橫、縱坐標(biāo)。

(5)

式中：xC3和yC3分別為點(diǎn)C3的橫、縱坐標(biāo)。

在約束度Δ2<0的支鏈中，利用三角形幾何關(guān)系建立約束方程，如式(6)所示：

f(φ1)*=(xC3-xB3)2+(yC3-yB3)2-b2=0

(6)

式中：f(φ1)*為包含虛擬變量的約束方程；xB3和yB3分別為點(diǎn)B3的橫、縱坐標(biāo)。

則動(dòng)平臺(tái)的位姿如式(7)所示：

(7)

式中：xC2和yC2分別為點(diǎn)C2的橫、縱坐標(biāo)。

2.2 位置逆解分析

位置逆解可簡(jiǎn)述為：已知?jiǎng)悠脚_(tái)坐標(biāo)系上各個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的坐標(biāo)，求定平臺(tái)上各個(gè)主動(dòng)副的輸入角度θi。給定P點(diǎn)的坐標(biāo)(xP,yP)，若并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)存在位置逆解，Bi必須存在，利用支鏈的幾何關(guān)系可知Bi是以Ai為圓心、ai為半徑的圓與以Ci為圓心、bi為半徑的圓的交點(diǎn)，可建立如下表達(dá)式：

(8)

將各個(gè)支鏈各點(diǎn)的坐標(biāo)代入式(8)，可知該方程是關(guān)于θi的方程。

(9)

綜上可知，對(duì)于本文中的3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，當(dāng)給定位姿時(shí)，1條支鏈最多可有2組解，3條支鏈最多可有8組解，即8種位形。

3 奇異分析

奇異是所有機(jī)構(gòu)都會(huì)發(fā)生的一種不可回避的現(xiàn)象，對(duì)于任何機(jī)構(gòu)，在它的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總會(huì)或多或少地遇到特殊位置，在這些位置機(jī)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)特殊的現(xiàn)象，或者處于死點(diǎn)不能繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，或者失去穩(wěn)定，甚至自由度也發(fā)生改變。當(dāng)機(jī)構(gòu)處于極限點(diǎn)、死點(diǎn)時(shí)，這些現(xiàn)象就被稱為機(jī)構(gòu)的奇異性。本文主要將奇異位形分為3類，如下所述：

第一類奇異位形是一條支鏈的主動(dòng)桿和從動(dòng)桿平行時(shí)，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)自由度發(fā)生變化，進(jìn)而影響該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度，如圖3和圖4所示。

第二類奇異位形分為2種情況：一種是2條支鏈的從動(dòng)桿互相平行時(shí)，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)自由度發(fā)生變化；另一種是3條支鏈的從動(dòng)桿互相平行時(shí)，產(chǎn)生奇異。如圖5和圖6所示。

圖3 單支鏈完全伸展奇異位形 圖4 單支鏈完全折疊奇異位形

圖5 2個(gè)從動(dòng)桿互相平行奇異位形 圖6 3個(gè)從動(dòng)桿互相平行奇異位形

第三類奇異位形為上述兩種奇異類型同時(shí)出現(xiàn)。由于此時(shí)機(jī)構(gòu)的耦合性比較強(qiáng)，且桿件之間的摩擦比較大，故同時(shí)出現(xiàn)這兩種奇異位形對(duì)機(jī)構(gòu)本身的損害比較大，因此在機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)過(guò)程中必須避免這3類奇異位形的出現(xiàn)。

4 仿真分析

仿真時(shí)設(shè)定3-RRR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)各個(gè)桿件尺寸為：a=300 mm,b=100 mm,R=500 mm,r=75 mm。假定該機(jī)構(gòu)用于機(jī)械加工行業(yè)生產(chǎn)線上的物品搬運(yùn)。建立如圖1所示的坐標(biāo)系，則動(dòng)平臺(tái)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡可假設(shè)成以(275,330)為圓心、以75 mm為半徑的圓；動(dòng)平臺(tái)上的轉(zhuǎn)動(dòng)副C2繞C1旋轉(zhuǎn)，即位姿轉(zhuǎn)角為20°，那么動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P的軌跡運(yùn)動(dòng)方程如式(10)所示：

(10)

式中：t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

基于MATLAB軟件對(duì)3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，通過(guò)運(yùn)算可以得到該機(jī)構(gòu)的角速度、角加速度等運(yùn)動(dòng)曲線，如圖7和圖8所示，該曲線可以精確表達(dá)該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征。

圖7 角速度曲線圖

圖8 角加速度曲線圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，利用有序單開(kāi)鏈法獲得該機(jī)構(gòu)的耦合度κ=1，即該機(jī)構(gòu)屬于低耦合度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，具有一定的研究?jī)r(jià)值。該方法適用于判斷任意一個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的耦合度，具有普遍性。但是，目前的研究工作僅通過(guò)3-RRR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)證明本文理論的實(shí)用性，該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，要真正在實(shí)踐中體現(xiàn)其價(jià)值，還需要通過(guò)編制軟件將本文的理論分析過(guò)程程序化，形成一套對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)約束度、耦合度分析的完整理論，從而減少大量的重復(fù)工作。