張福燕,吳保衛(wèi)

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710119)

0 引 言

切換系統(tǒng)是由一系列子系統(tǒng)和一個(gè)確定的邏輯規(guī)則組成的混合系統(tǒng),在網(wǎng)絡(luò)控制、機(jī)器控制、化學(xué)控制等系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛[1-3]。 穩(wěn)定性是切換系統(tǒng)的一個(gè)基本屬性,其中Lyapunov漸進(jìn)穩(wěn)定和指數(shù)穩(wěn)定的研究最為廣泛[4-5]。但在實(shí)際應(yīng)用中,有時(shí)需要系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)運(yùn)行穩(wěn)定，即有限時(shí)間穩(wěn)定。這一概念在20世紀(jì)50年代被Kamenkov提出[6]。關(guān)于切換系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)的動(dòng)態(tài)行為,文獻(xiàn)[7]探究了切換系統(tǒng)的異步濾波有限時(shí)間有界的問(wèn)題；文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]分別研究了執(zhí)行器失效的線性系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階正切換系統(tǒng)的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題。

過(guò)時(shí)間觸發(fā)方案用于系統(tǒng)數(shù)據(jù)采樣和信號(hào)更新,會(huì)造成系統(tǒng)資源的浪費(fèi)。 為了節(jié)約資源,1994年提出了事件觸發(fā)方案[10]。數(shù)據(jù)采樣和信號(hào)更新是由“事件”是否觸發(fā)決定的,減少了不必要的數(shù)據(jù)采樣和傳輸。因此，對(duì)事件觸發(fā)方案的研究至關(guān)重要[11-17]。

1 問(wèn)題描述和預(yù)備知識(shí)

考慮不確定非線性切換系統(tǒng)

(1)

其中x(t)∈Rn,u(t)∈Rm,z(t)∈Rp分別表示系統(tǒng)(1)的狀態(tài)向量,控制輸入和控制輸出;ω(t)∈L2[0,∞) 表示外部擾動(dòng),且滿足‖ω(t)‖≤ν‖x(t) ‖,ν是非負(fù)常數(shù);fσ(t)(x(t))∈Rn表示系統(tǒng)的非線性部分,且fσ(t)(0)=0,滿足單邊Lipschitz條件。

[ΔAσ(t),ΔBσ(t)]=Wσ(t)Hσ(t)(t)·

[E1σ(t),E2σ(t)]

(2)

假設(shè)1Bσ(t)是列滿秩矩陣,即rank(Bσ(t))=m。

對(duì)于系統(tǒng) (1),定義二次成本函數(shù)如下:

uT(t)Tσ(t)u(t)]dt

(3)

式中：Qσ(t) 和Tσ(t) 是對(duì)稱(chēng)正定矩陣。

定義1[12]如果存在常數(shù)τa>0和N0≥0,使得

式中：Nσ(τ,t)表示系統(tǒng) (1) 在區(qū)間[τ,t) 上的切換次數(shù);τa為平均駐留時(shí)間；N0為抖振界。

不確定非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)方案定義如下：

δσ(t)xT(t)Nσ(t)x(t)}

(4)

式中：etk(t)=x(tk)-x(t);Mσ(t)和Nσ(t)是適當(dāng)維數(shù)的對(duì)稱(chēng)正定矩陣;δσ(t)>0是給定的事件閾值;tk表示事件觸發(fā)采樣時(shí)刻。考慮狀態(tài)反饋控制器

u(t)=Kσ(t)x(tk),t∈[tk,tk+1)

(5)

利用式(4)和式(5),不確定非線性切換系統(tǒng) (1) 形成了不確定非線性切換閉環(huán)系統(tǒng)

(6)

引理1[11]對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)的實(shí)值矩陣X,Y和Ξ(t),且ΞT(t)Ξ(t)≤I,則?λ>0,有

XΞ(t)Y+YTΞT(t)XT≤λXXT+λ-1YTY

定義2(單邊Lipschitz條件[21]) 若存在常數(shù)ρ1i,使得?x1(t),x2(t)∈Rn,有

〈fi(x1(t))-fi(x2(t)),x1(t)-x2(t)〉≤

ρ1i‖x1(t)-x2(t)‖2

成立,則稱(chēng)非線性函數(shù)fi(x(t)) 在域D(?Rn) 上滿足單邊Lipschitz條件,其中ρ1i是單邊Lipschitz常數(shù)。

定義3(二次內(nèi)積有界性質(zhì)[21]) 若存在常數(shù)ρ2i,ρ3i,使得?x1(t),x2(t)∈Rn,有

(fi(x1(t))-fi(x2(t)))T(fi(x1(t))-

fi(x2(t)))≤

ρ2i‖x1(t)-x2(t)‖2+ρ3i〈x1(t)-

x2(t),fi(x1(t))-fi(x2(t))〉

成立,則稱(chēng)非線性函數(shù)fi(x(t))在域D上是二次內(nèi)積有界的,其中ρ2i,ρ3i是已知常數(shù)。

注1 文中的ρ1i,ρ2i,ρ3i是任意常數(shù),當(dāng)ρ1i>0,ρ2i>0,ρ3i=0 時(shí),非線性函數(shù)即滿足Lipschitz條件,但反之不成立。

定義4[7]給定正常數(shù)c1≤c2及Tf,以及正定矩陣R、切換信號(hào)σ(t)，若

xT(t0)Rx(t0)≤c1?xT(t)Rx(t)≤c2,

?t∈[0,Tf]

成立,則稱(chēng)不確定非線性切換閉環(huán)系統(tǒng)(6)關(guān)于(c1,c2,Tf,R,σ(t))是有限時(shí)間有界的。

定義5[13]不確定非線性切換閉環(huán)系統(tǒng)(6)是有限時(shí)間有界的,且具有H∞性能指標(biāo)γ>0,需要滿足:

(ⅰ) 不確定非線性切換閉環(huán)系統(tǒng)(6)關(guān)于(c1,c2,Tf,R,σ(t))是有限時(shí)間有界的;

(ⅱ) 在零初始條件下,控制輸出z(t)滿足

?t∈[0,Tf]

定義6[13]考慮在事件觸發(fā)方案(4)條件下的不確定非線性切換系統(tǒng)(1)。如果?J*≥0和u*(t)，使得不確定非線性切換閉環(huán)系統(tǒng)(6)是有限時(shí)間有界的,且具有H∞性能指標(biāo)γ>0,并且切換系統(tǒng) (1)的保成本函數(shù)(3)滿足J≤J*,則J*稱(chēng)為切換系統(tǒng)(1)保成本的上界,u*(t)稱(chēng)為保成本控制器。

2 主要結(jié)果

證明切換閉環(huán)系統(tǒng)(6)是有限時(shí)間有界的,且具有H∞性能指標(biāo)γ>0,并基于此找到切換系統(tǒng)(1)的保成本上界J*。

Ω=

0

(7)

(8)

(9)

(10)

且切換信號(hào)滿足

(11)

式中:

則不確定非線性切換閉環(huán)系統(tǒng)(6)關(guān)于(c1,c2,Tf,R,σ(t))是有限時(shí)間有界的，且具有H∞性能指標(biāo)γ,切換系統(tǒng)(1)的保成本上界為

J*=exp(αTf)γ2d[1+N(μ-1)μN(yùn)]+

[1+N(μ-1)μN(yùn)exp(αTf)]Vσ(0)(x(0))

(12)

Vσ(t)(x(t))=xT(t)Pσ(t)x(t)

(13)

分3步證明此定理。

1) 證明切換閉環(huán)系統(tǒng)(6)是有限時(shí)間有界的。

(14)

由定義2和定義3,有下列不等式成立:

ε2i(fi(x(t)))Tfi(x(t))≥0

令

則

(15)

其中

由式(7)Schur補(bǔ),得Ω1<0,由事件觸發(fā)方案(4)知

(16)

因此

(17)

(18)

同理,在其他事件觸發(fā)子區(qū)間上也有類(lèi)似于式(18)的形式,即有

(19)

另一方面,由式(8)可得

(20)

結(jié)合式(18)和式(20)可得

t∈(0,Tf)

(21)

由定義1知,Nσ(τ,t)≤N。因此,由式(20)和式(21)知

(22)

由‖ω(t)‖≤ν‖x(t)‖,可得

令L=max{ωT(t)ω(t)},t∈[0,Tf],則有

從式(22)得

(23)

式(23)若成立，必有

也就是說(shuō),若‖ω(t)‖≤ν‖x(t)‖,則?d滿足

(24)

由式(22)和式(24)得

V(x(t))<μN(yùn)σ(0,Tf)exp(αTf)·

[Vσ(t0)(x(t0))+γ2d]

(25)

另外,

(26)

同理

(27)

由定義1,并結(jié)合式(10)與(11)可得

xT(t)Rx(t)≤c2

(28)

因此,不確定非線性切換閉環(huán)系統(tǒng)(6)關(guān)于(c1,c2,Tf,R,σ(t))是有限時(shí)間有界的。

2) 不確定非線性切換閉環(huán)系統(tǒng)(6)具有H∞性能指標(biāo)γ>0。

由式(6)知

[Ci+DiKiDiKi00]η(t)

(29)

由Schur補(bǔ)和式(7)可得類(lèi)似于式(15)的情形,再根據(jù)式(16)得

αxT(t)Pix(t)-zT(t)z(t)

(30)

其中γ>0,故有

(31)

在零初始條件下,令t→Tf,即得

由定義5知,不確定非線性切換閉環(huán)系統(tǒng)(6)具有H∞性能指標(biāo)γ。

3) 求證保成本函數(shù)的上界J*。

由式(7)和式(13)～(16)知

(32)

利用式(20)、(25)和(32),不確定非線性切換閉環(huán)系統(tǒng)(6)的保成本函數(shù)滿足

uT(t)Tσ(t)u(t)]dt≤

exp(αTf)γ2d+Vσ(0)(x(0))+

exp(αTf)γ2d[1+N(μ-1)μN(yùn)]+

[1+N(μ-1)μN(yùn)exp(αTf)]·

Vσ(0)(x(0))

(33)

由此得到式(12)。定理1得證。

注2 由于定理1中矩陣不等式(7)是非線性的,無(wú)法利用Matlab求解。因此,引入定理2,將其轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式,并利用LMI工具求解保成本有限時(shí)間H∞狀態(tài)反饋控制器增益Ki及保成本上界J*。

(34)

成立,且切換信號(hào)的平均駐留時(shí)間滿足式(11),其中

Ξ4=diag[-ε2iI,-γ2I]

Bi是列滿秩,則相關(guān)的控制器(5)的增益矩陣為

(35)

保成本函數(shù)J≤J*,上界J*滿足式(12)。

證明根據(jù)定理 1,令Li=PiBiKi,由Schur補(bǔ)知,不等式矩陣式(7)與(34)等價(jià)。由此,在事件觸發(fā)方案下,可利用線性矩陣不等式得到保成本有限時(shí)間H∞狀態(tài)反饋控制器增益矩陣Ki和保成本上界J*。定理2得證。

為了說(shuō)明利用事件觸發(fā)方案(4)進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣時(shí),不會(huì)發(fā)生Zeno行為,有如下定理:

定理3 考慮事件觸發(fā)方案(4)和切換閉環(huán)系統(tǒng)(6),事件觸發(fā)執(zhí)行區(qū)間tk+1-tk(?tk)的下界為

(36)

χ6=max{‖E1i‖},χ7=max{‖E2iKi‖}

證明為了便于求導(dǎo),定義‖·‖為|·|。eET(t)=etk(t),且

?t∈[tk,tk+1),k∈N

由式(2)、(4)和(6)得

(1+Λ1y(t))(Λ2+Λ3y(t))

(37)

y(t)的值為0到χ11,因此事件觸發(fā)執(zhí)行區(qū)間的下界g(T)=χ11的解為T(mén)=t-tk,即得式(37)。

(38)

(39)

已知y(tk)=g(tk)=0,類(lèi)似于情形(1),即得式(36)。從式(36)中可知T>0,即可避免Zeno行為。定理3得證。

3 數(shù)值實(shí)例

考慮具有2個(gè)子系統(tǒng)的非線性切換系統(tǒng)(1),其中

E21=E22=I,H1(t)=H2(t)=sinx(t)

利用LMI工具箱解線性矩陣不等式(8)～(10)和式(34),得保成本上界J*=58.200 9,矩陣P1,P2分別為

狀態(tài)反饋控制器增益為

相應(yīng)的事件觸發(fā)參數(shù)為

圖 1 狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.1 The trajectories of states

圖 2 切換信號(hào)σ(t)Fig.2 The switching signal σ(t)

圖 3 事件觸發(fā)相互執(zhí)行區(qū)間Fig.3 Inter execution intervals of theevent-triggered

圖 4 觸發(fā)界Fig.4 The triggered boundary

注3 在文獻(xiàn)[13]中,作者研究了具有擾動(dòng)和不確定因素的切換系統(tǒng)在事件觸發(fā)采樣機(jī)制下的保成本有限時(shí)間H∞控制問(wèn)題,然而其并未考慮非線性因素對(duì)系統(tǒng)的影響。本文在[13]的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步討論了切換系統(tǒng)(1)包含有非線性因素的情況,利用定義2、3,將非線性函數(shù)線性化,證明了系統(tǒng)(1)在事件觸發(fā)方案下是有限時(shí)間有界的且具有H∞性能指標(biāo)γ,并且找到了保成本的上界J*。文獻(xiàn)[13]可作為本文的一個(gè)特例,本文所考慮的系統(tǒng)更具有一般性。

4 結(jié) 語(yǔ)

討論了不確定非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)保成本有限時(shí)間H∞控制問(wèn)題。在事件觸發(fā)方案下,得到了不確定非線性切換閉環(huán)系統(tǒng)是有限時(shí)間有界的且具有H∞性能指標(biāo)γ的充分條件,并找到了切換系統(tǒng)的保成本上界J*和狀態(tài)反饋控制器u(t)的設(shè)計(jì)方案。證明了Zeno行為能夠被避免,由一個(gè)數(shù)值例子驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。