2008年7月，來自世界各地的很多最優(yōu)秀的魔方玩家聚集在捷克共和國中部的帕爾杜比采，參加魔方界的重要賽事：捷克公開賽。在這次比賽上，荷蘭玩家阿克斯迪杰克創(chuàng)下了一個驚人的紀(jì)錄：只用7.08秒就復(fù)原了一個顏色被徹底打亂的魔方。無獨有偶，在這一年的8月，人們在研究魔方背后的數(shù)學(xué)問題上也取得了重要進(jìn)展。

風(fēng)靡世界的玩具

1974年春天，匈牙利布達(dá)佩斯應(yīng)用藝術(shù)學(xué)院的建筑學(xué)教授魯比克萌生了一個有趣的念頭，他想設(shè)計一個教學(xué)工具來幫助學(xué)生直觀地理解空間幾何的各種轉(zhuǎn)動。經(jīng)過思考，他決定制作一個由一些小方塊組成的，各個面能隨意轉(zhuǎn)動的3×3×3的立方體。這樣的立方體可以很方便地演示各種空間轉(zhuǎn)動。

這個想法雖好，實踐起來卻面臨一個棘手的問題，即如何才能讓這樣一個立方體的各個面能隨意轉(zhuǎn)動？魯比克想了很多點子，比如用磁鐵或橡皮筋連接各個小方塊，但都不成功。那年夏天的一個午后，他在多瑙河畔乘涼，他的眼光不經(jīng)意地落在了河畔的鵝卵石上。忽然，他心中閃過一個新的設(shè)想：用類似于鵝卵石那樣的圓形表面來處理立方體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。這一新設(shè)想成功了，魯比克很快完成了自己的設(shè)計，并向匈牙利專利局申請了專利。這一設(shè)計就是我們都很熟悉的魔方，也叫魯比克方塊。

6年后，魯比克的魔方經(jīng)過一位匈牙利商人兼業(yè)余數(shù)學(xué)家的牽頭，打進(jìn)了西歐及美國市場，并以驚人的速度成為風(fēng)靡全球的新潮玩具。在此后的25年間，魔方的銷量超過了3億個。在魔方玩家中，既有牙牙學(xué)語的孩子，也有跨國公司的老總。魔方雖未如魯比克設(shè)想的那樣成為一種空間幾何的教學(xué)工具，卻變成了有史以來最暢銷的玩具。

魔方之暢銷，最大的魔力就在于其數(shù)目驚人的顏色組合。一個魔方出廠時每個面各有一種顏色，總共有六種顏色，但這些顏色被打亂后，所能形成的組合數(shù)卻多達(dá)4325億億。我們可以很有把握地說，假如不掌握訣竅地隨意亂轉(zhuǎn)，一個人哪怕從宇宙大爆炸之初就開始玩魔方，也幾乎沒有任何希望將一個色彩被打亂的魔方復(fù)原。

魔方與上帝之?dāng)?shù)

自1981年起，魔方愛好者們開始舉辦世界性的魔方大賽，從而開始締造自己的世界紀(jì)錄。這一紀(jì)錄被不斷地刷新著。當(dāng)然，單次復(fù)原的紀(jì)錄存在一定的偶然性，為了減少這種偶然性，自2003年起，魔方大賽的冠軍改由多次復(fù)原的平均成績來決定，目前這一平均成績的世界紀(jì)錄為11.28秒。這些紀(jì)錄的出現(xiàn)，表明魔方雖有天文數(shù)字般的顏色組合，但只要掌握竅門，將任何一種組合復(fù)原所需的轉(zhuǎn)動次數(shù)卻并不多。

那么，最少需要多少次轉(zhuǎn)動，才能確保無論什么樣的顏色組合都能被復(fù)原呢？這個問題引起了很多人，尤其是數(shù)學(xué)家的興趣。這個復(fù)原任意組合所需的最少轉(zhuǎn)動次數(shù)被數(shù)學(xué)家們戲稱為“上帝之?dāng)?shù)”。

要研究上帝之?dāng)?shù)，首先當(dāng)然要研究魔方的復(fù)原方法。早在20世紀(jì)90年代中期，人們就有了較實用的算法，可以用平均15分鐘左右的時間找出復(fù)原一種給定顏色組合的最少轉(zhuǎn)動次數(shù)。

從理論上講，如果有人能對每一種顏色組合都找出這樣的最少轉(zhuǎn)動次數(shù)，那么這些轉(zhuǎn)動次數(shù)中最大的一個無疑就是上帝之?dāng)?shù)。但可惜的是，4325億億這個巨大的數(shù)字成為人們窺視上帝之?dāng)?shù)的攔路虎。如果采用上面提到的算法，哪怕用一億臺機器同時計算，也要超過一千萬年的時間才能完成。

看來蠻干是行不通的，數(shù)學(xué)家們于是便求助于他們的老本行：數(shù)學(xué)。從數(shù)學(xué)的角度看，魔方的顏色組合雖然千變?nèi)f化，其實都是由一系列基本的操作即轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的，而且那些操作還具有幾個非常簡單的特點，比如任何一個操作都有一個相反的操作（比如與順時針轉(zhuǎn)動相反的操作就是逆時針轉(zhuǎn)動）。對于這樣的操作，數(shù)學(xué)家們的軍火庫中有一種非常有效的工具來對付它，這工具叫做群論，它早在魔方問世之前一百四十多年就已出現(xiàn)了。

對魔方研究來說，群論有一個非常重要的優(yōu)點，就是它可以充分利用魔方的對稱性。我們前面提到4325億億這個巨大數(shù)字時，其實有一個疏漏，那就是并未考慮到魔方作為一個立方體所具有的對稱性。由此導(dǎo)致的結(jié)果，是那4325億億種顏色組合中有很多其實是完全相同的，只是從不同的角度去看（比如讓不同的面朝上）而已。因此，4325億億這個令人望而生畏的數(shù)字實際上是“注水豬肉”。那么，這“豬肉”中的“水分”占多大比例呢？說出來嚇大家一跳：占了將近99%！換句話說，僅憑對稱性一項，數(shù)學(xué)家們就可以把魔方的顏色組合減少兩個數(shù)量級。

但減少兩個數(shù)量級對于尋找上帝之?dāng)?shù)來說還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因為那不過是將前面提到的1000萬年的時間減少為了10萬年。對于解決一個數(shù)學(xué)問題來說，十萬年顯然還是太長了。因此為了尋找上帝之?dāng)?shù)，人們還需要尋找更巧妙的思路。幸運的是，群論這一工具的威力遠(yuǎn)不只是用來分析像立方體的對稱性那樣顯而易見的東西，在它的幫助下，新的思路很快就出現(xiàn)了。

尋找上帝之?dāng)?shù)

1992年，德國數(shù)學(xué)家科先巴提出了一種尋找魔方復(fù)原方法的新思路。他發(fā)現(xiàn)，在魔方的基本轉(zhuǎn)動方式中，有一部分可以自成系列，通過這部分轉(zhuǎn)動可以形成將近200億種顏色組合。利用這200億種組合，科先巴將魔方的復(fù)原問題分解成了兩個步驟：第一步是將任意一種顏色組合轉(zhuǎn)變?yōu)槟?00億種組合之一，第二步則是將那200億種組合復(fù)原。如果我們把魔方復(fù)原比作是讓一條汪洋大海中的小船駛往一個固定的目的地，那么科先巴提出的那200億種顏色組合就好比是一片特殊的水域—一片比那個固定地點大了200億倍的特殊水域。他提出的兩個步驟就好比是讓小船首先駛往那片特殊水域，然后從那里駛往那個固定的目的地。在汪洋大海中尋找一片巨大的特殊水域，顯然要比直接尋找那個小小的目的地容易得多，這就是科先巴的新思路的優(yōu)越之處。

但即便如此，要用科先巴的方法對上帝之?dāng)?shù)進(jìn)行估算仍不是一件容易的事。尤其是，要想進(jìn)行快速的計算，最好是將復(fù)原那200億種顏色組合的最少轉(zhuǎn)動次數(shù)存儲在計算機的內(nèi)存中，這大約需要300兆的內(nèi)存。300兆在今天看來是一個不太大的數(shù)目，但在科先巴提出新思路的那年，普通計算機的內(nèi)存連它的十分之一都遠(yuǎn)遠(yuǎn)不到。因此直到3年后，才有人利用科先巴的方法給出了第一個估算結(jié)果。此人名叫里德，是美國佛羅里達(dá)大學(xué)的數(shù)學(xué)家。1995年，里德通過計算發(fā)現(xiàn)，最多經(jīng)過12次轉(zhuǎn)動，就可以將魔方的任意一種顏色組合變?yōu)榭葡劝湍?00億種組合之一;而最多經(jīng)過18次轉(zhuǎn)動，就可以將那200億種組合中的任意一種復(fù)原。這表明，最多經(jīng)過12+18=30次轉(zhuǎn)動，就可以將魔方的任意一種顏色組合復(fù)原。

在得到上述結(jié)果后，里德很快對自己的計算作了改進(jìn)，將結(jié)果從30減少為29，這表明上帝之?dāng)?shù)不會超過29。此后隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們對里德的結(jié)果又作了進(jìn)一步的改進(jìn)，但進(jìn)展并不迅速。直到11年后的2006年，奧地利開普勒大學(xué)符號計算研究所的博士生拉杜才將結(jié)果推進(jìn)到了27。第二年，即2007年，美國東北大學(xué)的計算機科學(xué)家孔克拉和庫伯曼又將結(jié)果推進(jìn)到了26，他們的工作采用了并行計算系統(tǒng)，所用內(nèi)存高達(dá)700萬兆，所耗計算時間則長達(dá)8000小時（相當(dāng)于將近一年的24小時不停歇計算）。這些計算結(jié)果表明，上帝之?dāng)?shù)不會超過26。2008年，研究上帝之?dāng)?shù)長達(dá)15年之久的計算機高手羅基奇運用了相當(dāng)于將科先巴的特殊水域擴大幾千倍的巧妙方法，在短短幾個月的時間內(nèi)對上帝之?dāng)?shù)連續(xù)發(fā)動了4次猛烈攻擊，將它的估計值從25一直壓縮到了22。截至今日，這是全世界范圍內(nèi)的最佳結(jié)果。

因此，現(xiàn)在我們已經(jīng)知道，上帝之?dāng)?shù)一定不超過22。但是，羅基奇的特殊水域雖然很大，終究仍有很多顏色組合的最佳復(fù)原方法是無須經(jīng)過那片特殊水域的，因此，上帝之?dāng)?shù)很可能比22更小。那么，它究竟是多少呢？人們雖然還無法確知，但種種跡象表明，它極有可能是20。這是因為，人們在過去這么多年的所有努力中，都從未遇到任何必須用20次以下轉(zhuǎn)動才能復(fù)原的顏色組合，這表明“上帝之?dāng)?shù)”很可能不大于20。

另一方面，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了幾萬種顏色組合，它們必須要用20次轉(zhuǎn)動才能復(fù)原，這表明上帝之?dāng)?shù)不可能小于20。將這兩方面綜合起來，數(shù)學(xué)家們普遍相信，上帝之?dāng)?shù)的真正數(shù)值就是20。當(dāng)然，“上帝”也許是微妙的，我們誰也無法保證它是否會在某個角落為我們留下驚訝，我們唯一有理由相信的也許是：這個游戲與數(shù)學(xué)交織而成的神秘的上帝之?dāng)?shù)距離它水落石出的那一天已不太遙遠(yuǎn)了。