楊正璽，常洪振

(1.北京機電工程研究所，北京100074；2.北京強度環(huán)境研究所，北京100076)

0 引言

結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程包括結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。其中,質(zhì)量矩陣儲存著結(jié)構(gòu)各部分的動能,剛度矩陣存儲著結(jié)構(gòu)各部分的勢能,阻尼矩陣則代表能量在結(jié)構(gòu)的各部分之間的轉(zhuǎn)移(例如機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能),結(jié)構(gòu)的總能量通過這三個矩陣進行相互轉(zhuǎn)換,由此形成結(jié)構(gòu)持續(xù)的運動(振動),結(jié)構(gòu)共振時的形態(tài),稱之為模態(tài)。

結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的模態(tài)對應(yīng)實際物理意義上的振動形態(tài),在數(shù)學(xué)意義上則對應(yīng)非齊次微分方程的特征值問題。結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型對應(yīng)的方程在物理坐標系下,質(zhì)量矩陣和剛度矩陣均是非對角的對稱正定矩陣,若直接求解方程難度較大。通常的做法是,借助模態(tài)向量基的正交性將結(jié)構(gòu)實際的非對角質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換為對角矩陣,這樣就可以將結(jié)構(gòu)在物理坐標系下的多自由度系統(tǒng)解耦為n個單自由度組成的系統(tǒng),由此方程求解可大為簡化。上述解耦過程得到的模態(tài)坐標系下的對角質(zhì)量矩陣和剛度矩陣就稱為模態(tài)質(zhì)量陣、模態(tài)剛度陣,每個對角元素稱為結(jié)構(gòu)該階模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度。

模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度是為了數(shù)學(xué)計算的方便在模態(tài)坐標系下的定義,不再具有實際的物理意義和量綱。不過由于其也是對實際結(jié)構(gòu)的一種描述,在模態(tài)坐標系下得到的這些參數(shù)也可通過廣義反變換的方式轉(zhuǎn)化為實際物理系下的力學(xué)參量[1],即具有實際物理意義。例如在航空航天領(lǐng)域可利用模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)振型參數(shù)來計算飛行器飛行過程的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程系數(shù)以及動載荷,為控制系統(tǒng)的設(shè)計和載荷環(huán)境條件的設(shè)計提供重要依據(jù)[2-5]。由此看來,模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度等動特性參數(shù)在航空航天領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)動力學(xué)設(shè)計中占據(jù)著重要的地位?；诖?一些學(xué)者已經(jīng)提出基于有限元模型獲取模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度的方法[6-9],但該方法的測試結(jié)果極依賴于所建立有限元模型精度,對于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的完整的有限模型難以建立,因此該方法有很大局限性。由于模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度可以通過結(jié)構(gòu)固有頻率相互導(dǎo)出,本文僅研究模態(tài)質(zhì)量獲取方法,其中重點研究試驗測試方法。

1 公式法

根據(jù)定義,模態(tài)質(zhì)量矩陣等于結(jié)構(gòu)物理坐標系下真實的質(zhì)量矩陣左乘模態(tài)振型矩陣的轉(zhuǎn)置,右乘模態(tài)振型矩陣為

式中:Mm為模態(tài)質(zhì)量矩陣;M為物理坐標系下真實的質(zhì)量矩陣;Φ為模態(tài)振型;ΦT為模態(tài)振型矩陣的轉(zhuǎn)置。

式(1)中,需已知結(jié)構(gòu)物理坐標系下真實質(zhì)量矩陣,對于復(fù)雜結(jié)構(gòu),需先建立有限元模型,物理坐標系下真實質(zhì)量矩陣、模態(tài)振型均可通過有限元模型提取。考慮到有限元模型與結(jié)構(gòu)相比有一定誤差,獲取的模態(tài)振型也會有誤差,并且直接通過完整的有限元模型提取的參數(shù)容量一般較大,不便于直接計算。工程中通常使用的方法是利用試驗實測振型數(shù)據(jù)和有限元模型提取的物理坐標系下真實質(zhì)量矩陣配合進行計算,公式中的模態(tài)振型矩陣由試驗來給出,真實質(zhì)量矩陣通過有限元模型縮聚到試驗測點處的縮聚模型給出,這樣就極大減少計算量,同時提高結(jié)果的準確性,但該方法仍需要建立結(jié)構(gòu)的有限元計算模型,因此,該方法對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)存在一定使用局限性。

2 基于頻響函數(shù)的試驗方法

2.1 方法原理

根據(jù)模態(tài)理論,在比例粘性阻尼假設(shè)下,n自由度系統(tǒng)用模態(tài)參數(shù)表示的加速度頻響函數(shù)矩陣為

式中:ω為固有頻率;{φ}i為第i階模態(tài)的振型為第i階模態(tài)振型的轉(zhuǎn)置;Mi為模態(tài)質(zhì)量;Ki為模態(tài)剛度;Ci為阻尼系數(shù)。

簡單的單點激振情況下,上述矩陣的第l行第p列分量即在p點激振,l點測量的加速度傳遞函數(shù)為

上述頻響函數(shù)式子包含了各階模態(tài)參數(shù),對于一般的小阻尼系統(tǒng),若在模態(tài)密度不是很高、相鄰模態(tài)相互影響不大的情況下,式(3)可簡化為

式中:Ri為復(fù)常數(shù),表示第i階以外其他各階模態(tài)影響總和。

將式(4)的實部和虛部分開

當(dāng)Ri=0時,根據(jù)式(5)和式(6)繪制實頻、虛頻曲線;當(dāng)Ri≠0,曲線將上移RiR和RiI。這時可直接由圖解識別法快速檢索求得模態(tài)參數(shù),分別確定該階模態(tài)的固有頻率ωi和模態(tài)阻尼比ξi。

2.2 錘擊法

若試驗采用錘擊法,振型測量可由頻響函數(shù)矩陣中一行的虛部峰值得到。若將余項Ri當(dāng)做小量忽略,再令即在共振頻率處,則由式可得傳遞函數(shù)虛部峰值點的值為

錘擊法為響應(yīng)點l固定,激振點p=1,2,3…n時,令其中m點為歸一化參考點,即φmi=1,參考點m的頻響函數(shù)虛部峰值為

第p點的歸一化后振型為

整理可得錘擊法中該階模態(tài)質(zhì)量計算公式為

當(dāng)響應(yīng)點與歸一化點一致時,模態(tài)質(zhì)量計算公式為

2.2 激振器法

若試驗采用激振器法,推導(dǎo)過程與錘擊法類似,激振器法中模態(tài)質(zhì)量計算公式為

當(dāng)激振點與歸一化點一致時,計算公式(12)與式(11)一致。

2.3 模態(tài)質(zhì)量的修正

由式(10)～(12)可以看到,模態(tài)質(zhì)量的測試精度直接取決于阻尼比ξ和頻響函數(shù)H的測量精度。對于阻尼比的精度,影響因素主要包括各階模態(tài)的分離程度、測試中所使用窗函數(shù)以及測試設(shè)備本身的頻率分辨力。在測試中可通過優(yōu)化激振位置盡量使各階模態(tài)分離,使分析頻段內(nèi)僅為單一模態(tài),以提高阻尼比識別的準確性。對于測試設(shè)備的頻率分辨力則要求每次測試分析頻率上限值根據(jù)各階模態(tài)頻率分別設(shè)定,并且盡可能選擇低的上限。

頻響函數(shù)是有量綱的,雖然試驗系統(tǒng)中的力和加速度傳感器一般都要求使用提供的靈敏度標定值,但通常計量部門所做的標定是在靜載下或特定頻率下的。頻響函數(shù)測試是一個動態(tài)過程,頻率范圍廣,傳感器靈敏度將會發(fā)生變化,特別對于力傳感器,錘擊法中所測得的力值是錘頭和傳感器之間的力,并不是直接作用于結(jié)構(gòu)上的力,它與所使用力錘的重量、錘頭以及結(jié)構(gòu)的材質(zhì)都有關(guān)[10-11]。為保證頻響函數(shù)測試的準確度,測試前需要先對所用的測試設(shè)備作組合動態(tài)標定。

通常采用文獻中介紹的標準質(zhì)量塊絕對標定法。如圖1所示,標定過程所使用的測試系統(tǒng)與模態(tài)測試系統(tǒng)相同,只是將結(jié)構(gòu)試驗件改換為標準質(zhì)量塊或砝碼。

圖1 修正方法示意圖

將砝碼用橡膠繩懸吊起來,在砝碼的一個端面中心粘貼加速度傳感器,另一端面中心作為錘擊點或激振點,在錘擊點或激振點位置粘貼一片與實際結(jié)構(gòu)相同的材料。標定過程的分析儀頻率上限取模態(tài)測試時可能采用的最高頻率,窗函數(shù)甚至指標都應(yīng)與模態(tài)測試時相同,會對標定結(jié)果產(chǎn)生較大影響。標定過程與模態(tài)測試相同也取多次測試平均,次數(shù)可適當(dāng)增加。標定結(jié)果曲線為一條有小幅波動的水平直線,可在所標定的頻率范圍內(nèi)取若干點的平均值作為最終標定值。根據(jù)牛頓第二定律,質(zhì)量為m的砝碼,自身頻率足夠高,在所標定的頻率范圍內(nèi),其頻響函數(shù)應(yīng)與靜態(tài)時一致,為1/m,故系統(tǒng)的標定系數(shù)可寫為

模態(tài)試驗直接測得的頻響函數(shù)值H試,可由式(13)修正為實際的頻響函數(shù)值

將式(14)代入式(10)和(12),可得模態(tài)質(zhì)量的修正結(jié)果。

3 基于頻率變化率的試驗方法

上述基于頻響函數(shù)的試驗法存在不足:一是要測定準確的阻尼比值,對于密集模態(tài)情況需要多次優(yōu)化激振位置,工作量大且效果有限,阻尼比的準確度難以保證;二是測定準確的激振力和響應(yīng)的幅值,要求傳感器和測量儀器有準確的靈敏度標定值,傳感器和測量儀器通常僅在計量部門所做的靜載或特定頻率下的標定值是不夠的,需要在模態(tài)測試前對實際使用的測量系統(tǒng)作組合動態(tài)標定,較為繁瑣。本節(jié)所介紹的基于頻率變化率的試驗方法不需要測量力幅和振幅的絕對值,避免了標定程序,更為簡便可靠。

首先使試件處于某階模態(tài)共振點,然后在試件上一點或若干點上逐級增附加質(zhì)量,改變激振頻率,重新建立共振,測量相應(yīng)的共振頻率移動量即可確定模態(tài)質(zhì)量。假設(shè)附加質(zhì)量后試件振型不變,則模態(tài)剛度也不變,即

對ωi求導(dǎo)可得

式中:ΔMi為各點附加質(zhì)量mp與對應(yīng)的p點規(guī)格化振型平方乘積的總和。

為避免偶然誤差影響,提高測試準確度,可繪制一條質(zhì)量變化-頻率變化曲線,取得曲線起始點附近的斜率值,將其代入公式中計算模態(tài)質(zhì)量。

由于該方法假設(shè)附加質(zhì)量后試件振型不變,即模態(tài)剛度不變,因此附加質(zhì)量的大小不應(yīng)過大,參考飛行器相關(guān)模態(tài)試驗標準[12]中對于邊界支承工裝所產(chǎn)生的附加質(zhì)量要求的規(guī)定,本文定性給出該方法中附加質(zhì)量的大小應(yīng)小于試驗件質(zhì)量的1%,供使用中參考。

4 應(yīng)用實例

采用梁結(jié)構(gòu)進行試驗測試方法驗證,尺寸為長1500 mm×寬100 mm×厚3 mm,模態(tài)質(zhì)量以右端部所在位置歸一化,主要考慮梁的前三階模態(tài)。首先建立有限元模型以利用公式法計算模態(tài)質(zhì)量,并以此結(jié)果作為評定試驗方法獲取結(jié)果的基準。

進行錘擊法自由模態(tài)試驗,在右端部和中間位置布置兩個響應(yīng)測點,變換錘擊點進行模態(tài)測量,梁結(jié)構(gòu)實物如圖2,有限無模型圖3所示。

圖2 梁結(jié)構(gòu)實物圖

圖3 梁結(jié)構(gòu)有限元模型

重點獲取準確的傳遞函數(shù)曲線并識別模態(tài)阻尼比參數(shù),并利用砝碼對傳感器和測試系統(tǒng)進行聯(lián)合標定,如圖4利用錘擊方法計算模態(tài)質(zhì)量。

圖4 傳感器和測試系統(tǒng)的聯(lián)合標定

重新進行錘擊法自由模態(tài)試驗,在右端部即歸一化點處逐級粘結(jié)不同質(zhì)量的砝碼(如圖5),然后重新測量結(jié)構(gòu)的共振頻率,利用第3節(jié)介紹的方法作出質(zhì)量變化-頻率變化曲線,如圖6所示,取得曲線起始點附近的斜率值代入第3節(jié)公式中,計算模態(tài)質(zhì)量。

圖5 梁結(jié)構(gòu)上附加不同質(zhì)量的砝碼

圖6 模態(tài)質(zhì)量變化-頻率變化曲線

兩種試驗方法得到的梁前三階模態(tài)質(zhì)量結(jié)果與公式法計算的基準的對比(括號內(nèi)為誤差百分比)見表1所示。

表1 兩種測試方法與公式計算基準結(jié)果對比

由表可知,頻響函數(shù)法得到的結(jié)果除一階模態(tài)誤差為15%外,二階、三階結(jié)果誤差為30%,35%,誤差較大;基于頻率變化率的試驗方法得到的結(jié)果各階模態(tài)誤差均可控制在20%左右,能夠滿足實際工程的需要。

5 結(jié)論

基于有限元模型的公式法獲取模態(tài)質(zhì)量在工程中僅局限于簡單結(jié)構(gòu)的使用,本文對基于頻響函數(shù)、頻率變化率獲取模態(tài)質(zhì)量參數(shù)的試驗測試方法進行了研究,并應(yīng)用于實際梁結(jié)構(gòu),對兩種試驗測試方法獲得的結(jié)果與公式法計算的基準結(jié)果進行對比,表明基于頻率變化率的試驗方法得到的結(jié)果誤差可控制在20%左右,能夠滿足實際工程的需要,為獲取復(fù)雜結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量參數(shù)提供了可行的方法。