陳高杰 ，常 琳 ，楊秀彬 ，楊春雷 ，黎艷博

（1. 中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長春130033；2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3. 中國科學(xué)院天基動態(tài)快速光學(xué)成像技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗室，吉林長春130033）

1 引 言

衛(wèi)星編隊?wèi){借其可靠性高、靈活性強(qiáng)、適應(yīng)性廣的特點(diǎn)，擁有極高的應(yīng)用價值，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于科學(xué)實(shí)驗、近地觀測、深空探測、干涉測量等諸多領(lǐng)域［1-4］。衛(wèi)星工作于真空失重狀態(tài)，長期受到強(qiáng)輻射及高低溫等惡劣空間環(huán)境的影響，并且衛(wèi)星自身元器件工藝水平、老化磨損均會導(dǎo)致執(zhí)行器發(fā)生故障。若衛(wèi)星發(fā)射入軌后發(fā)生故障，一般難以修復(fù)，需要使用星上冗余元器件保證衛(wèi)星繼續(xù)工作。但受到衛(wèi)星研發(fā)和發(fā)射成本的限制，難以在衛(wèi)星系統(tǒng)上安裝過多元器件，另外，衛(wèi)星運(yùn)行過程中，受到地球質(zhì)量分布不均和非球形、日月三體引力、大氣阻力、太陽光壓等影響，導(dǎo)致編隊構(gòu)形發(fā)生變化，故需設(shè)計合理的故障估計以及容錯控制策略，進(jìn)行構(gòu)形保持控制，以提高衛(wèi)星編隊系統(tǒng)的可靠性和安全性［5］。

針對故障估計與容錯控制，眾多學(xué)者進(jìn)行了大量研究，其中一些方法已廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星編隊軌道控制系統(tǒng)［6-8］、航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)［9-11］、無人機(jī)飛行控制系統(tǒng)［12-13］及電力電子控制系統(tǒng)［14-15］等領(lǐng)域。文獻(xiàn)［6］為解決碰撞避免、障礙規(guī)避的問題，設(shè)計了結(jié)合勢函數(shù)制導(dǎo)方法的滑模協(xié)同控制策略，同時在所提控制算法中引入自適應(yīng)律，提高了執(zhí)行器故障容錯控制、參數(shù)自適應(yīng)能力，使航天器編隊在進(jìn)行目標(biāo)跟蹤和構(gòu)形保持的同時，防止編隊航天器間碰撞并具備躲避障礙物的能力。文獻(xiàn)［16］基于H∞最優(yōu)理論和矩陣奇異值分解技術(shù)，使用分散狀態(tài)反饋方法，對衛(wèi)星軌道保持系統(tǒng)進(jìn)行容錯控制研究，提出了允許執(zhí)行器故障和傳感器故障的兩種分散控制方法，在保持故障系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的同時，使控制性能在H∞范數(shù)意義下達(dá)到次優(yōu)。文獻(xiàn)［17］設(shè)計了非線性增廣觀測器，此觀測器考慮多種故障形式，而不局限于常值或緩變故障，進(jìn)一步針對一般情況下的系統(tǒng)，設(shè)計了魯棒增廣觀測器，可以進(jìn)行更精確的故障估計，且適用于多個故障并發(fā)情況。文獻(xiàn)［18］針對推進(jìn)器堵塞或關(guān)閉等故障情況，提出基于H∞/H-的濾波器的故障估計方案，仿真表明，該濾波器在航天器存在測量噪聲、測量延遲、傳感器失調(diào)的情況下，能夠進(jìn)行故障的精確診斷，并隔離故障。文獻(xiàn)［19］通過故障辨識模塊和輔助系統(tǒng)模塊進(jìn)行故障估計，通過反步容錯控制方法，使編隊存在拓?fù)涔收?、舵面故障、?zhí)行器故障和不確定性的情況下，依然可以使編隊穩(wěn)定飛行。另外，編隊衛(wèi)星長期在軌運(yùn)行，可能發(fā)生故障的同時，亦會受到多種內(nèi)部或外部攝動干擾的作用，這些干擾均會嚴(yán)重影響編隊衛(wèi)星正常軌道運(yùn)動，導(dǎo)致衛(wèi)星編隊實(shí)際構(gòu)形偏離預(yù)設(shè)構(gòu)形［20］。然而，少有文獻(xiàn)綜合考慮包括模型誤差、衛(wèi)星故障以及外部干擾等在內(nèi)的安全問題，并且當(dāng)此類飛行要求與設(shè)計的構(gòu)形保持控制目標(biāo)相結(jié)合時，將進(jìn)一步增加控制器的設(shè)計難度［6，17］。

故本文在對衛(wèi)星編隊系統(tǒng)進(jìn)行故障估計的基礎(chǔ)上，考慮未知擾動及系統(tǒng)模型參數(shù)不確定性，對衛(wèi)星編隊進(jìn)行抗干擾容錯控制研究。首先設(shè)計可以綜合估計系統(tǒng)模型誤差、外部干擾以及執(zhí)行器故障的觀測器系統(tǒng)，對系統(tǒng)未知信息進(jìn)行估計，另外在觀測器設(shè)計時，加入殘差微分模塊，提高估計準(zhǔn)確度。然后基于相關(guān)估計信息，引入H∞方法，減弱不可建模干擾部分對系統(tǒng)的影響，設(shè)計閉環(huán)反饋抗干擾容錯LQR 控制策略。最后仿真結(jié)果表明，所提基于觀測器的控制策略具有更精確的控制性能。

2 衛(wèi)星編隊動力學(xué)模型

2.1 坐標(biāo)系定義

2.1.1 地心赤道坐標(biāo)系（慣性坐標(biāo)系）Oe-XiYiZi

坐標(biāo)系原點(diǎn)Oe為地心，以赤道面作為基準(zhǔn)面，Xi軸指向春分點(diǎn)，Yi軸在軌道面內(nèi)由Xi軸向東轉(zhuǎn)90°，Zi軸垂直赤道面指向北極。

2.1.2 參考星質(zhì)心軌道坐標(biāo)系（相對運(yùn)動坐標(biāo)系）O-XoYoZo

坐標(biāo)原點(diǎn)O位于參考星質(zhì)心，Xo軸與參考星地心矢量rm重合，Yo軸在參考星軌道面內(nèi)垂直于Xo軸并以指向參考星運(yùn)動方向為正向，Zo軸和Xo，Yo軸構(gòu)成右手系。坐標(biāo)系示意圖見圖1。

圖1 坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Coordinate system schematic diagram

2.2 相對運(yùn)動動力學(xué)模型

雙星編隊由參考星和跟隨星組成，兩星沿飛行方向相隔一段距離，以設(shè)計構(gòu)形運(yùn)行于同一太陽同步軌道上。假設(shè)衛(wèi)星運(yùn)動軌道為圓軌道，將兩顆衛(wèi)星均視為質(zhì)點(diǎn)，采用經(jīng)典C-W 方程相對運(yùn)動動力學(xué)模型［21］表示：

其中：x，y，z分別為兩星相對距離沿X軸，Y軸，Z軸分量，n為參考星軌道角速率。

考慮對編隊衛(wèi)星進(jìn)行控制的情況，相對運(yùn)動方程組（1）可轉(zhuǎn)化為方程組（2）：

其中，μx，μy，μz分別為控制力在軌道坐標(biāo)系下的 3個坐標(biāo)軸分量。

由式（2）可得系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

其中：狀態(tài)變量χT(t)=[x y z x˙y˙z˙]T表示三軸相對位置和速度，輸出變量ζT(t)=[x y z]T表示傳感器測量值；A，B，C矩陣取：

此外，考慮參數(shù)攝動、外部擾動、執(zhí)行器故障等模型不確定因素，則雙星編隊控制系統(tǒng)可描述為：

其中：f(t)表示執(zhí)行器故障；ω(t)表示外部擾動變量，如空間干擾力；Φ(t)表示因參數(shù)攝動、外部擾動等引起的等效未知干擾向量；ΔA表示由地球質(zhì)量分布不均和非球形、日月三體引力、大氣阻力、太陽光壓等參數(shù)不確定導(dǎo)致的攝動矩陣，且滿足ΔAχ(t)=Dd1(t)+Δ，其中D表示具有參數(shù)攝動結(jié)構(gòu)信息的已知矩陣，d1(t)和Δ 分別表示具有參數(shù)攝動能量信息的可建模干擾與不可建模干擾。

基于上述模型，給出以下假設(shè)：

假設(shè)1.故障范數(shù)有界且可微，滿足‖f(t) ‖≤η1，其中η1與η2為有界正實(shí)數(shù)。

假設(shè)2. 外部干擾具有如下形式：

其中：Ddd2(t)= Δ+ω(t)，Dd表示干擾分布矩陣，d2(t)表示不可建模干擾，如隨機(jī)噪聲、模型不確定性。假設(shè)d2(t)是范數(shù)有界的，同時，可建模干擾d1(t)可等效為以下外系統(tǒng)的輸出：

其中：ρ(t)表示外系統(tǒng)的狀態(tài)，HA和HC是具有適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣。

假設(shè)3. 系統(tǒng)（4）能控且能觀。

系統(tǒng)（4）可轉(zhuǎn)化為如式（7）的形式：

3 觀測器設(shè)計

本節(jié)主要給出自適應(yīng)觀測器的設(shè)計方法及存在條件，進(jìn)行穩(wěn)定性與魯棒性分析，同時給出其證明過程，以及求解觀測器設(shè)計參數(shù)的LMI（線性矩陣不等式）算法。

3.1 自適應(yīng)觀測器設(shè)計

基于系統(tǒng)（7），設(shè)計如式（8）所示的自適應(yīng)觀測器：

其中：L為觀測器增益，F(xiàn)1與F2為故障估計權(quán)重，G1與G2為干擾估計權(quán)重，以上均為待設(shè)計參數(shù)變量表示估計狀態(tài)表示估計輸出，表示估計故障表示外系統(tǒng)（6）估計狀態(tài)。

定義如下變量：

其中：eχ(t)表示狀態(tài)估計誤差，eζ(t)表示輸出殘差，ef(t)表示故障估計誤差，eρ(t)表示外系統(tǒng)（6）狀態(tài)估計誤差，ed(t)表示干擾估計誤差。

由系統(tǒng)（7）和觀測器系統(tǒng)（8），可以得到動態(tài)誤差系統(tǒng)：

將系統(tǒng)（10）增廣為如式（11）的形式：

對于任何F2C和G2C，均為非奇異矩陣，則系統(tǒng)（11）可轉(zhuǎn)化為：

對系統(tǒng)進(jìn)行Laplace 變換，可以得到系統(tǒng)動態(tài)誤差：表示估計干擾

注1.對系統(tǒng)（8）中的自適應(yīng)律進(jìn)行積分，有：

其中：ts為系統(tǒng)未發(fā)生故障時的某一時刻，在不考慮外擾等條件下有eχ(ts)=0。此時故障估計器與干擾估計器均包含比例與積分兩個模塊，相較于常規(guī)的自適應(yīng)算法，增加的比例單元，一方面增加了算法設(shè)計的自由度，另一方面也能有效提高故障與干擾估計的快速性和精度，這在后文仿真對比實(shí)驗中得到驗證。

首先給出本文要用到的一些引理。

引理1. 存在對稱正定矩陣P使得對滿足βTβ≤υTCTCυ的所有υ≠ 0 和β，有：

成立當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量τ，使得：

其中：符號A S表示A+AT，*表示該矩陣的對稱元素。

引理2. 給定矩陣A，A的全部特征值均位于圓形穩(wěn)定域C(c，r)，其中c與r分別為圓形穩(wěn)定域的圓心與半徑，當(dāng)且僅當(dāng)存在正定對稱矩陣P，使得：

3.2 穩(wěn)定性與魯棒性分析

為設(shè)計觀測器增益矩陣L，權(quán)重矩陣F1，F(xiàn)2，G1，G2使所提魯棒自適應(yīng)觀測器能夠快速精確地系統(tǒng)模型誤差、外部干擾以及執(zhí)行器故障，給出如下定理。

定理1. 考慮系統(tǒng)（7）、觀測器系統(tǒng)（8），如果存在觀測器增益L，故障估計權(quán)重F1與F2，干擾估計權(quán)重G1與G2，常數(shù)α＞ 0，ε＞ 0，當(dāng)且僅當(dāng)存在對稱正定矩陣P，矩陣Y，使得：

證明：由于是非奇異的，對于對稱正定矩陣P而言，易知矩陣也一定是對稱正定的?？蛇x取Lyapunov 函數(shù)為：

顯然，V(t)是正定的。首先，討論當(dāng)=0時系統(tǒng)（12）的穩(wěn)定性問題。求式（20）對時間的導(dǎo)數(shù)，有：

當(dāng)式（22）滿足時，系統(tǒng)（12）是漸近穩(wěn)定的，狀態(tài)估計誤差eχ(t)，故障估計誤差ef(t)和干擾估計誤差ed(t)漸近收斂于0。

參考H∞性能指標(biāo)，有：

則在零初始條件下，有：

能夠保證式（27）的成立：

且存在T＞ 0，對于任意t＞t0+T，有：

這表示動態(tài)誤差系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，且系統(tǒng)狀態(tài)、故障、干擾的估計誤差eˉT(t)最終一致有界。

由 Schur 補(bǔ)引理，式（25）可轉(zhuǎn)化為如式（29）等價形式：

其中條件（29）的滿足隱式地保證了條件（22）也成立。

給定圓穩(wěn)定域C(c，r)，由引理 2，存在對稱正定矩陣有：

對式做合同變換，得到：

得證。

4 抗干擾容錯反饋控制策略

針對衛(wèi)星編隊構(gòu)形保持控制系統(tǒng)，常用的控制方法主要有：LQR（Linear Quadratic Regulator）最優(yōu)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、李雅普諾夫控制等方法。其中，LQR 最優(yōu)控制形式簡潔，方便設(shè)計而且物理意義明確，因此本文采用LQR 方法進(jìn)行衛(wèi)星編隊構(gòu)形保持容錯控制，并結(jié)合故障估計、干擾補(bǔ)償項來減小控制誤差，提高控制精確度，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖見圖2。

二次型指標(biāo)最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)如式（32）所示：

圖2 閉環(huán)控制框圖Fig.2 Close-loop of satellite formation control system

其中：Q為半正定對稱矩陣，表示狀態(tài)x權(quán)重，影響控制過程中響應(yīng)速度，R為對稱正定矩陣，對控制能力的要求，決定控制過程中能量消耗，u0為控制輸入。

根據(jù)最優(yōu)控制理論，反饋控制律是：

其中K為最優(yōu)反饋矩陣，求解Riccati 微分方程：

得最優(yōu)矩陣反饋矩陣K：

其中，P為Riccati 微分方程的唯一解。

設(shè)計如下基于觀測器的動態(tài)輸出前饋補(bǔ)償容錯抗干擾控制器：

其中，Kd由式（37）給定：

滿足BKd=D，其中Z是適當(dāng)維數(shù)的任意矩陣，B+表示矩陣的Moor-Penrose 逆矩陣。

5 仿真實(shí)驗分析

為了驗證本文所提方法在雙星編隊構(gòu)形保持控制的有效性，本節(jié)進(jìn)行仿真分析。為便于分析，假設(shè)參考星、跟隨運(yùn)行于圓軌道，進(jìn)行協(xié)同遙感拼接成像任務(wù)，相較于單星遙感成像方式，雙星拼接寬幅成像方式使用多顆衛(wèi)星對相鄰區(qū)域進(jìn)行觀測，使用圖像拼接技術(shù)，可以獲得超寬幅圖像。使用LQR 控制器進(jìn)行精確相對位置控制，使雙星編隊從初始構(gòu)形恢復(fù)至期望構(gòu)形。

極點(diǎn)配置取O(-30，29)，由定理 1 得到觀測器設(shè)計參數(shù)：觀測器增益矩陣L取：

故障估計權(quán)重矩陣F1與F2?。?/p>

干擾估計權(quán)重矩陣G1與G2?。?/p>

假設(shè)衛(wèi)星編隊系統(tǒng)在軌飛行過程中，受到的外部干擾d1(t)、d2(t)影響，其中，d1(t)為可建模干擾，d2(t)∈ [-1，1]，表示在 0～20 s 區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)干擾。假設(shè)干擾的分布矩陣為：

外部干擾系統(tǒng)（6）參數(shù)矩陣：

執(zhí)行器故障設(shè)計如下，同時考慮了無故障（x軸）、間歇性故障（y軸）、時變故障（z軸）三種情況：

其他相關(guān)參數(shù)選取見表1。

表1 控制器仿真參數(shù)設(shè)置Tab.1 Controller simulation parameters setting

根據(jù)上述條件，仿真結(jié)果如圖3～圖5。

圖3 x 軸控制效果Fig.3 x-axis control effect

圖4 y 軸控制效果Fig.4 y-axis control effect

圖5 z 軸控制效果Fig.5 z-axis control effect

圖3～圖5 表示控制效果，從圖中可以看出，在存在系統(tǒng)模型誤差、外部干擾以及執(zhí)行器故障的等復(fù)雜太空環(huán)境下，使用本文提出的基于觀測器的容錯控制方法，可以快速使編隊恢復(fù)預(yù)設(shè)構(gòu)形，并在較短的時間內(nèi)使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，且構(gòu)形恢復(fù)過程較為平穩(wěn)，震蕩較小且?guī)缀鯖]有波動。

圖6 x 軸干擾估計Fig.6 x-axis disturbance estimation

圖7 y 軸干擾估計Fig.7 y-axis disturbance estimation

圖8 z 軸干擾估計Fig.8 z-axis disturbance estimation

圖6～圖8 表示干擾估計情況，從圖中可以看出，本文設(shè)計的干擾觀測器可以對外部攝動干擾進(jìn)行估計。

圖9 表示狀態(tài)估計情況，從圖中可以看出，狀態(tài)跟蹤誤差保持在較小范圍內(nèi)，能夠?qū)崿F(xiàn)對狀態(tài)的跟蹤。

圖9 狀態(tài)估計誤差Fig.9 State estimation error

圖10 y 軸間歇故障估計情況Fig.10 y-axis intermittent fault estimation

分別在x軸、y軸、z軸添加無故障模塊、間歇性故障模塊、時變故障模塊，圖10～圖11 分別表示故障觀測器對故障的估計情況，圖中表明，文獻(xiàn)［23］和本文提出的觀測器均可以對故障進(jìn)行估計，但相對文獻(xiàn)［23］提出的觀測器，本文提出的觀測器對故障估計更為精確，性能有明顯提高。

圖11 z 軸時變故障估計情況Fig.11 z-axis time varying fault estimation

圖12 表示系統(tǒng)存在模型誤差、外部干擾以及執(zhí)行器故障的情況下，以y軸控制效果為例，分別使用文獻(xiàn)［22］提出方法、文獻(xiàn)［23］提出方法以及本文提出方法，結(jié)合LQR 控制器，并加入前饋補(bǔ)償項，對系統(tǒng)進(jìn)行反饋容錯控制，仿真結(jié)果表現(xiàn)，在使用文獻(xiàn)［22］所提方法，即無干擾觀測器時，系統(tǒng)具有十分明顯的波動，難以達(dá)到穩(wěn)態(tài)，說明H∞技術(shù)無法抑制全部干擾；使用干擾觀測器情況下，控制效果得到改善，相比文獻(xiàn)［23］所提方法，由于本文提出的觀測器對模型誤差、故障和干擾進(jìn)行估計時，引入殘差微分模塊，并在容錯控制時加入前饋補(bǔ)償項，超調(diào)量明顯降低，控制器精度提高了49.93%，能夠滿足雙星編隊精確構(gòu)形保持控制目標(biāo)。

圖12 控制效果對比Fig.12 Control effect comparison

6 結(jié) 論

本文對雙星編隊執(zhí)行器故障估計的同時，考慮空間環(huán)境干擾的復(fù)雜性及軌道運(yùn)動建模誤差的影響，設(shè)計了一種可以綜合估計系統(tǒng)模型誤差、外部干擾以及執(zhí)行器故障的增廣觀測器系統(tǒng)。另外，引入了殘差微分模塊，提高估計速度和準(zhǔn)確度，采用了H∞方法，減小干擾中不可建模部分對控制系統(tǒng)的影響。最后，利用觀測器對系統(tǒng)未知狀態(tài)的估計信息，設(shè)計閉環(huán)反饋抗干擾容錯LQR 控制律，并使用Lyapunov 穩(wěn)定性理論證明了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，本文方法的控制精度提高了49.93%，證明了所提方法的有效性與優(yōu)越性。