王思儉

摘要：“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷第20題對(duì)學(xué)生的空間想象能力和符號(hào)抽象能力提出了較高的要求，尤其是考查了學(xué)生的探索性思維，包括類比轉(zhuǎn)化、抽象建模、整體思考、歸納猜想、演繹證明等。數(shù)學(xué)探索性思維是左右腦并用的，兼顧直觀與抽象、直覺與邏輯、歸納與演繹、類比與聯(lián)想等思維方式的。在數(shù)學(xué)教學(xué)（尤其是解題教學(xué)）中培養(yǎng)探索性思維，要特別注意：既關(guān)注證明，又關(guān)注猜想;既關(guān)注運(yùn)算，又關(guān)注思考;既關(guān)注動(dòng)腦，又關(guān)注動(dòng)手。

關(guān)鍵詞：八省聯(lián)考;數(shù)學(xué)卷;曲率問題;探索性思維

一、“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷第20題及其考情分析

由教育部考試中心統(tǒng)一命制，江蘇等八省市高三學(xué)生參加的2021年高考模擬演練的數(shù)學(xué)卷第20題如下：

北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)（如圖1）的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用?？坍嬁臻g的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容。用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫作多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和。例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是π3，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2π-3×π3=π，故其總曲率為4π。

（1）求四棱錐的總曲率;

（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2。證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)。

（一）試題分析

本題以北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的建設(shè)成就為實(shí)際應(yīng)用背景，引入大學(xué)微分幾何中的曲率概念，僅考查簡(jiǎn)單多面體的空間結(jié)構(gòu)（如頂點(diǎn)、棱、面之間的數(shù)量關(guān)系）和平面多邊形的內(nèi)角和，而不涉及常見的平行、垂直和空間向量等的論證與計(jì)算，頗有新意。

本題的第一問研究特殊情況，是鋪墊性問題，主要考查學(xué)生閱讀理解和遷移運(yùn)用的能力。第二問研究一般情況，有一定的難度，其常規(guī)解法如下：

設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F。多面體的總曲率=V×2π-多面體所有面角之和=V×2π-多面體所有面的內(nèi)角和。

仔細(xì)分析常規(guī)解法，不難發(fā)現(xiàn)，第二問除了考查學(xué)生閱讀理解和遷移運(yùn)用的能力，對(duì)學(xué)生的空間想象能力和符號(hào)抽象能力提出了較高的要求，尤其是考查了學(xué)生的探索性思維（沒有現(xiàn)成的公式、結(jié)論可以套用），包括類比轉(zhuǎn)化（如將所有面角之和轉(zhuǎn)化為所有面的內(nèi)角和、將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形）、抽象建模（一般化表示頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)以及各個(gè)面的邊數(shù)）、整體思考（建立有關(guān)量的關(guān)系，如所有面的內(nèi)角和與面數(shù)、各個(gè)面的邊數(shù)的關(guān)系，總邊數(shù)與棱數(shù)的關(guān)系）、歸納猜想（從特殊到一般）、演繹證明（代入消元、計(jì)算化簡(jiǎn)）等，可見其構(gòu)思精巧。

（二）考情分析

此題江蘇全省均分大約1分，而我校在沒有講評(píng)的前提下，限時(shí)15分鐘，讓學(xué)生再做一次，結(jié)果均分也只有2.56分。

分析錯(cuò)因，可以發(fā)現(xiàn)：（1）部分學(xué)生沒有讀懂新定義的“曲率”和“總曲率”，沒有建立總曲率與各頂點(diǎn)的面角之和總和，即多面體的所有面角之和的關(guān)系;（2）部分學(xué)生缺乏轉(zhuǎn)化能力（也可能缺乏整體思維），沒有理清所有面角之和與所有面的內(nèi)角和的關(guān)系;（3）部分學(xué)生缺乏符號(hào)抽象能力（也可能缺乏空間想象能力），只研究了棱錐和棱柱這兩類符合題意的特殊多面體的總曲率，或者不能適當(dāng)?shù)乇硎居嘘P(guān)的量;（4）部分學(xué)生缺乏整體思維（糾纏于局部），或缺乏由特殊到一般的思維（不能繼續(xù)利用特殊多面體展開探索），不能建立所有面的內(nèi)角和與面數(shù)、各個(gè)面的邊數(shù)的關(guān)系，或不能建立總邊數(shù)與棱數(shù)的關(guān)系;（5）部分學(xué)生推理和運(yùn)算能力不過關(guān)。歸根結(jié)底，主要還是探索性思維能力不足。

二、教學(xué)啟示

教育部考試中心研制的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》強(qiáng)調(diào)：“高考命題，應(yīng)有一定數(shù)量的探究性問題，適度增加試題的思維量，考查思維方法。”上述試題跳出了常見的知識(shí)考點(diǎn)，充分體現(xiàn)了對(duì)探索性思維的考查。

徐利治先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)探索性思維是左右腦并用的，兼顧直觀與抽象、直覺與邏輯、歸納與演繹、類比與聯(lián)想等思維方式的。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)（尤其是解題教學(xué)）中培養(yǎng)探索性思維，要特別注意以下幾點(diǎn)：

（一）既關(guān)注證明，又關(guān)注猜想

左右腦并用的數(shù)學(xué)探索性思維，往往集中表現(xiàn)為猜想與證明的有機(jī)統(tǒng)一。在解題教學(xué)中，教師不能就題論題，而要引導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)散、歸納推廣，猜想更多的結(jié)論，并嘗試給出證明，從而既調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，又培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、批判性。

【案例1】 一道數(shù)列題的教學(xué)片段

（教師出示例1，學(xué)生嘗試解決。）

師很好！用斜率解題時(shí)一定要考慮斜率不存在的情況。思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，通性通法，過程嚴(yán)謹(jǐn)。由此可以看出，選擇不同的直線方程會(huì)產(chǎn)生不同的運(yùn)算量。在解題過程中，要學(xué)會(huì)回顧總結(jié)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，才能提高解題能力。

（三）既關(guān)注動(dòng)腦，又關(guān)注動(dòng)手

通常認(rèn)為，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，是符號(hào)化（抽象）的形式科學(xué)。但實(shí)際上，數(shù)學(xué)同時(shí)具有科學(xué)的實(shí)驗(yàn)（觀察、操作）特征，也是體驗(yàn)化（具象）的內(nèi)容科學(xué)。從關(guān)注單純的動(dòng)腦到關(guān)注綜合的動(dòng)腦與動(dòng)手（包括運(yùn)用其他感官），也是探索性思維的重要特征之一。因此，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)腦思考，還要讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，探索解決問題的思路，同時(shí)也能提升操作能力和想象能力。

【案例3】 一道立體幾何題的教學(xué)片段

（教師出示例3。）

例3（1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖3、圖4），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方案，分別用虛線標(biāo)示在圖3、圖4中，并做簡(jiǎn)要說明;

（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小;

（3）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖5），要求剪拼成一個(gè)直三棱柱模型，使它的全面積與原三角形的面積相等。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方案，用虛線標(biāo)示在圖5中，并做簡(jiǎn)要說明。

師怎樣由正三角形剪拼成正三棱錐？

生正三棱錐的底面是正三角形，三個(gè)側(cè)面是全等的三角形，因此，要剪出一個(gè)正三角形和三個(gè)全等的三角形。

師你是怎樣剪的？

生沿著某一個(gè)角剪出一個(gè)正三角形;將余下的圖形，剪成三個(gè)全等的三角形即可，需要嘗試。

師那么，這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是多少？側(cè)面三角形的邊長(zhǎng)與它有什么關(guān)系？你考慮了嗎？

（該生思考。另一位學(xué)生回答——）

生（出示圖6）由于側(cè)面三角形的一條邊就是底面正三角形的邊，折疊起來后有的邊要重合為側(cè)棱，因此，取三邊中點(diǎn)連線，這樣就分割成四個(gè)全等的正三角形，沿虛線折起就構(gòu)成正三棱錐——實(shí)際上是正四面體。

師很好！其實(shí)正四面體沿側(cè)棱剪開鋪平就是正三角形，這就是三維圖形與二維圖形的互相轉(zhuǎn)化，即降維與升維。再來看怎樣由正三角形剪拼成正三棱柱。

生根據(jù)正三棱柱的特點(diǎn)，需要兩個(gè)正三角形作為底面，類似正三棱錐的剪拼方法，我考慮從正中間剪出一個(gè)正三角形。根據(jù)正三棱柱的特點(diǎn)，側(cè)棱與底面垂直，我考慮從底面正三角形的邊出發(fā)，剪出三個(gè)矩形。剩余的，我想辦法再拼成一個(gè)正三角形。

師想法很好！其實(shí)，考慮三個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)稱性和數(shù)學(xué)美，也應(yīng)該先從正中間剪出一個(gè)正三角形。那么，怎么操作呢？

（學(xué)生思考。教師組織全班拿出三角形紙片，動(dòng)手操作。）

生（出示圖7）取正三角形的中心，分別與三個(gè)頂點(diǎn)連線;取三條連線的中點(diǎn)再連線，得到一個(gè)正三角形，作為一個(gè)底面;從三條連線的中點(diǎn)分別向各邊作垂線，得到三個(gè)全等的矩形，作為三個(gè)側(cè)面;剩下三個(gè)全等的箏形可以拼成一個(gè)正三角形，它與前面的正三角形全等。

師很好！動(dòng)手操作給了我們啟發(fā)。請(qǐng)思考一個(gè)問題：一定要取正三角形的中心嗎？取正三角形內(nèi)的其他點(diǎn)可以嗎？

生不可以。其他點(diǎn)的話，從三條連線的中點(diǎn)分別向各邊作垂線得到的三個(gè)矩形不全等，寬不一樣。

師為什么寬不一樣？怎么才能使寬一樣。

生三條連線必須是三個(gè)內(nèi)角的平分線。

師很好！利用角平分線的性質(zhì)，才能剪出三個(gè)一樣寬的矩形。因此，實(shí)際上取的是正三角形的內(nèi)心。當(dāng)然，正三角形的中心是內(nèi)心、外心、重心、垂心的“四心合一”。但是，取內(nèi)心才具有一般性（可遷移性），而取中心不具有一般性。還有其他剪拼方法嗎？

生（出示圖8）從兩個(gè)角剪出兩個(gè)全等的正三角形，作為正三棱柱的兩個(gè)底面;將剩下的平行四邊形剪成三個(gè)全等的小平行四邊形，再將每個(gè)小平行四邊形剪拼成矩形，作為正三棱柱的三個(gè)側(cè)面。

師很有創(chuàng)意，有很強(qiáng)的思維靈活性和直觀想象力。現(xiàn)在可以討論第三問了。

生（出示圖9）類似正三棱柱的剪拼方法，可取三角形的內(nèi)心，分別與三個(gè)頂點(diǎn)連線;取三條連線的中點(diǎn)再連線，得到一個(gè)三角形，作為一個(gè)底面;從三條連線的中點(diǎn)分別向各邊作垂線，得到三個(gè)等寬的矩形，作為三個(gè)側(cè)面;剩下三個(gè)箏形可以拼成一個(gè)三角形，它與前面的三角形全等。

師很好！這里完全可以類比遷移之前正三角形中的剪拼方法?？梢?，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中，既要?jiǎng)幽X思考，又要?jiǎng)邮植僮鳌?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1] 教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2] 徐利治，王前.數(shù)學(xué)與思維（珍藏版）[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2016.

[3] 涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理的構(gòu)建——教學(xué)生學(xué)會(huì)思考[M].北京：科學(xué)出版社，2018.