曾羽群

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門(mén) 361021)

0 引言

21世紀(jì)以來(lái)，發(fā)展的p(x)-Laplace方程

(1)

引起許多偏微分方程研究者的興趣。從形式上看，方程(1)不僅是傳統(tǒng)的發(fā)展p-Laplace方程的推廣，該方程還有著自身的物理應(yīng)用背景，比如它來(lái)自于21世紀(jì)新興的電磁變流體理論[1-2]、非標(biāo)準(zhǔn)的圖像處理[3-4]等。其中：Ω?RN是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域；p(x)是一個(gè)可測(cè)函數(shù)。如果a(x,t)=1,方程(1)的初邊值問(wèn)題解的存在唯一性問(wèn)題、正則性問(wèn)題、大時(shí)間漸近行為和爆破問(wèn)題等已經(jīng)被廣泛研究[5-7]。如果a(x,t)=d(x)α,其中d=dist(x,?Ω)是距離函數(shù)，文獻(xiàn)[8-11]研究了方程

(2)

解的存在唯一性，文獻(xiàn)[12]研究了解的內(nèi)部正則性。如果f(x,u,t)=0,并假設(shè)a(x,t)=a(x)滿足

(3)

文獻(xiàn)[13-14]研究了解的存在性和穩(wěn)定性。實(shí)際上，如果a(x,t)|x∈?Ω=0,并假設(shè)方程(1)有解u∈L1(0,T;Wp(x)(Ω)),那么對(duì)于方程(1)的兩個(gè)解u(x,t)、v(x,t),只要

|f(u,x,t)-f(v,x,t)|≤c|u-v|。

(4)

由于a(x,t)在邊界?Ω的退化性，可以不用Dirichlet邊界條件

u(x,t)=v(x,t)=0,(x,t)∈?Ω×(0,T),

(5)

就可以證明

(6)

本文將借鑒文獻(xiàn)[13-15]的方法，研究方程(1)具有如下初邊值條件

u|t=0=u0(x),x∈Ω,

(7)

u(x,t)=0,(x,t)∈Σ1,

(8)

解的存在唯一性。與文獻(xiàn)[13-15]的主要不同在于，本文需要部分邊界條件(8),其中Σ1??Ω×(0,T)僅僅是一個(gè)子流形。

1 基本函數(shù)空間及其弱解的定義

。

ps(x)=p(x)s(x)/(1+s(x)),

定義1 若函數(shù)u(x,t)滿足

u∈L∞(QT),ut∈L2(QT),u∈L∞(0,T;W1,p(x)(a,Ω))，

(9)

(10)

則稱函數(shù)u(x,t)為方程(1)的弱解。其中初值條件(7)在如下意義下成立

(11)

部分邊界條件(8)是在跡的意義下成立。

文中，假設(shè)a(x,t)≥0且對(duì)于任意固定的t∈[0,T),

a(x,t)> 0,x∈Ω。

(12)

定理1 設(shè)對(duì)于任意固定的t∈[0,T)、a(x,t)滿足式(12)、at(x,t)≤0及條件(w1)(w2),

(13)

f(u,x,t)是連續(xù)函數(shù)且滿足式(4),那么方程(1)有一解u(x,t)滿足初值條件(7)。并且當(dāng)

(14)

u(x,t)在跡的意義下滿足部分邊界條件(8)。

定理2 設(shè)a(x,t)滿足式(12)及條件(w1)(w2),同時(shí)對(duì)于充分大的n,

(15)

其中，對(duì)任意t∈[0,T)，Ωt/n={x∈Ω:a(x,t)>1/n}，若u(x,t)、v(x,t)是方程(1)的弱解，具有不同的初值u0(x)、v0(x),并具有相同的部分邊界條件

u(x,t)=v(x,t)=0,(x,t)∈Σ1,

(16)

則有

在茅臺(tái)成立之初，由于茅臺(tái)酒釀造工藝非常獨(dú)特，對(duì)釀造環(huán)境的要求非常苛刻，茅臺(tái)酒不能實(shí)現(xiàn)大規(guī)模快速生產(chǎn)。這樣的處境，成為了當(dāng)時(shí)橫亙?cè)诩毙钄U(kuò)大生產(chǎn)的茅臺(tái)面前一道難以逾越的鴻溝。“一定要?jiǎng)?chuàng)新技術(shù)”這條堅(jiān)定的信念在所有茅臺(tái)人心中留下了烙印，茅臺(tái)也自那時(shí)起開(kāi)始了真正意義上的規(guī)模建設(shè)。經(jīng)由茅臺(tái)人的不懈努力，茅臺(tái)酒的產(chǎn)量從1978年的1068噸發(fā)展到2003年的1萬(wàn)噸，實(shí)現(xiàn)了茅臺(tái)酒年產(chǎn)萬(wàn)噸的夢(mèng)想。茅臺(tái)酒萬(wàn)噸夢(mèng)圓，完成了老一輩革命家的夙愿，這是茅臺(tái)發(fā)展的歷史豐碑，也為茅臺(tái)進(jìn)一步的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。除此之外，在“十二五”期間，茅臺(tái)還進(jìn)行了一次全方位的廠地?cái)U(kuò)建，使得茅臺(tái)酒廠成為世界上生產(chǎn)規(guī)模最大的釀酒企業(yè)。

(17)

其中Σ1={(x,t)∈?Ω×(0,T):a(x,t)>0}。

穩(wěn)定性(17)隱含解的唯一性成立，只不過(guò)需要條件(15)，如果沒(méi)有這一條件，那么解的唯一性還需要將來(lái)另外論證。

2 定理1和定理2的證明

2.1 定理1的證明

本節(jié)用拋物正則化證明定理1。

考慮正則化問(wèn)題

(18)

具初邊值條件

u(x,0)=u0ε(x),x∈Ω,

(19)

u(x,t)=0,(x,t)∈?Ω×(0,T)。

(20)

(21)

在方程(18)的兩邊同乘以u(píng)ε，有

(22)

(23)

特別地，

(24)

同時(shí)，在方程(18)的兩邊同乘以u(píng)εt，對(duì)任意的t∈[0,T),在Qt=Ω×(0,t)上積分，有

(25)

(26)

由式(21)，應(yīng)用Young不等式，有

(27)

(28)

特別地，當(dāng)a(x,t)=a(x),式(28)的證明可見(jiàn)文獻(xiàn)[22]。盡管本文考慮的是a(x,t)的情況，但完全可以類(lèi)似證明，故在此不再重復(fù)其證明。

2.2 定理2的證明

設(shè)u(x,t)、v(x,t)為方程(1)的弱解，具有不同的初值條件u(x,0)、v(x,0)，具有相同的部分邊界條件(16),其中，Σ1={(x,t)∈?Ω×(0,T):a(x,t)>0}。

任意固定的t∈[0,T),定義

由于u(x,t)、v(x,t)∈L∞(0,T;W1,p(x)(a,Ω))，故gn(u-v)∈L∞(0,T;W1,p(x)(a,Ω))。因?yàn)閡(x,t)、v(x,t)具有相同的部分邊界條件(16)，在邊界?Ω上，當(dāng)a(x,t)> 0時(shí)，u(x,t)=v(x,t)=0，通過(guò)一個(gè)極限過(guò)程,可以選取φntgn(u-v)作為檢驗(yàn)函數(shù)，于是，

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(30)

(31)

同時(shí)又有：

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