余明輝，葛先輝

上海大學(xué) 理學(xué)院物理系，上海 200444

1 黑洞信息的疑難

黑洞無毛定理[1]是指所有掉入黑洞的物質(zhì)其所有信息都將失去，從而無法得知黑洞內(nèi)部狀態(tài)。外部觀測者只能知道黑洞的總質(zhì)量、總電荷和總角動量。雖然外部觀測者無法得知黑洞的內(nèi)部信息，但這些信息并未消失，只是被“封鎖”在黑洞內(nèi)部“看不見”而已。然而，霍金輻射[2]理論可推導(dǎo)出黑洞會通過熱輻射蒸發(fā)。由于純粹熱輻射帶不走任何的信息，但在黑洞輻射的最后，所有的內(nèi)部信息將徹底消失——黑洞信息佯謬。顯然，這一結(jié)果不僅會破壞物理學(xué)中許多重要定律，如重子數(shù)守恒、輕子數(shù)守恒等，而且會給目前以量子力學(xué)的基本原理——幺正性與幾率守恒為基礎(chǔ)所取得的所有重要成果帶來災(zāi)難。因此，黑洞信息丟失問題這一物理學(xué)危機，成為廣義相對論與量子引力這兩大物理理論碰撞的焦點。

1997年，霍金(Stephen Hawking)和另一位相對論專家索恩(Kip Thorne)就曾與粒子物理學(xué)家普瑞斯基(John Preskill)打賭(圖1)：霍金與索恩認(rèn)為黑洞發(fā)出的輻射過于雜亂無章，以至于即使理論上也無法檢測到任何關(guān)于黑洞的有用信息；普瑞斯基的觀點則是，即便物理學(xué)家可能需要一套完整的量子引力理論來完美解釋其背后的機制，但信息仍會以某種方式逃離黑洞。

圖1 從左至右依次為普瑞斯基、索恩和霍金(圖來自百度網(wǎng)站)

2004年7月，霍金突然宣布他輸了，理由是：根據(jù)黑洞互補理論[3]，對于黑洞內(nèi)外兩個觀測者分別而言，穿過黑洞事件視界的信息既反射出來又進入內(nèi)部，永不逃逸(因為沒有人可以同時觀察到兩種情況，所以并不會產(chǎn)生矛盾)?；艚鹪纲€服輸，以一本百科全書作為賭注贈給了普瑞斯基，但索恩卻拒絕認(rèn)輸，為故事后來的發(fā)展埋下伏筆。在近期的研究中，這個問題終于迎來突破性進展。理論物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，黑洞內(nèi)部的信息的確從黑洞中完全逃逸出來，并沒有任何信息的丟失。為表彰對這一系列研究作出重要貢獻(xiàn)的幾位杰出物理學(xué)家，2021年的新視野物理學(xué)獎頒發(fā)給了阿姆黑利(Ahmed Almheiri)、馬克斯菲爾德(Henry Maxfield)、恩格哈爾特(Netta Engelhardt)和彭寧頓(Geoff Penington)，以表彰他們對黑洞及其輻射量子信息內(nèi)容計算所作出的貢獻(xiàn)。雖然對于解決方法的細(xì)節(jié)還存在諸多爭議，但相信這個問題即將迎來終結(jié)。本文將以黑洞信息佯謬的提出為起點，以時間順序來介紹此工作的歷史背景與相關(guān)進展。

2 黑洞的歷史

愛因斯坦于1905年創(chuàng)建了狹義相對論，1915年又在狹義相對論的基礎(chǔ)上創(chuàng)建了廣義相對論。廣義相對論是物質(zhì)世界的時空理論和在時空中物質(zhì)運動的普遍理論?；趷垡蛩固箓ゴ笄腋挥姓軐W(xué)的思想，其將萬有引力解釋為時空的彎曲，認(rèn)為萬有引力區(qū)別于其他力是一種幾何效應(yīng)。廣義相對論的核心是愛因斯坦場方程：

場方程的第一個精確解是史瓦西(Schwarzschild)1916年給出的靜態(tài)球?qū)ΨQ真空解[4]。它描述了真空中球?qū)ΨQ黑洞的情況，此后將該解稱為史瓦西黑洞解。得到的時空線元為：

圖2 黑洞事件視界和奇點簡圖(圖來自Google 網(wǎng)站)

3 霍金輻射的發(fā)現(xiàn)

黑洞熱力學(xué)的發(fā)現(xiàn)使20世紀(jì)70年代成為黑洞研究的黃金期。類比熱力學(xué)的四大定律，黑洞也存在與之對應(yīng)的四大定律，稱為黑洞力學(xué)四大定律。熱力學(xué)定律中最特殊的屬熱力學(xué)第二定律[9]，因為它是熱力學(xué)中唯一標(biāo)明了時間箭頭的物理定律，即一個孤立系統(tǒng)的熵永不隨時間而減少。黑洞力學(xué)第二定律由霍金于1971年在宇宙監(jiān)督假設(shè)[10]和強能量條件成立前提下證明得出：黑洞的事件視界面積在順時方向永不減少。這一定律也被稱為黑洞面積定律[11]。我們不妨類比聯(lián)想，黑洞似乎是具有溫度和熵的存在，這一猜想最先是貝肯斯坦(Jacob Bekenstein)在1972年提出的[12]。他認(rèn)為黑洞有熵且正比于黑洞事件視界面積。這一猜想?yún)s一直遭到相關(guān)同行強烈的反對，因為若黑洞真的是一個熱力學(xué)系統(tǒng)具有溫度與熵，那么它應(yīng)該具有熱輻射，但在當(dāng)時黑洞被認(rèn)為是一個“只進不出”的物體，任何物質(zhì)掉入黑洞將無法逃逸出來，不可能會有熱輻射。

1973年，霍金對黑洞的研究有了突破進展，他在彎曲時空中引入量子場論，嚴(yán)格證明了黑洞存在熱輻射[2]，黑洞確實具有溫度，黑洞表面積就是黑洞的熵。區(qū)別于經(jīng)典物理中的真空就是空無一物的狀態(tài)，量子物理中的真空到處都存在著量子漲落，不斷產(chǎn)生具有正負(fù)能量的正反虛粒子對，隨后很快就湮滅恢復(fù)為真空狀態(tài)。根據(jù)量子力學(xué)不確定性原理可以計算出虛粒子對產(chǎn)生和湮滅的時間極為短暫。虛粒子對不斷地產(chǎn)生與湮滅，一個粒子和它的反粒子會分開一短暫的時間。由于黑洞事件視界附近的引力場非常強，于是有四種可能：①正反粒子均落入黑洞內(nèi)部；②正反粒子在黑洞外部重新相遇并湮滅為光子；③正能量粒子落入黑洞內(nèi)部，負(fù)能量粒子飛向遠(yuǎn)方出現(xiàn)在黑洞外部；④負(fù)能量粒子落入黑洞內(nèi)部，正能量粒子出現(xiàn)在黑洞外部(圖3)。①②與黑洞熱輻射產(chǎn)生無關(guān)，正是③④導(dǎo)致黑洞熱輻射的產(chǎn)生?；艚鹩嬎懔烁鞣N情況出現(xiàn)的概率，發(fā)現(xiàn)④最為常見。由此推論，黑洞有選擇地俘獲負(fù)能量粒子，導(dǎo)致一種不對稱、可觀測效應(yīng)產(chǎn)生，即黑洞自發(fā)損失能量，也就是損失了質(zhì)量。這一現(xiàn)象對于無窮遠(yuǎn)觀測者來看，黑洞輻射出粒子，即黑洞在蒸發(fā)。

圖3 黑洞附近的真空漲落(圖來自Google 網(wǎng)站)

1976年，霍金在文章中仔細(xì)討論了黑洞蒸發(fā)所引起的問題[13]。黑洞的量子理論導(dǎo)致一種新的不可預(yù)測性。根據(jù)量子力學(xué)基本原理，假設(shè)黑洞形成之初是純量子態(tài)的，由于黑洞輻射是完全的黑體輻射，除了溫度沒有其他任何信息。在黑洞蒸發(fā)殆盡后，描述系統(tǒng)狀態(tài)的信息在黑洞中丟失，因此最終態(tài)不是純態(tài)而是一個混合態(tài)。這一關(guān)于黑洞信息是否丟失的問題就是著名的“黑洞信息佯謬”[14]。

該文章發(fā)表后，許多物理學(xué)家對此問題表現(xiàn)出極大的分歧并提出各自的解決方法，主流觀點有三種：①信息丟失，同霍金觀點一致，黑洞全部轉(zhuǎn)化為熱輻射，組成黑洞的所有信息隨著黑洞蒸發(fā)永遠(yuǎn)地消失了；②信息守恒，在黑洞的霍金輻射過程中，黑洞初態(tài)的信息被釋放出來并在末態(tài)回到純態(tài)，整個物理過程中信息是守恒的，這與當(dāng)時研究量子引力的物理學(xué)家包括從事粒子物理進入這一領(lǐng)域的物理學(xué)家的觀點一致；③信息殘留，落入黑洞的信息一部分被霍金輻射帶出，另一部分可能在黑洞蒸發(fā)的最后作為“殘留物”保留下來，或者說黑洞蒸發(fā)到一定程度就不再繼續(xù)蒸發(fā)，存在某種機制限制這一過程?？傊?，對于這一問題的相關(guān)研究仍在繼續(xù)進行。

4 關(guān)鍵的佩奇曲線

在霍金提出黑洞信息問題之后的20多年中，物理學(xué)家一直找不到問題的解決方案。與這些物理學(xué)家一樣，霍金曾經(jīng)的研究生佩奇(Don Page)也在考慮這個問題，但他與導(dǎo)師當(dāng)時的想法完全相反。佩奇認(rèn)為信息是能夠從黑洞的蒸發(fā)中釋放出來的，但這一過程如何實現(xiàn)呢？他認(rèn)為物理學(xué)家忽略了一個重要效應(yīng)——量子糾纏。雖然霍金輻射本身是不攜帶任何信息的，但一旦考慮整個系統(tǒng)，即輻射出的粒子與掉入黑洞內(nèi)的粒子相互糾纏，就如同用密碼加密數(shù)據(jù)一樣，輻射出的粒子可以攜帶信息從黑洞中逃逸出來。

1993年，佩奇預(yù)測了黑洞與輻射之間的總糾纏量，即糾纏熵，并畫出“佩奇曲線”[15]。該曲線呈一個倒“V”形，表明在黑洞蒸發(fā)開始階段，由于還未發(fā)射任何輻射，糾纏熵為零。蒸發(fā)初期，隨著輻射糾纏熵開始逐漸增加，這符合霍金的預(yù)計。然而若黑洞輻射最后保留了信息，那么糾纏熵會再次變?yōu)榱?，因為此時不存在黑洞。整個過程一定存在某一個時刻，經(jīng)過該時刻之后糾纏熵逐漸下降至零，稱該時刻為“佩奇時間”(圖4)。佩奇為黑洞信息問題的解決開辟了道路，他確信如果信息能夠從黑洞中釋放，那么通過計算會發(fā)現(xiàn)糾纏熵遵循佩奇曲線。

圖4 佩奇曲線(藍(lán)線為黑洞熱力學(xué)的熵；紅線為霍金計算的熵；黑線為佩奇得出的熵。圖來自quantamagazine網(wǎng)站)

問題變得更嚴(yán)重了！物理學(xué)家一直認(rèn)為，只有在微觀尺度下量子引力理論才起作用，但從佩奇的觀點來看，處于佩奇時間的黑洞雖然蒸發(fā)了一部分，卻依然與量子尺度相差巨大。佩奇的分析使得信息問題變成一個悖論，它暴露了半經(jīng)典近似中的一個矛盾。

從某種方面來看，佩奇為物理學(xué)家指明了方向——只要計算糾纏熵并繪制出糾纏熵隨時間演化的曲線。若曲線遵循佩奇曲線，則說明信息守恒粒子物理學(xué)家獲得勝利；否則說明信息將會丟失，相對論主義者將會在教會中分享勝利果實。

5 巧妙而強大的工具

1994年，美國理論物理學(xué)家、弦理論的創(chuàng)始人之一蘇士侃(Leonard Susskind)，基于貝肯斯塔關(guān)于熵的深刻見解(第2節(jié)提到黑洞熵正比于事件視界面積)結(jié)合其他物理學(xué)家的想法，提出全息原理[16]。他猜測量子力學(xué)與引力的結(jié)合要求：在一個d維空間中，如全息投影一樣，可以將所有量子態(tài)信息等價編寫于一個（d-1）維的全息面上。如此大膽的想法給予物理學(xué)無限可能。讓我們來聯(lián)想一下黑洞：如果黑洞是一個量子態(tài)，那么根據(jù)全息原理它可以將所有的信息都投影在低一個維度的面上，即黑洞表面，亦事件視界。那么物理學(xué)家只需要研究事件視界面上的信息就能得知黑洞的信息。當(dāng)然，這僅僅是一個猜想。

時間來到1997年，年僅29歲的物理學(xué)家馬達(dá)爾西納(Juan Maldacena)帶著他的AdS/CFT對偶[17]叩響了量子引力的大門。他發(fā)現(xiàn)在一種特定情況下，種種證據(jù)表明：一個存在引力的五維時空完全等價于其邊界上無引力的四維時空。經(jīng)過深入研究之后，他又進一步推廣為：一個(d+1)維AdS時空的量子引力理論和一個定義在這個AdS時空邊界的共性場論對偶，即AdSd+1/CFTd對偶。左邊的AdS代表一個曲率為負(fù)的時空，即反德西特時空(anti-de Sitter)，右邊的CFT代表等價的時空的共形場理論(conformal field theory)，也就是具有共形對稱性的量子場論；右下角字母分別代表時空相應(yīng)維度(圖5)。

圖5 AdS/CFT示意圖(圖來自Google 網(wǎng)站)

AdS/CFT對偶與全息原理結(jié)合得天衣無縫，對偶意味著完全等價，即一個物理系統(tǒng)可以有兩種完全等價的描述方法，雖然兩種描述方法看起來好像很不一樣。當(dāng)我們在一種方法研究上舉步維艱時，完全可以在另一種方法研究上游刃有余！因此，它成為物理學(xué)家用于高能物理、量子引力、凝聚態(tài)、核物理等方面的一種全新工具。

6 簡單卻神奇的方法

將對偶的兩個方面聯(lián)系起來的關(guān)鍵是物理學(xué)家提出的量子極值表面。2006年，日本物理學(xué)家笠真生(Shinsei Ryu)和高柳匡(Tadashi Takayanagi)給出全息糾纏熵假設(shè)[18-19]。根據(jù)AdS/CFT對偶的觀點，對于一個對偶于AdS時空的邊界A中的量子場論，理論上可以通過引力計算得到A邊界面與其子區(qū)域B之間的糾纏熵。他們猜想邊界量子場論中的AB兩區(qū)域之間量子糾纏熵等價于高一維的AdS時空中極小曲面的面積(圖6)，表達(dá)式為：

其中A代表AdS時空中一個面的面積，G是引力常數(shù)，min表示所有以B區(qū)域為邊界面中最小面積的面。這個特殊的面稱為極小面，公式(3)也被稱為RT公式。

這個神奇的猜想不僅能夠作為一個漂亮、簡單的方法計算具有很強耦合的場論的糾纏熵，而且能夠有更多的預(yù)言。經(jīng)過簡單的分析發(fā)現(xiàn)，由于G值非常小(10-11數(shù)量級)，得出的量子糾纏熵是一個非常大的量。從之后的許多檢驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，RT公式只是給出零級近似的情況而忽略了一階之后的修正。若遵從完整的量子力學(xué)理論，RT公式只是基于時空幾何的一個經(jīng)典理論，未考慮量子理論帶來的修正。這又激發(fā)起了后續(xù)的廣泛研究。

2015年，恩格哈爾特(Netta Engelhardt)等人[20]考慮量子修正以及經(jīng)過量子修正后的糾纏熵(稱之為廣義熵)對極小面影響的兩個因素，得出了廣義熵半經(jīng)典表達(dá)式：

此時的面積不再是極小值的面積，而是廣義熵取極小值的面的面積，這個特殊面稱為“量子極值面”。式(4)右邊第一項仍然代表面積；第二項是量子效應(yīng)引起的修正，代表極值面包圍區(qū)域內(nèi)所有量子場所產(chǎn)生的馮·諾依曼熵；ext表示尋找所有的極值面且{∑}這些面的廣義熵均達(dá)到極值；min表示在所有極值面{∑}中，廣義熵極小的那個面。

圖6RT糾纏熵示意圖，邊界上陰影區(qū)域B的糾纏熵等價于高一維AdS時空中以B為邊界的極小曲面面積(圖來自Google 網(wǎng)站)

至此，有了工具和方法，物理學(xué)家已經(jīng)嚴(yán)陣以待，準(zhǔn)備對如何計算黑洞蒸發(fā)過程的糾纏熵問題發(fā)起攻擊。

7 蒸發(fā)黑洞的模型

這項工作開始于2018年10月，當(dāng)時高級研究所的阿姆黑利(Ahmed Almheiri)正在想如何制定黑洞蒸發(fā)的裝置。他考慮一個在AdS時空中蒸發(fā)的黑洞，因為對偶這個過程可以完全等價地在邊界CFT中描述，而CFT是基于量子力學(xué)的，根據(jù)量子力學(xué)原理的幺正性，自然得出結(jié)果：邊界的確保留了信息，黑洞也必須如此。到目前為止，至少可以實現(xiàn)在AdS時空中檢測一個蒸發(fā)的黑洞的熵是否遵循佩奇曲線，但是問題沒這么簡單。雖然理論是正確的，但實際的實驗環(huán)境與我們現(xiàn)實生活的時空或漸進平直的時空不同。在AdS時空中黑洞實際上不會蒸發(fā)，因為這個時空的邊界猶如一道無形的屏障，輻射像高壓鍋中的蒸汽一樣充滿狹小的整個空間，無論黑洞發(fā)射什么，最終都將被吸收回來，系統(tǒng)最終達(dá)到一個穩(wěn)態(tài)(圖7)。

圖7 兩種時空對比：左圖為漸進平直時空，無邊界；右圖為AdS時空俯視圖，曲率為負(fù)，存在邊界(圖來自quantamagazine網(wǎng)站)

因此，AdS時空中的黑洞經(jīng)過足夠長的時間會趨于穩(wěn)定，形成一個穩(wěn)態(tài)，且達(dá)到熱平衡，維持著不變的溫度。解決這一問題的方法也很簡單，阿姆黑利接受了同事的建議，在邊界上放置一個等效的蒸汽閥用以排除輻射并防止輻射回落[21]。問題解決后，啟動裝置，黑洞開始輻射，研究人員同時觀察空間發(fā)生了什么。

他們發(fā)現(xiàn)在黑洞蒸發(fā)的初期，邊界的糾纏熵上升，由于黑洞是整個空間中唯一的物體，故推測出其糾纏熵也在上升。到目前為止結(jié)果還是與霍金原始計算符合得不錯。隨后某一時間，量子極值面突然出現(xiàn)在黑洞事件視界內(nèi)，它成為熵變化的主導(dǎo)因素，熵開始下降！這也是所有計算中首次出現(xiàn)的[22]。

糾纏熵隨時間演化的曲線確實遵循佩奇曲線?，F(xiàn)在研究人員能夠確認(rèn)黑洞釋放了信息，它以量子糾纏成為可能的高度加密形式輸出。

8 孤島的浮現(xiàn)

2019年8月，阿姆黑利和同事將注意力轉(zhuǎn)向了剩余的最后一個問題——怎樣計算黑洞輻射的糾纏熵[23]。

研究人員通過量子極值面的方法可以算出一個正在蒸發(fā)的黑洞的廣義熵，它來自于黑洞事件視界外的量子場，而考慮霍金輻射的時候，輻射熵是來自于內(nèi)部。在蒸發(fā)過一段時間后，量子極值面突然出現(xiàn)，黑洞內(nèi)部被劃成了兩處區(qū)域，一處是具有輻射的區(qū)域1，另一處位于黑洞內(nèi)部的區(qū)域2，處于區(qū)域2中的粒子被量子極值面隔離，它們不再屬于黑洞的一部分，因此也不再對糾纏熵有貢獻(xiàn)。區(qū)域2與輻射區(qū)域完全隔離，猶如茫茫大海中的一座孤島，因此稱區(qū)域2為“島”(圖8)[24]。

圖8 量子極值面的出現(xiàn)使得黑洞內(nèi)部被劃分成了兩個區(qū)域，而且具有輻射的區(qū)域1與內(nèi)部區(qū)域2隔離，區(qū)域2稱為“島”(圖來自quantamagazine網(wǎng)站)

“島”的效應(yīng)導(dǎo)致霍金輻射的糾纏熵降低。仿照量子極值面方法中給出的廣義熵公式，更進一步，研究人員給出了輻射熵表達(dá)式[25]：

類似于式(4)，等式右邊第一項代表面積，第二項代表量子場所產(chǎn)生的馮·諾依曼熵。值得注意的是，量子修正中不僅僅考慮了輻射所帶來的影響(輻射用字母R表示)，還考慮了“島”的貢獻(xiàn)(用字母I表示)，島的邊界(用?I表示)就是量子極值面，出現(xiàn)在第一項中[26-29]。利用新的公式，研究人員計算得出黑洞發(fā)出的輻射熵也同樣遵循佩奇曲線。綜上，黑洞蒸發(fā)的全過程以及其糾纏熵隨時間的變化可用圖9描述。

圖9 黑洞蒸發(fā)過程中糾纏熵隨時間演化的曲線完全遵循佩奇曲線(圖來自quantamagazine網(wǎng)站)

9 佯謬的結(jié)論與展望

經(jīng)過一系列的工作，黑洞信息佯謬可能不再稱為佯謬，物理學(xué)家終于完成了對佩奇曲線的重現(xiàn)！標(biāo)志著困擾了物理學(xué)界近50年的問題迎來終結(jié)：在黑洞蒸發(fā)的過程中，確實釋放了信息，沒有任何的信息丟失。量子引力理論又邁前了一步！但同時又伴隨著更多問題的產(chǎn)生：一方面，為什么量子極值面會突然出現(xiàn)且為何使得內(nèi)部粒子不再屬于黑洞？關(guān)于“島”出現(xiàn)的解釋目前研究還在繼續(xù)[30-35]；另一方面，上面的所有理論都還只是半經(jīng)典的理論，我們?nèi)匀粚椛淞Ｗ拥牧孔討B(tài)一無所知。最重要的是，計算結(jié)果僅僅表明信息逃逸出了黑洞，并沒有說明信息是如何逃逸的[36-37]。種種謎團或許只有在真正建立起量子引力理論時才可揭曉。當(dāng)量子引力的大門完全被物理學(xué)家推開時，世界又會是一番怎樣的景色呢？