李海鵬，馮大政，周永偉

(1.西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071；2.西安電子工程研究所，陜西 西安，710100)

無線傳感器網(wǎng)絡(luò)可用于解決區(qū)域監(jiān)視問題，如何優(yōu)化傳感器的覆蓋區(qū)域是其中一個研究重點(diǎn)。覆蓋區(qū)域按覆蓋類型可分為點(diǎn)覆蓋、面覆蓋和柵欄覆蓋，其中柵欄覆蓋應(yīng)用較廣[1]。文獻(xiàn)[2]中首次提出了弱柵欄覆蓋與強(qiáng)柵欄覆蓋的概念。弱柵欄覆蓋可以探測到沿垂直路徑進(jìn)入監(jiān)測區(qū)域的入侵者，但不一定能探測到其他路徑的入侵者；而強(qiáng)柵欄覆蓋可以探測到以任意路徑穿越到監(jiān)測區(qū)域的入侵者。顯然，強(qiáng)柵欄覆蓋提供了更好的監(jiān)測效果。隨著雷達(dá)技術(shù)的不斷發(fā)展，以雷達(dá)為傳感器節(jié)點(diǎn)的柵欄覆蓋問題引起了廣泛關(guān)注。

根據(jù)雷達(dá)發(fā)射站與接收站的位置關(guān)系，雷達(dá)可以分為以下兩種類型：發(fā)射站和接收站共置，即單基地雷達(dá)；多個(或一個)發(fā)射站和多個(或一個)接收站分置在距離較遠(yuǎn)的不同位置，即多基地雷達(dá)[3]。由于多基地雷達(dá)具有反隱身、抗反輻射導(dǎo)彈、抗電子干擾和抗超低空突防的優(yōu)勢[4-7]，因此其柵欄覆蓋問題成為了一個研究熱點(diǎn)[8-11]。

文獻(xiàn)[8]以克拉美羅下界的跡最小為優(yōu)化布站準(zhǔn)則，指出當(dāng)接收站包圍目標(biāo)并呈等角布站時，對目標(biāo)定位的克拉美羅下界取得最小值。但是對于目標(biāo)運(yùn)動，并不能保證接收站實(shí)時包圍目標(biāo)并呈等角分布，因此該方法不適用于探測運(yùn)動目標(biāo)。文獻(xiàn)[9]研究了在不同接收站數(shù)量和目標(biāo)位置的情況下，接收站布站對目標(biāo)定位誤差估計(jì)的影響，該方法僅優(yōu)化了接收站位置，沒有考慮發(fā)射站布站對優(yōu)化性能的影響。文獻(xiàn)[10]利用多基地雷達(dá)構(gòu)建圓周柵欄覆蓋，但是沒有要求柵欄寬度不能為零，因此在柵欄覆蓋上存在脆弱點(diǎn)。文獻(xiàn)[11]構(gòu)建了一種寬度不小于預(yù)定值的帶狀柵欄，用來覆蓋矩形區(qū)域；同時考慮發(fā)射站和接收站的成本區(qū)別，以最小化布站總成本為目標(biāo)，提出一種基于等分部署線的優(yōu)化布站策略，即當(dāng)需要多個部署線來覆蓋被保護(hù)區(qū)域時，在每條部署線上均采用相同的布站序列，此種布站序列的兩個端點(diǎn)至少有一處是發(fā)射站，甚至均為發(fā)射站。這種布站方式有兩個不足：一是沒有充分利用發(fā)射站，特別是當(dāng)發(fā)射站成本遠(yuǎn)大于接收站成本時，發(fā)射站的成本浪費(fèi)更明顯；二是采用等分部署線的優(yōu)化策略僅得到局部最優(yōu)解。筆者旨在克服文獻(xiàn)[11]中方法存在的不足，提出一種非等分柵欄覆蓋的優(yōu)化布站策略及求解算法。仿真結(jié)果表明，所提優(yōu)化方法的布站總成本更低，且需要的發(fā)射站更少。

1 基本概念與理論

對于包含一對發(fā)射站T和接收站R的雙基地雷達(dá)，空間任意一點(diǎn)z到接收站和發(fā)射站的直線距離分別記為RT和RR，接收站和發(fā)射站之間的距離L0稱為基線。由于雷達(dá)經(jīng)常工作于復(fù)雜電磁環(huán)境之下，在接收天線輸出端的信號中除了有用的目標(biāo)信號回波外，通常還包含雜波和干擾。因此，相干脈沖雙基地雷達(dá)的基本方程為[12]

(1)

其中，Pav是發(fā)射平均功率，t0是相干積累時間，GR與GT分別是接收天線和發(fā)射天線的功率增益，λ是信號波長，F(xiàn)T與FR分別是目標(biāo)至發(fā)射站與接收站路徑的方向圖傳播因子，k是玻耳茲曼常數(shù)，T0是標(biāo)準(zhǔn)溫度，F(xiàn)n是接收機(jī)噪聲系數(shù)，LT與LR分別是發(fā)射站和接收站的系統(tǒng)損耗，I0是干擾、雜波和熱噪聲在接收天線輸出端產(chǎn)生的總能量，Emin/I0是檢測目標(biāo)信號所需的最小信干噪比(Signal-Inference-Noise Ratio，SINR)。假設(shè)目標(biāo)雷達(dá)截面積σb不變，則Kb是由雙基地雷達(dá)物理特性所確定的參數(shù)[13]。為書寫方便，令γ0=Emin/I0。若目標(biāo)在z點(diǎn)時接收天線輸出端的信干噪比為γz，則當(dāng)γz≥γ0時，認(rèn)為該目標(biāo)可以被檢測到；反之，該目標(biāo)不能被檢測到。因此，滿足γz≥γ0的z點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域是雙基地雷達(dá)的覆蓋區(qū)域。同時可知(RTRR)max=(Kb/γ0)1/2。令Lmax=((RTRR)max)1/2，稱Lmax為等效單基最大距離。

由以上分析可知，雙基地雷達(dá)的最大覆蓋區(qū)域由一個焦點(diǎn)分別在接收站和發(fā)射站的卡西尼卵形線構(gòu)成。覆蓋區(qū)域的類型由參數(shù)L0和Lmax的關(guān)系決定[13]，如圖1所示。

圖1 雙基地雷達(dá)覆蓋區(qū)域類型

圖2 柵欄覆蓋長度示意圖

(2)

2 單條部署線的優(yōu)化布站方法

為了求解布站問題，首先研究單條部署線上多基地雷達(dá)的柵欄覆蓋特點(diǎn)。欲構(gòu)成寬度為2h的柵欄覆蓋，在一條部署線上依次連續(xù)部署1個發(fā)射站和m個接收站，構(gòu)成布站模式Pm，記Pm=(Ti，R1，…，Rm)，其柵欄覆蓋的長度函數(shù)為?P(h，m)。在一條部署線上依次連續(xù)部署1個發(fā)射站、n個接收站和1個發(fā)射站，構(gòu)成布站模式Fn，記Fn=(Ti，R1，…，Rn，Ti+1)，其柵欄覆蓋的長度函數(shù)為?F(h，n)，如圖2所示。相鄰的Pm和Fn組成布站模式Gn，m=(Ti，R1，…，Rn，Ti+1，R1，…，Rm)，其柵欄覆蓋的長度函數(shù)為?G(h，n，m)。

由文獻(xiàn)[11]可知，?P(h，m)，?F(h，n)可分別按照以下公式計(jì)算：

(3)

(4)

由式(3)及式(4)可知，對給定的柵欄寬度2h，覆蓋長度函數(shù)?F(h，n)和?P(h，m)是關(guān)于接收站數(shù)量的單調(diào)增函數(shù)，但是序列{dn，1≤n≤Nmax}是嚴(yán)格單調(diào)遞減的[15]，即隨著接收站數(shù)量增大，覆蓋長度的增幅逐漸減小。所以，雖然增加接收站的數(shù)量可以增加覆蓋長度，但顯然不是最優(yōu)的布站方法。同時，為了避免部署線兩端使用發(fā)射站，通過引理1說明部署線兩端分別使用模式Pmi(i=1，2)的可行性，并證明|m1-m2|≤1是?P(h，m1)+?P(h，m2)的值取最大的充要條件。

引理1設(shè)m1，m2∈N*，max{m1，m2}≤Nmax，l=m1+m2，則

(1) ?P(h，m1)+?P(h，m2)≤?F(h，m1+m2)， 當(dāng)且僅當(dāng)m1=m2時等號成立。進(jìn)一步有?P(h，m1)+?P(h，m2)的值取最大的充要條件是|m1-m2|≤1。

證明：(1)不失一般性，設(shè)m1≤m2，若m1+m2為奇數(shù)，由式(3)及式(4)，有

(5)

(6)

同理，當(dāng)m1+m2為偶數(shù)時，有

(7)

由序列dk的遞減性及式(6)～(7)可得?P(h，m1)+?P(h，m2)≤?F(h，m1+m2)。值得注意的是：若m1+m2為偶數(shù)，由式(7)可知，當(dāng)且僅當(dāng)m1=m2時，?P(h，m1)+?P(h，m2)的值取得最大值?F(h，m1+m2)；若m1+m2為奇數(shù)，由式(6)可知，僅當(dāng)m2=m1+1時，?P(h，m1)+?P(h，m2)的值取得最大值?F(h，2m1+1)-(xm1-xm1+1)。綜上，?P(h，m1)+?P(h，m2)的值取最大的充要條件是|m1-m2|≤1。

(2)若l=2v-1為奇數(shù)，則由式(3)及式(4)分別可得

同理，當(dāng)l=2v，即為偶數(shù)時，有

引理1進(jìn)一步表明：若模式Fn中接收站數(shù)量n為奇數(shù)，那么其覆蓋長度大于模式P(n+1)/2與P(n-1)/2的覆蓋長度之和，小于兩個模式P(n+1)/2的覆蓋長度之和。因此，可以用兩個模式P(n+1)/2替代1個模式Fn；若n為偶數(shù)，則可以用兩個模式Pn/2等量替代1個模式Fn，且這種替代是最優(yōu)的。

圖3 單條部署線的模式布置示意圖

(8)

易知對于給定的n，m，?F(h，n)與?P(h，m)分別是關(guān)于h在某個區(qū)間的單調(diào)遞減連續(xù)函數(shù)。由于LS(h)是?F(h，n)，?P(h，m1)和?P(h，m2)的線性組合，因此LS(h)也是關(guān)于h的單調(diào)遞減連續(xù)函數(shù)。所以對于給定的布站序列，其覆蓋的長度越大，則覆蓋的柵欄寬度越?。灰布丛诒ＷC覆蓋長度滿足需求的條件下，總有一個柵欄覆蓋寬度最大的布站序列。在優(yōu)化布站策略中，一般選擇覆蓋長度不小于給定值且覆蓋寬度最大的柵欄。

以下通過引理2表明對于非等分柵欄覆蓋矩形區(qū)域，柵欄寬度的可能取值為有限多個。

不妨設(shè)接收站成本單位為1，則圖4給出α=5時，最優(yōu)部署成本函數(shù)Copt(t)的圖像(局部)?？梢钥闯?，當(dāng)柵欄寬度變化時，其需要的部署費(fèi)用并不一定隨之改變。也就是說，同樣的部署成本可以對應(yīng)不同的柵欄寬度。因此從優(yōu)化費(fèi)效比的角度來說，應(yīng)當(dāng)選擇其中寬度最大的柵欄，最終優(yōu)化布站結(jié)果是這些非等分柵欄的線性組合。

圖4 當(dāng)α=5時最優(yōu)部署成本函數(shù)的曲線圖

因此，對于給定的h，單條部署線的優(yōu)化問題為

(9)

式(9)的解就是單條部署線覆蓋區(qū)域2h×D的最優(yōu)覆蓋序列，即單條部署線的最優(yōu)布站序列。

3 矩形區(qū)域的優(yōu)化布站策略與算法

采用非等分部署線的布站策略，即從寬度上將矩形區(qū)域劃分成若干個小矩形(各小矩形的寬可以不相等，但小矩形的長與矩形區(qū)域長相等)，每條部署線布站的方式也不相同，其中單條部署線上布站的方式如圖3所示。

(10)

(11)

至此，式(11)所示優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為以下兩個子優(yōu)化問題。

子優(yōu)化問題1(hi給定)：

(12)

子優(yōu)化問題2：

(13)

采用分層方法求解式(11)所示的優(yōu)化問題，即利用窮舉法求解式(12)和整數(shù)線性規(guī)劃方法[16]求解式(13)。

筆者所提算法的偽碼表示如下。

輸入：等效單基最大距離Lmax，發(fā)射站與接收站費(fèi)用比α，覆蓋矩形區(qū)域的寬度H及長度D。

② forhi=hmin∶η∶hmax，η是柵欄寬度變化步長；

④ 循環(huán)結(jié)束；

說明：

(1)子優(yōu)化問題1的求解過程。

② forn=1∶1∶Nmax；

③ 計(jì)算兩端Pl與Pr模式中接收站的個數(shù)r，l，以及此時單條柵欄的部署費(fèi)用：

④ 循環(huán)結(jié)束；

4 仿真實(shí)驗(yàn)

以下通過仿真實(shí)驗(yàn)說明所提算法的有效性。仿真實(shí)驗(yàn)基本假設(shè)同文獻(xiàn)[11]，等效單基最大距離Lmax=4 km，單條部署線所構(gòu)建的柵欄寬度最小閾值2τ=0.6 km。矩形長度D=100 km不變，矩形寬度H由 4 km 增加到25 km，步長為1 km。對費(fèi)用比α=1，20，70的情況分別進(jìn)行仿真，并與文獻(xiàn)[11]的結(jié)果進(jìn)行比較。為便于敘述，將文獻(xiàn)[11]的優(yōu)化布站方法稱為“文獻(xiàn)[11]方法”、筆者所提優(yōu)化布站方法稱為“文中方法”。費(fèi)用減少率定義如下：費(fèi)用減少率η=100%×(C1-C2)/C2，其中C1，C2分別是文獻(xiàn)[11]方法和文中方法得到的優(yōu)化布站總費(fèi)用，費(fèi)用減少率曲線如圖5所示。

圖5 α=1，20，70時費(fèi)用降低率曲線圖

由圖5可知在不同費(fèi)用比下，費(fèi)用減少率均不小于零，因此相比于文獻(xiàn)[11]方法的部署成本，文中方法的布站總費(fèi)用更低。即使在發(fā)射站費(fèi)用與接收站費(fèi)用之比α=1時，文中方法也能取得更低的部署成本，這些說明了文中方法的有效性。值得注意的是，當(dāng)α=1時，兩種方法的優(yōu)化結(jié)果在有些寬度情況下相等，此時發(fā)射站并不存在成本優(yōu)勢，文中優(yōu)化方法的特點(diǎn)是最大化發(fā)射站的成本。在實(shí)際應(yīng)用中，發(fā)射站成本遠(yuǎn)大于接收站的。

下面給出在α=1，20，70時，針對不同區(qū)域?qū)挾?，文獻(xiàn)[11]方法與文中方法的發(fā)射站需求數(shù)量差，如圖6所示。從圖6可以看出，發(fā)射器總量差均不小于零，說明文中方法需求的發(fā)射站數(shù)量不多于文獻(xiàn)[11]方法的。由于有源的發(fā)射站容易被干擾和定位，采用更少的發(fā)射站有利于多基地雷達(dá)系統(tǒng)在電子戰(zhàn)中發(fā)揮效能，降低風(fēng)險。

圖6 α=1，20，70時發(fā)射站總量差曲線圖

下面以α=20，D=100 km為例說明文中方法的布站結(jié)果，如表1所示。

表1 α=20，D=100 km時文中方法的優(yōu)化布站結(jié)果

表1中，H、C、q、h、n、l、r、g、M、N、DL分別表示矩形寬度、優(yōu)化布站的總費(fèi)用、不同柵欄數(shù)量、半柵欄寬度、模式Fn中接收站數(shù)量、模式Pl與Pr中接收站數(shù)量、模式Fn的數(shù)量及單條部署線上發(fā)射站與接收站的數(shù)量、實(shí)際柵欄覆蓋的長度。

表1說明在α=20的情況下，為了覆蓋一個寬度H=14 km，長度D=100 km的矩形區(qū)域，按照文中方法所得的布站結(jié)果。具體來說：當(dāng)半柵欄寬度h=2.10 km，即單條整柵欄寬度為4.2 km時，對應(yīng)的柵欄數(shù)量q=2個，模式Fn中接收站數(shù)量n=2個，且模式Fn的數(shù)量g=6個。同時，模式Pt與Pr中接收站數(shù)量分別為l=1個和r=1個。因此單條部署線上接收站數(shù)量N=q(gn+l+r)=2×(6×2+1+1)=28個，發(fā)射站數(shù)量m=q(g+1)=2×(6+1)=14個。類似可知，當(dāng)半柵欄寬度h=1.50 km，即單條整柵欄寬度為 3.0 km 時，布站結(jié)果為：部署線中間使用4個模式F4，部署線兩端分別使用一個模式P2，需要發(fā)射站5個，接收站20個。當(dāng)半柵欄寬度h=1.28 km，即單條整柵欄寬度為2.56 km時，布站結(jié)果為：部署線中間使用4個模式F3，部署線兩端分別使用有一個模式P1與P2，需要發(fā)射站5個，接收站15個。共計(jì)需要發(fā)射站 24個，接收站63個；相應(yīng)地，由式(2)可知布站總費(fèi)用為543個單位費(fèi)用。

5 結(jié)束語

在最小部署費(fèi)用的準(zhǔn)則下，基于區(qū)域覆蓋研究了多基地雷達(dá)的優(yōu)化布站問題。在柵欄寬度一定時，通過理論分析說明了布站模式的覆蓋特點(diǎn)，并提出了單條柵欄覆蓋的優(yōu)化布站序列。進(jìn)而采用非等分柵欄的布站策略覆蓋給定的矩形區(qū)域，分別利用整數(shù)線性規(guī)劃與窮舉搜索確定最小部署成本及對應(yīng)的布站參數(shù)。最后通過仿真，表明筆者提出的方法可以在滿足覆蓋需求的情況下，獲得更低的部署成本和使用更少的發(fā)射站。