文|方 芳

【教學內容】

蘇教版五年級下冊第96、97 頁。

【教學過程】

一、確定圓面積的范圍，初步感知極限思想

師：今天我們一起來研究“圓的面積”，先來完成一份《學習單》，通過數(shù)和算，你能發(fā)現(xiàn)圓的面積與它的半徑有什么關系嗎？

生：圓的面積大約是正方形面積的3 倍多。

生：圓的面積大約是r2的3倍多一些。

師：那如果半徑是20 呢？如果這個圓再大呢？如果這個圓無限大呢？

生：圓的面積大約在r2的3倍與4 倍之間。

小結：看來這種方法并不能準確得到圓的面積，只能得到圓面積的范圍。

【設計意圖：在探究圓面積的過程中，首先引領學生感受圓面積的大小范圍，巧妙地將“圓的面積大約是它半徑平方的幾倍”轉化成“圓的面積大約是正方形面積的幾倍”，讓探究更具有可操作性和可視性。借助半徑為4、5、8的三個圓以及繼續(xù)想象半徑為20 的圓，通過數(shù)方格的方法，初步感知圓的面積和r2之間是“3倍多一些”的關系，但這還不是很準確，因此教學中為了讓學生更加清晰地感受到半徑變大后圓的面積與r2的關系，隨后提出猜想，如果這個圓無限大呢？學生經過思考后提出S=πr2的猜想。這樣的教學過程能夠讓學生初步接觸極限思想，感覺到無限大的圓就是一種極限情況，初步感知和體驗極限思想的魅力。】

二、推導圓的面積公式，相機滲透極限思想

1.實踐運用劉徽割圓術，探究圓與正多邊形的關系。

師：同學們，今天的研究將圍繞歷史上三位著名的數(shù)學家展開。我們先來聽第一則“劉徽與圓面積公式”的故事。公元263年，我國數(shù)學家劉徽在為《九章算術》作注時，稱：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！蹦銈兟犨^嗎？

操作一：正向操作，將正方形的紙剪成一個圓形。

師：你能將正方形的紙剪成一個最大的圓形嗎？可以怎樣剪？

師：有的同學是對折剪一個半圓，有的同學對折兩次再剪，想一想，怎樣剪才能讓展開的圖形更接近圓呢？

生：對折無數(shù)次。

師：的確，對折的次數(shù)越多，剪直線段，就越接近圓。如果能將紙片對折無數(shù)次，再用剪刀沿直線段剪開，就會得到一個近似的圓。

幾何畫板演示正多邊形逼近圓的過程：

師：通過剪圓的過程我們感受到“方中有圓”，這對求圓的面積有啟發(fā)嗎？

生：可以把圓的面積看成一個正多邊形的面積。

操作二：反向操作，將圓形的紙剪成正多邊形。

師：現(xiàn)在反過來，你能把一張圓形紙片剪成正多邊形嗎？

（學生操作）

師：通過操作我們可以發(fā)現(xiàn)，圓對折的次數(shù)越多，正多邊形和圓面積的差值越小，如果無限次對折，那么面積就相等了。

師：現(xiàn)在你們能再說說數(shù)學家劉徽所說的話是什么意思嗎？

生：“割之彌細，所失彌少”就是隨著圓內接正多邊形的邊數(shù)不斷增加，正多邊形的面積與圓的面積就越來越接近，當邊數(shù)多到不能再加的時候，圓內接正多邊形就與圓一樣了。

【設計意圖：學生經歷兩次操作，探究圓和正多邊形的關系，利用正多邊形來不斷逼近圓的面積。兩次操作從圓的外部和內部分別逼近圓，也涉及到阿基米德的“雙側逼近法”。通過幾何畫板的直觀演示和對劉徽割圓術的進一步理解，讓學生了解到數(shù)學家也是利用求圓內接正多邊形的面積來求圓的面積，圓被分割得越細，正多邊形的面積就越接近圓的面積，在極限狀態(tài)下，正多邊形的面積就等于圓的面積。正是有了兩次實際操作的經歷，學生對“割圓術”的理解不僅僅停留在字面意思，還能在親身親歷中應用割圓術的原理，對極限思想的運用有更深的體會?！?/p>

2.經歷開普勒分割變形法，轉化圖形推導面積公式。

師：剛才數(shù)學家劉徽的故事告訴我們求圓面積的過程是把圓轉化成正多邊形來研究的，那怎樣計算圓的面積呢？我們來看第二個數(shù)學家的故事。17 世紀，德國著名天文學家、數(shù)學家開普勒在一次喝酒時發(fā)現(xiàn)酒桶各異，于是開始思考葡萄酒桶體積的算法，要解決這個問題，就要先求出圓的面積公式。經過思考，他想出了一種方法，叫做“分割變形法”，即把圓轉化成已經熟悉的圖形。你們想直接看他的方法還是自己先試一試？

（學生自主活動后匯報）

方法一：將圓轉化成平行四邊形。

生：我把圓平均分成8 份。

生：我平均分成了16 份。

生：我平均分成了32 份，更像長方形了。

師：當我們將圓平均分成8份，通過分割拼接可以得到這樣的圖形（圖a），當圓被平均分成16 份時，我們可以將其轉化成這樣的圖形（圖b），當圓被平均分成32 份時，就轉化成這樣（圖c）。仔細觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？（轉化后的圖形越來越接近于長方形，轉化前和轉化后的圖形的面積相等）

師：如果再繼續(xù)分下去，轉化后的圖形會怎樣變化？面積呢？

師：將這個圓平均分成無數(shù)份時，轉化后的圖形就成了（長方形）。此時轉化前的圖形和轉化后的圖形有什么聯(lián)系？（面積不變）求圓的面積就轉化成求這個長方形的面積。長方形的面積怎么算？

生：長方形的面積=長×寬，長=圓周長的一半，寬=圓的半徑，所以長方形面積＝πr×r＝πr2。

師：剛才通過轉化的方法將圓轉化成與它等積的我們熟悉的長方形來研究，推導出了圓的面積的計算方法。還有不同方法嗎？

方法二：將圓轉化成三角形。

生：正多邊形沿半徑分割出來的圖形可以看成一個一個等腰三角形，我們算出一個三角形的面積，再乘小三角形的個數(shù)。具體來說就是小等腰三角形的底＝圓的周長÷分成的份數(shù)n，它的高相當于圓的半徑，所以S＝2πr÷n×r÷2×n＝πr×r＝πr2。

生：也可以轉化成三角形或梯形，都需要想象分成無數(shù)份進行計算。

師：同學們特別厲害，自己想出了這么多轉化計算的方法，現(xiàn)在我們來看看開普勒的方法。（出示圖，圖略）剛才這位同學的推導過程就有數(shù)學家開普勒的分割變形法的影子，很多同學都能想到極限的情況下可以把曲線看成直線，化曲為直，你們真了不起！

【設計意圖：在學生推導圓面積的計算公式時，開普勒的分割變形法也已經悄然發(fā)生，學生在不知不覺中親身經歷了數(shù)學家的推導方法，體味到成功帶來的喜悅，也更加真切感受到數(shù)學的極限思想。數(shù)學家的方法就是學生感受數(shù)學思想的一個有力支點，讓學生借助數(shù)學家們的探究過程了解、體會數(shù)學中的極限思想和化曲為直的思想?！?/p>

3.材料閱讀重溫數(shù)學經典，了解阿基米德同心圓法。

師：最后一起來看第三位數(shù)學家阿基米德與圓面積公式的故事。公元前3 世紀，古希臘數(shù)學家阿基米德在《圓的度量》中說：圓面積等于“一條直角邊長等于圓半徑，另一條直角邊長為圓周”的直角三角形面積。他是這樣發(fā)現(xiàn)圓面積計算公式的，如下圖，將圓從圓心開始直到邊緣分成一些細窄的同心圓環(huán)，并逐一展開疊成一個直角三角形，將圓無限細分時，圓面積與直角三角形面積就近似相等。

師：看完阿基米德的方法，你有什么收獲和感受？

生：我覺得不一定要拼成一個直角三角形，擺成等腰三角形也是一樣的道理。

生：阿基米德也要把圓進行無限分割，找到一個極限狀態(tài)。

生：數(shù)學家們很厲害，想出了很多不同推導圓面積計算公式的方法。

【設計意圖：數(shù)學史中，不同的數(shù)學家不斷創(chuàng)新，創(chuàng)造了很多方法探索圓面積的計算公式，在學生已經了解不同的圓面積公式推導方法的基礎上，再次提出新的方法，讓學生領悟數(shù)學家們的創(chuàng)新精神，學習數(shù)學家們對知識孜孜不倦追求的態(tài)度，同時也對圓面積計算公式的認識進行升華，進一步體會極限思想。】

三、回顧探究活動過程，深刻領悟極限思想

師：同學們今天研究得特別好，學習了這么多圓面積推導的方法，個個都是小數(shù)學家。那這么多的方法中你最喜歡哪種方法？為什么？在學習中感受到哪些數(shù)學學習的方法和思想？

生：我喜歡轉化成長方形的方法，我覺得長方形的面積很好算，而且和圓的半徑很好關聯(lián)，計算方便，感受到了極限的思想方法。

生：我喜歡阿基米德的方法，很有創(chuàng)意，也要想象極限情況。

生：我覺得看成小三角形算再乘個數(shù)的方法簡單，算其中一部分再算整體，算一個小三角形時也是按照極限情況算的。

師：的確，這幾位數(shù)學家和同學們的方法都蘊含了一種重要的數(shù)學思想——極限思想。下面我們一起來看兩個問題，看看你能不能解決。

問題1：已知一個圓的周長是31.4 米，求這個圓的面積。

問題2：將一個圓沿半徑剪開，平均分成若干個完全相同的小扇形，割拼成近似的長方形，這個長方形和圓相比，說法正確的是：A.面積不變，周長增加；B.面積不變，周長減少；C.面積不變，周長不變。

師：課后，給你的爸爸媽媽介紹一下圓面積公式的推導過程，也去查一查還有哪些推導圓面積的方法，比如意大利數(shù)學家卡瓦列里的“棉線法”等等。

【設計意圖：課堂小結和練習環(huán)節(jié)讓學生回顧所有的推導過程，選出自己喜愛的方法，既是對計算方法的鞏固，又是對數(shù)學思想方法的再感悟。練習中仍然選擇經典的歷史問題，學生翻譯并解決，感受世界和中華古代文明的博大精深，同時注意把面積和周長聯(lián)系在一起，讓學生利用周長的一半×半徑的方法解決。最后查閱其他方法的任務則是引導學生向數(shù)學家們學習，不要停下研究的腳步，延續(xù)學生對數(shù)學史的興趣和熱情，延續(xù)對數(shù)學極限思想的感悟?！?/p>