殷俊清, 趙誠(chéng)誠(chéng), 陳永當(dāng), 程云飛, 顧金芋

(西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 西安 710048)

復(fù)合材料加筋板結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于飛機(jī)的機(jī)翼、尾翼的翼面等部位[1]，其在服役過(guò)程中經(jīng)常受拉伸、彎曲、剪切等外載荷作用而產(chǎn)生屈曲變形，并發(fā)生局部失穩(wěn)，此時(shí)仍具有較強(qiáng)的后屈曲承載能力[2-3]。設(shè)計(jì)合理的復(fù)合材料加筋壁板結(jié)構(gòu)可以顯著提高其可靠性、穩(wěn)定性及承載能力。安全系數(shù)法是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的經(jīng)典方法之一，但由于缺少對(duì)隨機(jī)變量的定量分析，導(dǎo)致該方法不能準(zhǔn)確反映出結(jié)構(gòu)的安全程度[4-5]。復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中的幾何參數(shù)、材料屬性以及加工工藝參數(shù)等均存在不確定性，這些變量的不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響不可忽略[6-7]。因此，對(duì)包含大量參數(shù)的復(fù)合材料加筋板進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，需要研究各隨機(jī)因素對(duì)復(fù)合材料性能的影響程度。

目前，眾多研究學(xué)者結(jié)合數(shù)值分析、仿真模擬及實(shí)驗(yàn)研究等手段，分析了隨機(jī)因素對(duì)復(fù)合材料性能的靈敏度。王佩艷等[8]分析了個(gè)各設(shè)計(jì)變量對(duì)目標(biāo)響應(yīng)值的靈敏度，在此基礎(chǔ)上，對(duì)復(fù)合材料加筋板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。Liu等[9]用總剛度矩陣和質(zhì)量矩陣及其一階導(dǎo)數(shù)描述了靜力響應(yīng)、特征值和特征向量的分析靈敏度分析方法，對(duì)復(fù)合材料層合板和殼體進(jìn)行了靈敏度分析。Omairey等[10]研究了微觀尺度的幾何參數(shù)和材料性能不確定性對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的彈性和可靠性的影響及隨機(jī)參數(shù)的靈敏度。阮文斌等[11]對(duì)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)輸出位移和強(qiáng)度比的不確定性來(lái)源進(jìn)行分析,得到輸入變量的全局靈敏度排序結(jié)果。

全局靈敏度分析方法可以定量分析出單個(gè)變量或多個(gè)變量相互作用對(duì)輸出響應(yīng)的貢獻(xiàn)程度，并且具有全局性和穩(wěn)定性，廣泛應(yīng)用于可靠性分析、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與優(yōu)化等多個(gè)領(lǐng)域[12-14]。在復(fù)合材料不確定性分析方面，一些學(xué)者利用靈敏度分析法已經(jīng)開(kāi)展了探索性的研究，證明了該方法在復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析方面的可行性[15]?，F(xiàn)以復(fù)合材料加筋板為研究對(duì)象，選取屈曲載荷作為輸出響應(yīng)值，以復(fù)合材料加筋板的材料屬性和幾何參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，基于Kriging方法的代理模型建立加筋板輸出響應(yīng)與設(shè)計(jì)變量的函數(shù)關(guān)系，采用Sobol法求解復(fù)合材料加筋板材料屬性和幾何參數(shù)的靈敏度，研究結(jié)果可對(duì)復(fù)合材料加筋板可靠性設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

1 復(fù)合材料加筋板的仿真分析

采用T形復(fù)合材料加筋板模型，如圖1所示，其中：長(zhǎng)La=280 mm、寬Wa=160 mm、筋條間距Sa=100 mm、翼板寬度W=24 mm、腹板高度H=20 mm。

復(fù)合材料加筋板材料屬性如表1所示，蒙皮和筋條的鋪層分別為[0/90/±45]s和 [0/90/45/0/-45]s，蒙皮的總厚度為1 mm，加強(qiáng)筋的總厚度為1.25 mm。

基于ABAQUS軟件建立復(fù)合材料加筋壁板的仿真分析模型，為提高計(jì)算效率，模型中筋條和蒙皮均采用S4R單元進(jìn)行建模，邊界條件：加載一端開(kāi)放施加載荷方向自由度，另一端固定，側(cè)邊開(kāi)放自由度，采用Buckle計(jì)算模塊對(duì)有限元模型進(jìn)行特征值屈曲分析，其中第一階模態(tài)如圖2所示。

圖1 復(fù)合材料加筋板模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the composite reinforced plate model

表1 材料屬性Table 1 Material properties

圖2 T形復(fù)合材料加筋板的一階屈曲模態(tài)Fig.2 First-order flexion mode of T-shaped composite reinforced plates

通過(guò)仿真分析可得，T形復(fù)合材料加筋板的屈曲載荷為4.97 kN，與文獻(xiàn)[16]實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)4.89 kN相比，數(shù)值模擬數(shù)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)值誤差為1.6%，由此說(shuō)明，研究模型是合理、準(zhǔn)確的。

2 復(fù)合材料加筋板參數(shù)的靈敏度分析

基于有限元分析理論，在邊界條件確定時(shí)，復(fù)合材料加筋板的屈曲載荷可以表示成材料屬性和幾何參數(shù)的函數(shù)[17]為

Pcr=f1(E1,E2,G12,G13,G23,T,θ,W,H)

(1)

式(1)中：Pcr為復(fù)合材料加筋板屈曲載荷；T為復(fù)合材料單層板厚度；θ為纖維±45°的鋪層角度；W為翼板寬度；H為腹板高度。

由式(1)可知，Pcr的變化是由E1、E2、G12、G13、G23、T、θ、W、H改變引起的，為了有效地描述Pcr的變化，E1、E2、G12、G13、G23、T、θ、W、H均為隨機(jī)變量。復(fù)合材料加筋板中變量分布[17]如表2所示。

表2 變量分布Table 2 Distribution of variables

由于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，等參數(shù)與屈曲載荷之間存在著隱函數(shù)關(guān)系。在求解復(fù)合材料加筋板參數(shù)靈敏度時(shí)，需多次通過(guò)ABAQUS軟件進(jìn)行數(shù)值模擬來(lái)計(jì)算屈曲載荷的數(shù)值。因此，進(jìn)行復(fù)合材料加筋板參數(shù)靈敏度分析時(shí)就需要對(duì)屈曲載荷與多個(gè)參數(shù)之間的函數(shù)進(jìn)行擬合。Kriging模型作為線性回歸的一種改進(jìn)技術(shù)，包含了線性回歸部分和非參數(shù)部分[18]，具有很高的擬合精度同時(shí)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高計(jì)算效率。因此，采用Kriging方法來(lái)擬合屈曲載荷與各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系模型。

2.1 基于Kriging方法建立關(guān)系模型

(2)

式(2)中：C=[C1(X),C2(X),…,C9(X)]T為多項(xiàng)式函數(shù)；β=[β1,β2,…,β9]T為回歸系數(shù)；Z(X) 服從(0，δ2)的正態(tài)分布，其協(xié)方差為

Cov[Z(Xi),Z(Xj)]=δ2R(Xi,Xj)

(3)

式(3)中：δ為方差；R為m×m的相關(guān)矩陣，R(Xi,Xj) 為兩個(gè)任意試驗(yàn)點(diǎn)Xi和Xj的相關(guān)函數(shù)，R選取Gaussian函數(shù)形式為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

矩陣R可通過(guò)引入最小化函數(shù)來(lái)確定，進(jìn)而求解出Kriging代理模型。

通過(guò)拉丁超立方采樣抽取500個(gè)實(shí)驗(yàn)樣本，隨機(jī)挑選450組數(shù)據(jù)建立屈曲載荷與多個(gè)參數(shù)的Kriging的代理模型，將剩余的50組數(shù)據(jù)用于模型的精度檢測(cè)，實(shí)際值與預(yù)測(cè)值結(jié)果如圖3所示，最大相對(duì)誤差為7.76%，預(yù)測(cè)的平均誤差為3%。計(jì)算結(jié)果表明，使用Kriging建立的代理模型來(lái)預(yù)測(cè)復(fù)合材料加筋板的屈曲載荷是合理的。

圖3 屈曲載荷實(shí)際值與預(yù)測(cè)值結(jié)果Fig.3 Actual versus predicted flexion load results

2.2 基于Sobol法的靈敏度分析

Sobol靈敏度分析法通常用于非線性、非單調(diào)的函數(shù)模型，能夠便捷地計(jì)算出各輸入?yún)?shù)對(duì)響應(yīng)值的一階、高階以及全局靈敏度系數(shù)，它可以表示為多個(gè)子函數(shù)相互組合的函數(shù)，即

(9)

式(9)中：x=(x1,x2,…,xn)為自變量，定義域?yàn)镵n={(x1,x2,…,xn)|0≤xi≤1,i=1,2,…,n}；f0為常數(shù)；fpj為子函數(shù)表達(dá)形式，每個(gè)子函數(shù)間均為正交，且在其對(duì)應(yīng)定義域內(nèi)積分為0，即

(10)

因此，子函數(shù)的計(jì)算表達(dá)式為

(11)

式(11)中：dxi和dxij分別為dx1dx2…dxn中不含dxi和dxidxj的乘積；Kn-1為不含xi的定義域；Kn-2為不含xi和xj的定義域。

通過(guò)計(jì)算，可以求解出函數(shù)的每一項(xiàng)偏方差和總方差為

(12)

(13)

在Sobol的方法中，輸入?yún)?shù)的靈敏度是由其對(duì)響應(yīng)值總方差的貢獻(xiàn)率進(jìn)行評(píng)價(jià)的。因此，一階響應(yīng)指數(shù)Si和總一階響應(yīng)指數(shù)STi為

(14)

(15)

式中：Si為一階靈敏度系數(shù)，反映了單一參數(shù)xi對(duì)復(fù)合材料加筋板屈曲載荷的影響程度；STi為全局靈敏度系數(shù)，反映綜合考慮輸入?yún)?shù)x1,x2,…,xn的變化情況時(shí)，各參數(shù)間交互作用對(duì)復(fù)合材料加筋板屈曲載荷的影響。

2.3 參數(shù)靈敏度分析結(jié)果

在得到Kriging代理模型Pcr(X)后，使用Sobol方法對(duì)復(fù)合材料加筋板的材料屬性和幾何參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，分析流程如圖4所示，分析結(jié)果如圖5所示。

圖4 復(fù)合材料加筋板參數(shù)靈敏度分析流程Fig.4 Parameter sensitivity analysis process for composite reinforced sheet

圖5 復(fù)合材料加筋板參數(shù)靈敏度Fig.5 Parameter sensitivity of composite stiffened plates

復(fù)合材料加筋板的材料屬性和幾何參數(shù)對(duì)屈曲載荷的貢獻(xiàn)量通常由全局靈敏度系數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，由圖5(b)可知，設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)屈曲載荷的全局靈敏度系數(shù)大小為ST6>ST8>ST5>ST1>ST9>ST2>ST4>ST3>ST7，X6與X8對(duì)應(yīng)的一階靈敏度系數(shù)與全局靈敏度系數(shù)相差較大，說(shuō)明參數(shù)復(fù)合材料單層板厚度T和翼板寬度W之間相互交互作用最為明顯。

根據(jù)圖5的復(fù)合材料加筋板參數(shù)靈敏度計(jì)算結(jié)果，可以看出，復(fù)合材料加筋板的單層板厚度和翼板的寬度對(duì)響應(yīng)值屈曲載荷的影響較大，其中，單層板厚度對(duì)屈曲載荷的影響最大，剩余幾個(gè)變量的靈敏度數(shù)值較小，則表明這些參數(shù)對(duì)響應(yīng)值的影響程度較小，因此，當(dāng)設(shè)計(jì)目標(biāo)為提高屈曲載荷時(shí)，應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注復(fù)合材料加筋板的單層板厚度和翼板的寬度，盡量減少它們的隨機(jī)不確定性。

3 結(jié)論

(1)在有限元分析的基礎(chǔ)上，選取了9個(gè)變量為設(shè)計(jì)參數(shù)，基于Kriging方法的代理模型建立了屈曲載荷與材料屬性、幾何參數(shù)之間的函數(shù)表達(dá)式。

(2)運(yùn)用Sobol靈敏度分析方法，對(duì)復(fù)合材料加筋板材料屬性和幾何參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，結(jié)果顯示單層板厚度和翼板寬度對(duì)屈曲載荷影響較大，則說(shuō)明單層板厚度、翼板寬度為關(guān)鍵參數(shù)，為復(fù)合材料加筋板的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。