李璐華

【摘要】本文以一道中考數(shù)學(xué)試題為例，應(yīng)用初中常見的幾何模型，如母子模型、一線三等角模型、90°含半角模型，進(jìn)行一題多解，突出體現(xiàn)解題突破時模型的呈現(xiàn)、聯(lián)想、構(gòu)造、應(yīng)用等過程.通過巧用模型一題多解的訓(xùn)練鍛煉學(xué)生思維，從而提升學(xué)生的解題應(yīng)變能力.

【關(guān)鍵詞】一題多解;母子模型;一線三等角模型;90°含半角模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，模型思想的建立是學(xué)生理解和體會數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.模型思想是數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)在初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的具體體現(xiàn)，包括幾何模型、代數(shù)模型.近年來，在各地中考數(shù)學(xué)試題中，出現(xiàn)了大量由一些幾何模型演變、延伸而來的題目，這些題目雖然各不相同，但是解決的方法策略卻是相通的，而且往往可以利用幾何模型進(jìn)行“一題多解”.一些常見的幾何模型，如母子模型、一線三等角模型、90°含半角模型等，在解決問題時能夠起到關(guān)鍵性的作用，下面以2017年深圳市中考數(shù)學(xué)第23題第（3）問為例，應(yīng)用這些模型進(jìn)行一題多解.

一、試題呈現(xiàn)

如圖1所示，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A（-1，0），B（4，0），交y軸于點C.

（1）求拋物線的解析式（用一般式表示）;

（2）略;

（3）將直線BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，與拋物線交于另一點E，求BE的長.

分析 本例題的第（1）問直接用待定系數(shù)法即可求出拋物線的一般式為y=-12x2+32x+2;第（3）問求BE的長度，需要先求出BC旋轉(zhuǎn)后直線與拋物線的交點E的坐標(biāo)，點E的坐標(biāo)可由BC旋轉(zhuǎn)后的直線所對應(yīng)的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立得到，所以解決第（3）問的關(guān)鍵在于求BC旋轉(zhuǎn)后的直線即直線BE的解析式.下面，以解題關(guān)鍵“求出直線BE的解析式”為例，應(yīng)用初中數(shù)學(xué)中常見的幾何模型進(jìn)行一題多解.

二、一題多解

如圖2所示，在△ABC的邊AC上有一點D，使∠ABD=∠C，那么△ABC∽△ADB.此模型中，小三角形ADB在大三角形ABC內(nèi)，且它們有公共角∠A、公共邊AB，像子依母懷，故通常稱為母子模型，也稱共邊共角模型.當(dāng)∠ABC=90°時，如圖3所示，稱為射影圖，射影圖是母子模型的一種特殊情況.

在圖1中，設(shè)直線BE與y軸交于點P，可形成△PBC，且∠PBC=45°，則可在y軸上取一點構(gòu)造一個45°的角，即可構(gòu)造出母子模型.

第（3）問已知直線BC旋轉(zhuǎn)了45°得到直線BE，可以利用這個45°的角構(gòu)造等腰直角三角形，從而構(gòu)造三垂直型.

評注 在解法4中，從45°角出發(fā)構(gòu)造了一個內(nèi)含45°角的正方形，這正是常見的90°含半角模型.換一種思路，這種兩角之間存在一半或一倍的關(guān)系，也可以看成是圓周角和圓心角的關(guān)系，于是可以將45°看成是某個圓的圓周角（如圖14所示），從而找到問題的解決思路.

三、回顧反思

很多學(xué)生在解決綜合性幾何題目時找不到突破口，困擾他們的正是對常見幾何模型的一知半解或一無所知.所以，教師在平時教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生在眾多題目中提煉共性模型，抓住思維的“生長點”，為學(xué)生解決問題搭建思維“腳手架”.一葉知秋，題海不是解決問題的最好方法，教師只有深入研究試題和一些常見的幾何模型，并引導(dǎo)學(xué)生去挖掘它們，在課堂上多問幾個“還有其他解法嗎”，才能真正實現(xiàn)“化題為型、凝題成鏈、結(jié)題成網(wǎng)”的目標(biāo).

波利亞提出：在擬訂方案時應(yīng)當(dāng)回顧是否解過類似的問題，能否將問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題.一些常見的幾何模型正是學(xué)生腦中“題庫”與正確解題思路的“橋梁”，教師如果在平時的教學(xué)中能夠指導(dǎo)學(xué)生將這樣的“橋梁”搭牢、搭穩(wěn)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，就可使學(xué)生在遇到問題時快速檢索到正確的方法，從而真正提升學(xué)生的解題應(yīng)變能力，找到其思維“發(fā)散點”.

【參考文獻(xiàn)】

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