【摘 要】教學(xué)內(nèi)容分析的基本點(diǎn)通常有內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)與文化背景、表征方式、探索路徑等，通過(guò)對(duì)教材內(nèi)容的多角度分析，可以設(shè)計(jì)出自然地發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、自然地發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題思路的思維過(guò)程，從而進(jìn)一步啟迪我們?cè)O(shè)計(jì)出符合數(shù)學(xué)本質(zhì)和認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)過(guò)程。

【關(guān)鍵詞】教材分析;教學(xué)設(shè)計(jì);問(wèn)題情境;數(shù)學(xué)審美

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2021）20-0029-04

【作者簡(jiǎn)介】石志群，江蘇省泰州市教育局（江蘇泰州，225300）教研室主任，正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師。

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是2017年版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的要求，而數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)因其經(jīng)典性、基礎(chǔ)性成為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的重要載體。筆者認(rèn)為，對(duì)教材中的基本內(nèi)容進(jìn)行強(qiáng)化分析、深化認(rèn)識(shí)、把握本質(zhì)是提高教學(xué)設(shè)計(jì)水平，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的根本途徑。本文以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”為例對(duì)此作初步探索。

一、內(nèi)容基本點(diǎn)分析

筆者先對(duì)本節(jié)內(nèi)容的三個(gè)基本點(diǎn)作梳理。

1.問(wèn)題情境。

等差數(shù)列的問(wèn)題情境通常有兩類(lèi)：現(xiàn)實(shí)情境和文化情境。

問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)情境較多，常見(jiàn)的有：

①花壇有若干層，各層花盆數(shù)依次成等差數(shù)列，求花壇上花盆總數(shù)（類(lèi)似的，貨架上貨物總數(shù)的計(jì)算，求一堆鋼管總數(shù)等）;

②單利存款，本利總和;

③從材料工地運(yùn)送電線桿到500米以外的公路的同一旁埋設(shè)，每隔50米在路邊埋一根。已知每次只能運(yùn)3根，要完成運(yùn)24根電線桿的任務(wù)，并返回材料工地，問(wèn)運(yùn)輸車(chē)的行程是多少米？

文化情境有：

①畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”;

②高斯的故事;

③中國(guó)古代的“垛積術(shù)”（高階等差數(shù)列求和）中最基礎(chǔ)的數(shù)列——等差數(shù)列。

創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境既要能提出本節(jié)課要研究的問(wèn)題，又要能與推導(dǎo)方法產(chǎn)生思維的鏈接，還要盡量避免過(guò)分的 “啟發(fā)”，否則使學(xué)生由情境本身直接知曉推導(dǎo)方法，會(huì)掩蓋思維的過(guò)程。當(dāng)然，情境不宜復(fù)雜，以免沖淡主題，加大學(xué)習(xí)難度，要以簡(jiǎn)單而蘊(yùn)含本質(zhì)的情境引入，促使學(xué)生比較容易地提出本節(jié)課的研究問(wèn)題（主題）。換言之，情境的創(chuàng)設(shè)要力求入口淺、寓意深。

2.等差數(shù)列的表征方式。

數(shù)學(xué)對(duì)象的表征方式對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)起著一定的啟發(fā)、誘導(dǎo)作用，善于運(yùn)用不同方式對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行表征，并由表征方式產(chǎn)生聯(lián)想是一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

等差數(shù)列是一種基礎(chǔ)的、重要的數(shù)列模型，從數(shù)學(xué)史看，其表征方式主要有——

（1）定義表征：an-an-1=d（n∈N*，n≥2）。

（2）代數(shù)表征：通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d，或函數(shù)形式an=an+b。

（3）幾何表征有3種：形數(shù)表征，如三角形數(shù)、四邊形數(shù)等（見(jiàn)圖1）;圖象表征，即一次函數(shù)中自變量取正整數(shù)的點(diǎn)列（見(jiàn)圖2）;面積表征，即分別以公差d為底邊（在x軸上），以an為另一條邊（有向線段）構(gòu)成的系列矩形（見(jiàn)圖3）。

[（圖3）][（圖2）][O][x][y] [O][x][y]

3.探索路徑。

基于等差數(shù)列的代數(shù)和幾何表征，可得到兩種探索等差數(shù)列前n項(xiàng)和的思路。

（1）代數(shù)表征下的思路。由配對(duì)法，將所對(duì)應(yīng)的式子保持其“結(jié)構(gòu)”。對(duì)于1+2+3+4+…+100而言，1+2+3+4+…+100=（1+100）×[1002];對(duì)于首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=a1+a2+…+an-1+an=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（a[n2]+a[n2]+1）=（a1+an）[n2];當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=a1+a2+…+an-1+an=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（a[n-12]+a[n+32]）+a[n+12]=（a1+an）[n-12] + [a1+an2] = （a1+an）[n2] 。

無(wú)論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，等式的形式是一樣的，我們得到了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn= （a1+an）[n2] 。

以上思路還是比較自然的，難點(diǎn)是如何自然地鏈接到本節(jié)課的核心內(nèi)容——“倒排相加法”。關(guān)于這一點(diǎn)，可從幾何表征的思路中獲得啟發(fā)。

（2）幾何表征下的思路。對(duì)于圖1，就是求圖中點(diǎn)的總數(shù)。在此處可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想幾何中是如何求三角形的面積的。于是“補(bǔ)形”的思路就自然出現(xiàn)了（即用一個(gè)全等的三角形“倒扣”上去，補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，圖略）。

與此類(lèi)似地處理圖2、圖3，將不“規(guī)則”的圖形補(bǔ)成規(guī)則的圖形，將未解決的圖形補(bǔ)成已經(jīng)解決了的圖形。這里的“補(bǔ)形”體現(xiàn)的就是“倒排相加”的思想，將變化著的項(xiàng)的求和轉(zhuǎn)化為常數(shù)列的求和。因此，只要將圖形意義用代數(shù)符號(hào)表示出來(lái)，就能自然地得到倒排相加法。

如何解決代數(shù)表征下引導(dǎo)學(xué)生自然地想到倒排相加的方法呢？

比較簡(jiǎn)便的方式就是“數(shù)形聯(lián)想”：Sn= （a1+an）[n2]的幾何意義（或幾何表征）是什么？也就是引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)公式使我們想到了什么？很顯然，這是梯形面積公式的結(jié)構(gòu)形式，于是，將梯形補(bǔ)成平行四邊形的思路自然就產(chǎn)生了。

此外，還可以從數(shù)學(xué)審美的角度反思求1+2+3+…+100的過(guò)程，配對(duì)法的思維過(guò)程是：

首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：1+100=101

第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和：2+99=101

第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和：3+98=101

……

第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和：50+51=101

所以，S100=（1+100）×[1002]=5050。

如果用于求1+2+3+…+100+101的值，就會(huì)“多”出一項(xiàng)“51”沒(méi)有與之相配的項(xiàng)，而相同的問(wèn)題卻用不同方法，顯得不夠“美”，怎樣才能美呢？完整是美、一致是美、對(duì)稱是美，于是，我們就要反思：在和式中的項(xiàng)的地位是一樣的，為什么配對(duì)時(shí)到了“50”就停了？這個(gè)“工作”應(yīng)該繼續(xù)下去：

1 + 100 = 101

2 + 99? = 101

3 + 98? = 101

……

50 + 51 = 101

51 + 50 = 101

……

100 +? 1 = 101

這樣，兩個(gè)公差互為相反數(shù)的等差數(shù)列躍然紙上，而且無(wú)論n取奇數(shù)還是偶數(shù)，方法就統(tǒng)一了。這個(gè)方法不僅適用于特殊的等差數(shù)列，而且適用于一般的等差數(shù)列。

二、教學(xué)思考

1.數(shù)列研究的核心問(wèn)題是什么？

從各種教科書(shū)上可以看到，數(shù)列（包括各種特殊的數(shù)列），其研究的內(nèi)容主要是通項(xiàng)公式、性質(zhì)及若干項(xiàng)的和。這說(shuō)明，“和”是數(shù)列這一數(shù)學(xué)分支的主要研究問(wèn)題之一;同時(shí)也說(shuō)明，“通項(xiàng)”與“和”是其核心問(wèn)題（性質(zhì)即為“項(xiàng)”與“和”及其之間具體的特性及關(guān)系）。關(guān)于“和”，一方面其在現(xiàn)實(shí)中有廣泛的應(yīng)用（商場(chǎng)中的貨架上堆放的商品總數(shù)、銀行存款中的若干模型等），另一方面函數(shù)的級(jí)數(shù)表示正是數(shù)列和的形式，它體現(xiàn)了人們認(rèn)識(shí)變化世界的觀念和方法的巨大進(jìn)步，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的重要途徑。

總之，“和”應(yīng)該是數(shù)列研究的核心問(wèn)題之一。

2.為什么求等差數(shù)列前n項(xiàng)和可用倒排相加的方法？怎么想到倒排相加的方法的？

在教學(xué)中不能用高斯的思考結(jié)果替代學(xué)生的探究性思維;不能用鋼管堆的原型作為初始問(wèn)題，立即給出倒排相加的思路，否則就掩蓋了問(wèn)題的抽象過(guò)程，對(duì)思路作出了過(guò)度的告知。

事實(shí)上，我們非常重視幾何中的“割補(bǔ)”方法，經(jīng)常運(yùn)用這種方法將不規(guī)則的形、體轉(zhuǎn)化為規(guī)則的形、體，將不熟悉的形、體轉(zhuǎn)化為熟悉的形、體，但我們忽視了其與代數(shù)中的類(lèi)似的數(shù)學(xué)技巧的溝通與聯(lián)系。在代數(shù)中我們也常通過(guò)配湊、添減等技術(shù)處理代數(shù)式，進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，這與幾何中的“割補(bǔ)”法在思想上是一致的。有了這種認(rèn)識(shí)，解決上面的“為什么”“怎么想到的”等問(wèn)題就比較容易了，因?yàn)檫@種思想方法在幾何中已經(jīng)有了應(yīng)用，幾何的直觀也更易于為學(xué)生所理解。

3.等差數(shù)列的基本特征是什么？

從形的角度看，等差數(shù)列具有以下基本特征：第一，項(xiàng)具有線性關(guān)系，其圖象在一條直線上;第二，均勻分布，項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在一條直線上。在幾何上，這種分布的n個(gè)散點(diǎn)（k，ak）（k=1，2，…，n）的“中心”為（[1+n2]， s）;從物理上看，這n個(gè)點(diǎn)的“重心”為（[1+n2]， s）。由圖形的幾何性質(zhì)，或由物理圖形重心的概念都可以知道， s就是點(diǎn)A1（1，a1）與點(diǎn)An（n，an）的連線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即[a1+an2]。

從數(shù)的角度看，等差數(shù)列的“逆序”排列所得數(shù)列仍是一個(gè)等差數(shù)列，即若等差數(shù)列a1，a2，…，an的公差為d，則有數(shù)列an，an-1，…，a2，a1是公差為-d的等差數(shù)列，即有Sn= a1+a2+a3+…+an=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n-1）d]且Sn=an+an-1+an-2+…+a1=an+（an-d）+（an-2d）+…+[an-（n-1）d]。由此也容易發(fā)現(xiàn)兩個(gè)式子相加的思路。

4.“倒排”相“拼”的本質(zhì)是什么？

我們知道，平行四邊形的面積公式是基于“祖暅原理”的，即“用平行于底邊的直線截，所截得的線段均相等”。而圖1這樣的等差數(shù)列幾何表征，拼出來(lái)的四邊形也具有類(lèi)似的特性：每一行中點(diǎn)的個(gè)數(shù)都是相同的。因而，通過(guò)“拼湊”，使得“變”變?yōu)椤岸ā?（將一般的等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的等差數(shù)列——常數(shù)列），便是“倒排”相“拼”的本質(zhì)。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)建議

基于上述分析可以發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列求和公式既有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值，也有著深刻的數(shù)學(xué)背景，還蘊(yùn)含豐富的文化內(nèi)涵，合理地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，可以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展理性思維，培養(yǎng)關(guān)鍵能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

筆者建議，可以用含實(shí)際背景的問(wèn)題情境進(jìn)行引入，提出本節(jié)課的核心問(wèn)題：等差數(shù)列前n項(xiàng)和如何求？可以是具體的等差數(shù)列，也可以是一般的等差數(shù)列。如果是后者，學(xué)生容易由通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為前n個(gè)自然數(shù)的和。

如果學(xué)生想到高斯用配對(duì)法求和的思路，可以先重復(fù)一下求和過(guò)程，再研究一般的問(wèn)題。這樣學(xué)生自然會(huì)想到分成偶數(shù)個(gè)項(xiàng)與奇數(shù)個(gè)項(xiàng)進(jìn)行討論。

解決問(wèn)題后，再追問(wèn)：高斯是怎么想到這個(gè)思路的？你根據(jù)S100=（1+100）×[1002]的推導(dǎo)過(guò)程有何發(fā)現(xiàn)？甚至可以追問(wèn)：這個(gè)式子的幾何意義是什么？進(jìn)而使學(xué)生想到：一是將一般的等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為常數(shù)列，二是梯形的面積公式。

接著再?gòu)臄?shù)學(xué)審美的視角反思配對(duì)法，提出問(wèn)題：為何同一問(wèn)題卻用不同的方法解決？追求統(tǒng)一是數(shù)學(xué)的基本價(jià)值要求，應(yīng)該找到不分項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)的一致方法;引導(dǎo)學(xué)生對(duì)和式中的各項(xiàng)地位均等進(jìn)行認(rèn)識(shí)，想到將“配對(duì)”的工作繼續(xù)進(jìn)行下去的思路，從而發(fā)現(xiàn)倒排相加的思路。

在從代數(shù)表征的視角解決問(wèn)題后，再提出問(wèn)題：數(shù)學(xué)對(duì)象通常可從“數(shù)”與“形”兩個(gè)形式進(jìn)行表征，因此，如何“幾何地”表示出等差數(shù)列中的項(xiàng)呢？如何將“數(shù)之和”轉(zhuǎn)化為“幾何對(duì)象的某種度量之和”？從而想到從幾何角度的解決方法：補(bǔ)形法。

具體的教學(xué)設(shè)計(jì)這里就不完整寫(xiě)出了。需要說(shuō)明的是，在上面的過(guò)程中，可以將相關(guān)的文化元素揭示出來(lái)，給學(xué)生提供延伸閱讀的材料，如與“垛積術(shù)”相關(guān)的數(shù)學(xué)史料。