楊 婷，謝菲菲，方東輝

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖南 吉首 416000)

(1)

的對偶問題進行了深入研究,得到了一系列有意義的結論.值得注意的是,這些結論均是在目標函數(shù)具有凸性或者某種連續(xù)性的假設下得到的,而這些假設極大地限制了無約束優(yōu)化問題在某些領域的應用.為此,有學者[6-11]研究了DC規(guī)劃,該規(guī)劃是一類非凸非連續(xù)優(yōu)化問題,其目標函數(shù)為2個凸函數(shù)的差.特別地,方東輝等[6]采用經(jīng)典的凸化技巧,定義了無約束復合DC優(yōu)化問題

(2)

筆者擬在函數(shù)不具有連續(xù)性的情況下,采用與文獻[6]不同的方法定義問題(2)的對偶問題,然后引入2個新的約束規(guī)范條件,給出問題(2)與其對偶問題之間的全對偶和穩(wěn)定全對偶成立的充分或必要條件.

1 預備知識

設X*和Y*分別是X和Y的共軛空間,分別賦予弱*拓撲ω*(Y*,Y)和ω*(X*,X).x*,x表示泛函x*∈X*在x∈X上的值,即x*,x=x*(x).設Z是X中的非空子集,記Z的閉包為clZ.若Z是X*的子集,則用clZ表示Z的弱*閉集.非空集合Z的對偶錐和示性函數(shù)分別定義為

Z⊕∶={x*∈X*:x*,x≥0,?x∈Z},

f的有效定義域、上圖和共軛函數(shù)分別定義為

domf∶={x∈X:f(x)<+∞},

epif∶={(x,r)∈X×R:f(x)≤r},

f*(x*)∶=sup{x*,x-f(x):x∈X} ?x*∈X*.

顯然,epif*是弱*閉凸集.設f的下半連續(xù)包為clf,則有epi(clf)=cl(epif).由文獻[12]中的定理2.3.1可知,f*=(clf)*.由文獻[12]中的定理2.3.4可知,若clf是真凸函數(shù),則有f**=clf.f在x∈X處的次微分定義為

?f(x)∶={x*∈X*:f(x)+x*,y-x≤f(y),?y∈X}.

由文獻[12]中的定理2.3.1(ⅱ)和定理2.4.2(ⅲ)可知,Young-Fenchel不等式和Young等式成立,即

f(x)+f*(x*)≥x,x*?(x,x*)∈X×X*,

(3)

x*∈?f(x)?f(x)+f*(x*)=x*,x.

(4)

g≤h?g*≥h*?epig*?epih*,

epig*+epih*?epi (g+h)*.

特別地,對于?p∈X*,a∈R,如下等式成立：

(h+p+a)*(x*)=h*(x*-p)-a?x*∈X*,

epi (h+p+a)*=epih*+(p,-a).

2 全對偶和穩(wěn)定全對偶

則g1°h,g2°h為真凸函數(shù).對于?μ∈Y*,定義

于是,帶線性擾動的復合DC優(yōu)化問題

(5)

的對偶問題為

(6)

特別地,當p=0時,問題(5)就是問題(2),問題(6)則轉化為

(7)

令v(i)(i為問題對應的序號)表示問題的最優(yōu)值,S(i)(i為問題對應的序號)表示問題的最優(yōu)解集.由次微分的定義可知

x0∈S(5)?p∈?(f1-f2+g1°h-g2°h)(x0).

(8)

設x∈X,記

?H(x)∶=?f2(x)×?g2(h(x)),

Ω0∶=dom(?H)={x∈X:?H(x)≠?}.

(9)

定義1[7](ⅰ)若v(7)≤v(2),則稱問題(2)與(7)之間的弱對偶成立.

(ⅱ)若v(2)=v(7)且問題(7)有最優(yōu)解,則稱問題(2)與(7)之間的強對偶成立.

(ⅲ)若對于?p∈X*,問題(5)與(6)之間的弱對偶(或強對偶)成立,則稱問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定弱對偶(或穩(wěn)定強對偶)成立.

定義2[7]設X0是X的子集.

(ⅰ)若S(2)∩X0≠?,問題(2)與(7)之間的強對偶成立,則稱問題(2)與(7)之間的X0-全對偶成立.

(ⅱ)對于?p∈X*,若S(5)∩X0≠?,問題(5)與(6)之間的X0-全對偶成立,則稱問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定X0-全對偶成立.

(ⅲ)當X0=X時,問題(2)與(7)之間的X0-全對偶(或穩(wěn)定X0-全對偶)成立,則稱問題(2)與(7)之間的全對偶(或穩(wěn)定全對偶)成立.

為了方便起見,記

(10)

顯然,

Λ1(x)?Λ2(x) ?x∈X.

(11)

為了建立問題(2)與(7)之間的全對偶與穩(wěn)定全對偶,引進以下約束規(guī)范條件:

定義3[7]令x0∈X.

(ⅰ)若

?(f1-f2+g1°h-g2°h)(x0)?Λ1(x0),

(12)

則稱系統(tǒng){f1,f2,g1,g2;h}在x0點滿足MRF(Moreau-Rockafellar Formula)條件.

(ⅱ)若

?(f1-f2+g1°h-g2°h)(x0)?Λ2(x0),

則稱系統(tǒng){f1,f2,g1,g2;h}在x0點滿足弱MRF條件.

(ⅲ)若系統(tǒng){f1,f2,g1,g2;h}在X中的任意點均滿足MRF(或弱MRF)條件,則稱系統(tǒng) {f1,f2,g1,g2;h}滿足MRF(或弱MRF)條件.

注1(ⅰ)由(11)式可知,若系統(tǒng){f1,f2,g1,g2;h}滿足MRF條件,則該系統(tǒng)滿足弱MRF條件.

(ⅱ)當f2=g2=0時,弱MRF條件和MRF條件一致且均轉化為文獻[5]中的注3.1,即

下面給出問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定弱對偶成立的一個充分條件:

定理1設p∈X*,若S(5)∩Ω0≠?,則問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定弱對偶成立.

證明設x0∈S(5)∩Ω0,則

v(5)=f1(x0)-f2(x0)+g1(h(x0))-g2(h(x0))-p,x0.

定義問題

(13)

的最優(yōu)解為v(13).由于x0∈Ω0,因此f2和g2分別在x0和h(x0)點下半連續(xù)(參看文獻[12]中的定理2.4.1),即

f2(x0)=(clf2)(x0),g2(h(x0))=(clg2)(h(x0)).

于是對于?x∈X,

v(13)≤f1(x0)-(clf2)(x0)+g1(h(x0))-(clg2)(h(x0))-p,x0=

f1(x0)-f2(x0)+g1(h(x0))-g2(h(x0))-p,x0=v(5).

又由文獻[6]中的注3.2可知v(6)≤v(13),因此v(6)≤v(5),即問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定弱對偶成立.證畢.

推論1設p∈X*,x0∈S(5).若p∈Λ1(x0),則v(6)≥v(5),且存在y*∈Y*,使得對于?(u*,v*)∈H*,Fp(u*,v*,y*)≥v(5).

(14)

(15)

另一方面,由Young-Fenchel不等式(3)可得

(16)

(17)

綜合(14)～(17)式及x0∈S(5)可得

又由v(6)的定義可知

于是v(6)≥v(5).證畢.

下面給出問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定Ω0-全對偶成立的一個充分條件：

定理2假設系統(tǒng){f1,f2,g1,g2;h}滿足MRF條件,則問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定Ω0-全對偶成立.

證明任取p∈X*使得S(5)∩Ω0≠?.由定理1可知v(6)≤v(5).要證明問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定Ω0-全對偶成立,只需證明v(6)≥v(5)且問題(6)有最優(yōu)解即可.任取x0∈S(5)∩Ω0,則p∈?(f1-f2+g1°h-g2°h)(x0).因系統(tǒng){f1,f2,g1,g2;h}滿足MRF條件,故p∈Λ1(x0).從而由推論1可知v(6)≥v(5),且存在y*∈Y*,對于?(u*,v*)∈H*,Fp(u*,v*,y*)≥v(5).因此,問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定Ω0-全對偶成立.證畢.

接下來給出穩(wěn)定Ω0-全對偶成立的一個必要條件：

定理3假設問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定Ω0-全對偶成立,則系統(tǒng){f1,f2,g1,g2;h}滿足弱MRF條件.

證明假設問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定Ω0-全對偶成立.任取p∈X*滿足x0∈S(5)∩Ω0,即x0∈Ω0,p∈?(f1-f2+g1°h-g2°h)(x0).由(9)式可知?H(x0)≠?.由次微分的定義可知

v(5)=f1(x0)-f2(x0)+g1(h(x0))-g2(h(x0))-p,x0.

(18)

令(u*,v*)∈?H(x0),則(18)式成立.于是,

即

g2(h(x0))-v*,h(x0)).

(19)

由Young-Fenchel不等式(3)可得

(20)

(21)

因為(u*,v*)∈?H(x0),所以由Young等式(4)可得

(22)

將(20)～(22)式代入(19)式,得到

和

從而p∈Λ2(x0).證畢.

接下來給出問題(2)與(7)之間的全對偶成立的一個充分條件：

定理4假設問題(2)與(7)之間的弱對偶成立,若系統(tǒng){f1,f2,g1,g2;h}滿足MRF條件,則問題(2)與(7)之間的全對偶成立.

證明假設系統(tǒng){f1,f2,g1,g2;h}滿足MRF條件,則(12)式成立.由于問題(2)與(7)之間的弱對偶成立,因此v(7)≤v(2).要證明問題(2)與(7)之間的全對偶成立,只需證明v(7)≥v(2)且問題(7)有最優(yōu)解即可.為此,任取x0∈S(2),由(8)式等價得到0∈?(f1-f2+g1°h-g2°h)(x0).結合(12)式可知0∈Λ1(x0).于是由推論1可知v(7)≥v(2),且存在y*∈Y*,對于?(u*,v*)∈H*,F(u*,v*,y*)≥v(2),從而問題(2)與(7)之間的全對偶成立.證畢.

由定理4可得如下結論:

定理5假設問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定弱對偶成立,若系統(tǒng){f1,f2,g1,g2;h}滿足MRF條件,則問題(2)與(7)之間的穩(wěn)定全對偶成立.