林志強(qiáng)
(福州理工學(xué)院,福建 福州 350506)
考慮如下具有非局部化反應(yīng)源項(xiàng)的拋物型方程組初邊值問(wèn)題的正解:
(1)
其中:Ω?RN(N≥1)為有界區(qū)域,邊界?Ω充分光滑;參數(shù)α1≥0,β1≥0,α2>0,β2>0;初值(u0(x),v0(x))是非負(fù)非平凡函數(shù),u0(x),v0(x)∈C2+α(Ω)(α∈(0,1)),且滿足相容性條件.
有學(xué)者[1-5]研究了局部或者非局部的拋物方程組初邊值問(wèn)題解的爆破性質(zhì).筆者主要研究爆破解的一致爆破和邊界層估計(jì),在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上得到以下結(jié)論:
定理1若以下任一條件成立:α1>1;β2>1;0<α1≤1,0<β2≤1,β1α2>(α1-1)(β2-1).則對(duì)于大初值,解(u(x,t),v(x,t))在有限時(shí)刻爆破.
證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]中的定理2.
定理2設(shè)(u(x,t),v(x,t))是方程組初邊值問(wèn)題(1)的解,若u(x,t)和v(x,t)在有限時(shí)刻同時(shí)爆破,則參數(shù)滿足α2≥α1-1,β1≥β2-1,或者α2<α1-1,β1<β2-1.
定理3設(shè)(u(x,t),v(x,t))是方程組初邊值問(wèn)題(1)的解,且在有限時(shí)刻爆破,若α2≥α1-1,β1≥β2-1,則u(x,t)和v(x,t)同時(shí)爆破.
定理4假設(shè)定理2的條件成立,則在Ω的任意緊子集上一致成立:
(ⅰ)當(dāng)α2>α1-1,β1>β2-1,β1α2>(α1-1)(β2-1), 或者α2<α1-1,β1<β2-1時(shí),
(ⅱ)當(dāng)α2=α1-1,β1>β2-1時(shí),
(ⅲ)當(dāng)α2>α1-1,β1=β2-1時(shí),
(ⅳ)當(dāng)α2=α1-1,β1=β2-1時(shí),
定理5假設(shè)定理4(ⅰ)的條件成立,則對(duì)于所有的C,存在t0∈(0,T),k2≥k1>0,使得
定理6假設(shè)定理4(ⅰ)的條件成立,且θ1>1,θ2>1,則存在k3>0,t0∈(0,T),對(duì)于?(x,t)∈Ω×[t0,T),有
為了方便,記
定義1設(shè)f1(t)和f2(t)是定義在[0,T)的函數(shù),若存在0 引理1[5]假設(shè)定理2的條件成立,則 0≤u(x,t)≤k2+F1(t),0≤v(x,t)≤k2+F2(t); (ⅲ)在Ω的任意緊子集上一致成立 如果僅假定u在有限時(shí)刻T爆破,那么這些結(jié)論對(duì)u和F1成立;同理,如果僅假定v在有限時(shí)刻T爆破,那么這些結(jié)論對(duì)v和F2成立. 定理2的證明由引理1(ⅲ)可知u(x,t)~F1(t),v(x,t)~F2(t),因此 (2) 由(2)式可知 (3) 當(dāng)α2≥α1-1時(shí),假定β1<β2-1.對(duì)(3)式兩邊積分,分2種情況來(lái)討論:當(dāng)α2=α1-1時(shí),有 當(dāng)α2>α1-1時(shí),有 類(lèi)似地,可以證明α2<α1-1,β1<β2-1. 證畢. 定理3的證明假定u在有限時(shí)刻爆破,v在Ω×(0,T)非負(fù)有界,由引理1(ⅲ)可知u(x,t)~F1(t),因此 因?yàn)関(x,t)非負(fù)有界,所以在Ω×(0,T)上,v(x,t)≥k>0,其中k>0.于是存在常數(shù)0 (4) (5) 由(5)式可得 證畢. 為了證明定理4,先引入如下結(jié)果: 引理2假設(shè)定理2的條件成立,則有: (ⅰ)當(dāng)α2>α1-1,β1>β2-1,或者α2<α1-1,β1<β2-1時(shí), (ⅳ)當(dāng)α2=α1-1,β1=β2-1時(shí),lnF1(t)~lnF2(t). 證明因?yàn)?/p> 所以 (6) (ⅰ)當(dāng)α2>α1-1,β1>β2-1時(shí),對(duì)(6)式兩邊從t0(>0)到t積分,可得 (ⅱ)當(dāng)α2=α1-1,β1>β2-1時(shí), (7) 對(duì)(7)式兩邊從t0(>0)到t積分,可得 (ⅲ)當(dāng)α2>α1-1,β1=β2-1時(shí), (8) 對(duì)(8)式兩邊從t0(>0)到t積分,可得 (ⅳ)當(dāng)α2=α1-1,β1=β2-1時(shí), (9) 對(duì)(9)式兩邊從t0(>0)到t積分,可得 于是lnF1(t)~lnF2(t). 證畢. 定理4的證明 (10) (11) (ⅰ)當(dāng)α2>α1-1,β1>β2-1,或者α2<α1-1,β1<β2-1時(shí).由(10)式和引理2(ⅰ),有 于是 即 (12) 由 (13) 從而,在Ω的任意緊子集一致成立 故 同理,在Ω的任意緊子集一致成立 (ⅱ)當(dāng)α2=α1-1,β1>β2-1時(shí).由引理2(ⅱ),有 于是 (14) (15) 根據(jù)L′Hospital法則,有 所以 (16) 由(15),(16)式可得 (17) 由u(x,t)~F1(t)在Ω的緊子集一致成立,令 即 從而 (ⅲ)當(dāng)α2>α1-1,β1=β2-1時(shí).證明與(ⅱ)類(lèi)似,可得 (ⅳ)當(dāng)α2=α1-1,β1=β2-1時(shí).由(10),(11)式可得 (18) (19) 由(18),(19)式可得 于是 (20) 由引理2(ⅳ)可知lnF1(t)~lnF2(t),即 因此在Ω的任意緊子集一致成立 證畢. 作為討論的基礎(chǔ),引用文獻(xiàn)[5]中關(guān)于單個(gè)方程問(wèn)題 (21) 引理3[5]假設(shè)g(t)≥0,w是問(wèn)題(21)的解,且在有限時(shí)刻T爆破.若g(t)是標(biāo)準(zhǔn)的,則對(duì)于?C>0,存在t0∈(0,T),k2≥k1>0,使得 引理4[5]假設(shè)g(t)≥0,在[0,T)上連續(xù),在(0,T)上H?lder連續(xù),w是問(wèn)題(21)的解,在有限時(shí)刻T爆破,且w0(Ω)∈C0(Ω).若G1(t)是標(biāo)準(zhǔn)的,則存在k3>0,t0∈(0,T),使得 定理5的證明由定理4(ⅰ),有 已知f1(t),f2(t)在[0,T)上連續(xù),在(0,T)上H?lder連續(xù).由θ1>1,θ2>1,可得 (22) (23) 證畢. 定理6的證明 (24) (25) 對(duì)(24),(25)式積分,可得 經(jīng)過(guò)計(jì)算可得 同理可得 因?yàn)?θ1<-1,-θ2<-1,所以F1(t),F(xiàn)2(t)是標(biāo)準(zhǔn)的.由引理4可得 (26) (27) 于是由(22),(23),(26),(27)式可得: 證畢.3 邊界層估計(jì)