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非局部拋物方程組解的一致爆破及邊界層估計(jì)*

2021-05-11 14:07林志強(qiáng)
關(guān)鍵詞:邊界層子集拋物

林志強(qiáng)

(福州理工學(xué)院,福建 福州 350506)

1 主要結(jié)果

考慮如下具有非局部化反應(yīng)源項(xiàng)的拋物型方程組初邊值問(wèn)題的正解:

(1)

其中:Ω?RN(N≥1)為有界區(qū)域,邊界?Ω充分光滑;參數(shù)α1≥0,β1≥0,α2>0,β2>0;初值(u0(x),v0(x))是非負(fù)非平凡函數(shù),u0(x),v0(x)∈C2+α(Ω)(α∈(0,1)),且滿足相容性條件.

有學(xué)者[1-5]研究了局部或者非局部的拋物方程組初邊值問(wèn)題解的爆破性質(zhì).筆者主要研究爆破解的一致爆破和邊界層估計(jì),在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上得到以下結(jié)論:

定理1若以下任一條件成立:α1>1;β2>1;0<α1≤1,0<β2≤1,β1α2>(α1-1)(β2-1).則對(duì)于大初值,解(u(x,t),v(x,t))在有限時(shí)刻爆破.

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]中的定理2.

定理2設(shè)(u(x,t),v(x,t))是方程組初邊值問(wèn)題(1)的解,若u(x,t)和v(x,t)在有限時(shí)刻同時(shí)爆破,則參數(shù)滿足α2≥α1-1,β1≥β2-1,或者α2<α1-1,β1<β2-1.

定理3設(shè)(u(x,t),v(x,t))是方程組初邊值問(wèn)題(1)的解,且在有限時(shí)刻爆破,若α2≥α1-1,β1≥β2-1,則u(x,t)和v(x,t)同時(shí)爆破.

定理4假設(shè)定理2的條件成立,則在Ω的任意緊子集上一致成立:

(ⅰ)當(dāng)α2>α1-1,β1>β2-1,β1α2>(α1-1)(β2-1), 或者α2<α1-1,β1<β2-1時(shí),

(ⅱ)當(dāng)α2=α1-1,β1>β2-1時(shí),

(ⅲ)當(dāng)α2>α1-1,β1=β2-1時(shí),

(ⅳ)當(dāng)α2=α1-1,β1=β2-1時(shí),

定理5假設(shè)定理4(ⅰ)的條件成立,則對(duì)于所有的C,存在t0∈(0,T),k2≥k1>0,使得

定理6假設(shè)定理4(ⅰ)的條件成立,且θ1>1,θ2>1,則存在k3>0,t0∈(0,T),對(duì)于?(x,t)∈Ω×[t0,T),有

2 一致爆破模式

為了方便,記

定義1設(shè)f1(t)和f2(t)是定義在[0,T)的函數(shù),若存在0

引理1[5]假設(shè)定理2的條件成立,則

0≤u(x,t)≤k2+F1(t),0≤v(x,t)≤k2+F2(t);

(ⅲ)在Ω的任意緊子集上一致成立

如果僅假定u在有限時(shí)刻T爆破,那么這些結(jié)論對(duì)u和F1成立;同理,如果僅假定v在有限時(shí)刻T爆破,那么這些結(jié)論對(duì)v和F2成立.

定理2的證明由引理1(ⅲ)可知u(x,t)~F1(t),v(x,t)~F2(t),因此

(2)

由(2)式可知

(3)

當(dāng)α2≥α1-1時(shí),假定β1<β2-1.對(duì)(3)式兩邊積分,分2種情況來(lái)討論:當(dāng)α2=α1-1時(shí),有

當(dāng)α2>α1-1時(shí),有

類(lèi)似地,可以證明α2<α1-1,β1<β2-1.

證畢.

定理3的證明假定u在有限時(shí)刻爆破,v在Ω×(0,T)非負(fù)有界,由引理1(ⅲ)可知u(x,t)~F1(t),因此

因?yàn)関(x,t)非負(fù)有界,所以在Ω×(0,T)上,v(x,t)≥k>0,其中k>0.于是存在常數(shù)0

(4)

(5)

由(5)式可得

證畢.

為了證明定理4,先引入如下結(jié)果:

引理2假設(shè)定理2的條件成立,則有:

(ⅰ)當(dāng)α2>α1-1,β1>β2-1,或者α2<α1-1,β1<β2-1時(shí),

(ⅳ)當(dāng)α2=α1-1,β1=β2-1時(shí),lnF1(t)~lnF2(t).

證明因?yàn)?/p>

所以

(6)

(ⅰ)當(dāng)α2>α1-1,β1>β2-1時(shí),對(duì)(6)式兩邊從t0(>0)到t積分,可得

(ⅱ)當(dāng)α2=α1-1,β1>β2-1時(shí),

(7)

對(duì)(7)式兩邊從t0(>0)到t積分,可得

(ⅲ)當(dāng)α2>α1-1,β1=β2-1時(shí),

(8)

對(duì)(8)式兩邊從t0(>0)到t積分,可得

(ⅳ)當(dāng)α2=α1-1,β1=β2-1時(shí),

(9)

對(duì)(9)式兩邊從t0(>0)到t積分,可得

于是lnF1(t)~lnF2(t).

證畢.

定理4的證明

(10)

(11)

(ⅰ)當(dāng)α2>α1-1,β1>β2-1,或者α2<α1-1,β1<β2-1時(shí).由(10)式和引理2(ⅰ),有

于是

(12)

(13)

從而,在Ω的任意緊子集一致成立

同理,在Ω的任意緊子集一致成立

(ⅱ)當(dāng)α2=α1-1,β1>β2-1時(shí).由引理2(ⅱ),有

于是

(14)

(15)

根據(jù)L′Hospital法則,有

所以

(16)

由(15),(16)式可得

(17)

由u(x,t)~F1(t)在Ω的緊子集一致成立,令

從而

(ⅲ)當(dāng)α2>α1-1,β1=β2-1時(shí).證明與(ⅱ)類(lèi)似,可得

(ⅳ)當(dāng)α2=α1-1,β1=β2-1時(shí).由(10),(11)式可得

(18)

(19)

由(18),(19)式可得

于是

(20)

由引理2(ⅳ)可知lnF1(t)~lnF2(t),即

因此在Ω的任意緊子集一致成立

證畢.

3 邊界層估計(jì)

作為討論的基礎(chǔ),引用文獻(xiàn)[5]中關(guān)于單個(gè)方程問(wèn)題

(21)

引理3[5]假設(shè)g(t)≥0,w是問(wèn)題(21)的解,且在有限時(shí)刻T爆破.若g(t)是標(biāo)準(zhǔn)的,則對(duì)于?C>0,存在t0∈(0,T),k2≥k1>0,使得

引理4[5]假設(shè)g(t)≥0,在[0,T)上連續(xù),在(0,T)上H?lder連續(xù),w是問(wèn)題(21)的解,在有限時(shí)刻T爆破,且w0(Ω)∈C0(Ω).若G1(t)是標(biāo)準(zhǔn)的,則存在k3>0,t0∈(0,T),使得

定理5的證明由定理4(ⅰ),有

已知f1(t),f2(t)在[0,T)上連續(xù),在(0,T)上H?lder連續(xù).由θ1>1,θ2>1,可得

(22)

(23)

證畢.

定理6的證明

(24)

(25)

對(duì)(24),(25)式積分,可得

經(jīng)過(guò)計(jì)算可得

同理可得

因?yàn)?θ1<-1,-θ2<-1,所以F1(t),F(xiàn)2(t)是標(biāo)準(zhǔn)的.由引理4可得

(26)

(27)

于是由(22),(23),(26),(27)式可得:

證畢.

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