廣東省中山市第一中學(xué)(528400) 宋海培

2020年的廣東省中考已落下帷幕,各市的評(píng)卷工作也已完成.筆者參與了廣東省中考數(shù)學(xué)第22 題(圓的綜合題)的評(píng)卷工作,目睹了同學(xué)們五花八門的解答.經(jīng)過評(píng)卷后的統(tǒng)計(jì),本題平均分僅為2.8 分(滿分8 分),平均得分率為0.35,可見同學(xué)們的回答并不理想.這道題可以怎樣解? 這道題相關(guān)的圖形結(jié)構(gòu)還有哪些可以總結(jié)的性質(zhì)? 其他省市的數(shù)學(xué)中考對(duì)這些性質(zhì)是否有過考查? 我們?cè)诮虒W(xué)中該怎么做? 這引起了我的很多思考,現(xiàn)整理出來,供大家參考.

1 原題呈現(xiàn)

如圖1,在四邊形ABCD中,AD//BC,∠DAB= 90°,AB是⊙O的直徑,CO平分∠BCD.

(1)求證: 直線CD與⊙O相切;

(2)如圖2,記(1)中的切點(diǎn)為E,P為優(yōu)弧上一點(diǎn),AD=1,BC=2,求tan ∠APE的值.

圖1

圖2

2 解法評(píng)析

(1)證明: 如圖3,過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E.

∵AD//BC, ∠DAB=90°, ∴∠OBC= 180° -∠DAB= 90°, 即OB⊥BC.∵CO平分∠BCD,OE⊥CD,OB⊥BC, ∴OB=OE.∵AB是⊙O的直徑,∴OB是⊙O的半徑, ∴OE也是⊙O的半徑.∴直線CD與⊙O相切.

圖3

解法評(píng)析(1): ①,切線的判定通常認(rèn)為有兩種常見題型及對(duì)應(yīng)方法:本題的切線證明屬于“無交點(diǎn): 作垂直,證半徑”這一類型,即⊙O與直線CD的公共點(diǎn)尚未明晰,所以可以采取先作垂線段OE,再證明這條垂線段的長(zhǎng)度等于圓的半徑,從而證明直線CD是⊙O的切線;

②,利用角平分線性質(zhì)證明線段相等,也可通過全等來證明;

③,說明垂線段OE等于半徑;

④,直線CD經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑,是圓的切線.

以上是本題的常規(guī)解法, 在評(píng)卷過程中發(fā)現(xiàn)了個(gè)別學(xué)生的其他解法, 同樣達(dá)到了證明切線的目的.如采用下面的思路: 在CD上截取CE=CB, 用SAS 證得ΔBCO∽= ΔECO, 進(jìn)一步可同樣得到OE⊥CD以及OB=OE,所以直線CD與⊙O相切.

(2)解: 如圖4,連接OD,∵直線CD、AD、CB與⊙O相切, ∴AD=DE= 1,BC=CE= 2, ∠ADO= ∠EDO,∠BCO=∠ECO,∴∠AOD=∠EOD,CD= 3.∠AOD.∵AD//BC,∴∠ADE+∠BCE=180°,∴∠ODE+∠OCE= 90°, ∴∠DOC= 90°.∵OE⊥CD, ∠ODE=∠CDO,∴ΔODE∽ΔCDO,∴OD=∴在RtΔAOD中,OA=∴tan ∠AOD=

圖4

解法評(píng)析(2): ⑤,因?yàn)椤螦PE的三角函數(shù)不容易直接求得,進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵一步.此處的方法是結(jié)合圓周角定理和切線長(zhǎng)定理將∠APE轉(zhuǎn)移至∠AOD,也可以轉(zhuǎn)移到其他角,如∠ABE.這決定了接下來的具體求解路徑,不同的解法亦可由此而發(fā)端.

⑥,運(yùn)用切線長(zhǎng)定理和相似等知識(shí)求得相關(guān)數(shù)據(jù).此部分的具體求解方法也較多,相關(guān)的圖形性質(zhì)很豐富,在后面詳細(xì)論述.

⑦,運(yùn)用三角函數(shù)的定義和等量代換求得答案.

以上是第(2)題的一種解法(解法1),若將∠APE轉(zhuǎn)換為∠ABE,在ΔABE中進(jìn)行求解也可,具體如下.

圖5

解法2: 如圖5, 連接BE, 延 長(zhǎng)AE交BC延 長(zhǎng)線于點(diǎn)F, 由得∠APE=∠ABE,∵AD//BC,∴∠DAE= ∠CFE, 易 得ΔADE∽ ΔFCE,AD=DE= 1,CE=BC= 2,根據(jù)射影定理有BE2=AE · EF, ∴tan ∠APE= tan ∠ABE=

解法2 不需具體求出半徑長(zhǎng),只需挖掘出AE與BE的關(guān)系即可,顯得更簡(jiǎn)捷.這當(dāng)然需要解題者有不斷總結(jié)反思從而形成的敏銳的解題感覺.解法2 在挖掘AE與BE的關(guān)系時(shí)用到射影定理這一基本圖形的相關(guān)知識(shí).實(shí)際上,在前面的解法1 中,同樣可以運(yùn)用射影定理獲得另外的解題路徑.

解法3: 如圖4,在RtΔCOD中由OE2=ED·EC求得OE=即OA=以下略.

本題還有其他解法, 如解法4: 作DH⊥BC, 得BH=AD= 1 =CH, 由勾股定理求得DH==AB, 故OA=(以下略).這是典型的梯形輔助線解法,也是一種比較容易想到的解法.

3 拓展研究

從以上解法評(píng)析可以看到,本題的圖形結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含了豐富的性質(zhì),值得進(jìn)行研究和總結(jié)梳理,具體如下.

如圖6,已知AB是⊙O的直徑,AD和BC是⊙O的兩條切線,DC與⊙O相切于點(diǎn)E,連接BE、OC相交于點(diǎn)F,連接OD、AE相交于點(diǎn)H.圖中蘊(yùn)含的豐富性質(zhì)包括但不限于以下(證明不難,此處略):

圖6

(1)全等三角形有: ΔAOD∽= ΔEOD,ΔBOC∽= ΔEOC,ΔBCF∽= ΔECF,ΔADH∽= ΔEDH,ΔAOH∽= ΔEOH∽= ΔOEF∽= ΔOBF;

(2)相等的線段有:AD=DE,BC=EC,FB=FE=OH,AH=EH=OF,AO=EO=BO=r等;

(3) 具有2 倍關(guān)系的線段有:BE= 2OH(中位線) ,AE=2OF(中位線),AB=2OE(斜邊上中線)等;

(4) 角平分線有:OD平分∠ADC,OD平分∠AOE,OC平分∠BCD,OC平分∠BOE;

(5) 相等的角有: ①∠DAE= ∠AOD= ∠EOD=∠DEA=∠OEB=∠OCE=∠OCB=∠OBE,

②∠ODA= ∠ODE= ∠OAE= ∠OEA=∠COE=∠BOC=∠CEB=∠CBE,

③∠COD=∠AEB=∠AHO=∠BFO=90°等;

(6) 相似三角形有: ΔDAH∽ΔAOH∽ΔDOA∽ΔOCB∽ΔBCF∽ΔOBF∽ΔDCO∽ΔABE等;

(7)平行關(guān)系有:CO//AE,DO//BE,AD//BC等;

(8) 垂直關(guān)系有:OA ⊥ AD,OB ⊥ BC,OD ⊥AE,OC ⊥BE,OE ⊥CD,AE ⊥BE等;

(9)特殊四邊形有: 四邊形OFEH是矩形;

(10)重要線段關(guān)系還有:AD+BC=CD,AD·BC=OA2=OE2=ED·EC=r2,DO·BE=CO·AE=2r2.

4 他山之玉

當(dāng)我們對(duì)以上圖形結(jié)構(gòu)以及蘊(yùn)含的圖形關(guān)系有深入的了解后,2020年廣東省中考數(shù)學(xué)第22 題以及許多類似的題目解決起來思路就可以開闊得多,達(dá)到“左右逢源”、“條條大路通羅馬”的境界.下面我們一起來欣賞其他省市對(duì)以上圖形結(jié)構(gòu)的考查,這里只簡(jiǎn)要列舉幾例.

1.(2018 大慶中考)如圖7,∠B= ∠C= 90°,M是BC的中點(diǎn),DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,則∠MAB=( ).

A.30°B.35°C.45°D.60°

圖7

圖8

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DAB.如圖8,作MN⊥AD于N,結(jié)合角平分線的性質(zhì)和判定求得∠MAB.

【簡(jiǎn)評(píng)】若剔除圓的背景,2020年廣東省中考數(shù)學(xué)第22題實(shí)際上蘊(yùn)含本題的結(jié)構(gòu).

2.(2019 武漢中考)已知AB是⊙O的直徑,AM和BN是⊙O的兩條切線,DC與⊙O相切于點(diǎn)E, 分別交AM、BN于D、C兩點(diǎn).

(1)如圖9,求證:AB2=4AD·BC;

(2)如圖10,連接OE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F,連接CF.若∠ADE=2∠OFC,DA=1,求圖中陰影部分的面積.

圖9

圖10

【分析】(1)如圖11,連接OD,OC,OE.∵AM,BN,CD是⊙O的切線,∴OA⊥AD,OB⊥BC,OE⊥CD,AD=DE,BC=EC, ∠ODE=∴AD//BC, ∠ODE+ ∠OCE=(∠ADC+∠BCD) =90°.∵∠ODE+ ∠DOE= 90°, ∴∠OCE= ∠DOE.又∵∠OED= ∠CEO= 90°, ∴ΔODE∽ΔCOE.OE2=ED · EC, ∴4OE2= 4ED · EC, ∴AB2=4AD·BC.

圖11

圖12

(2)解: 如圖12,由(1)知∠ADE=∠BOE,∵∠ADE=2∠OFC,∠BOE= 2∠COF,∴∠OFC= ∠COF,∴ΔCOF是等腰三角形.∵OE⊥CD,∴CD垂直平分OF.∴∠AOD=∠DOE= ∠OFD= 30°, ∠BOE= 120°.∴r=OA=BC=OB ·tan 60°= 3.∴陰影部分的面積S=

【簡(jiǎn)評(píng)】本題較充分地展示了前面總結(jié)的圖形性質(zhì)的運(yùn)用.

3.(2016 鄂州中考) 如圖13 所示,AB是⊙O的直徑,AM和BN是⊙O的兩條切線,DC與⊙O相切于點(diǎn)E,連接OD、OC、BE、AE,BE與OC相交于點(diǎn)P,AE與OD相交于點(diǎn)Q,已知AD=4,BC=9.以下結(jié)論:

①⊙O的半徑為②DO//BE, ③PB=④tan ∠CEP=

其中正確的結(jié)論有( )

A.1 個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D.4 個(gè)

圖13

圖14

【分析】 ①如圖14,過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,∵AM和BN是⊙O的兩條切線, ∴AB⊥AD,AB⊥BC, ∴四邊形ABFD是矩形, ∴AD=FB,AB=FD, 又∵AD= 4,BC=9,∴FC=9-4=5,∵AM,BN,CD是⊙O的切線,∴AD=DE,BC=EC,∴DC= 9+4 = 13,在RtΔDFC中,DC2=DF2+FC2, ∴DF== 12,∴AB=FD=12,∴⊙O的半徑是6.故①錯(cuò)誤;

②如圖15, 連接OE,∵AD,ED是⊙O的切線,∴AD=DE, ∠OAD=∠DEO= 90°, 又∵OD=OD,∴ΔAOD∽= ΔEOD,∴∠AOD= ∠EOD=∴∠AOD= ∠ABE,∴DO//BE.故②正確;

圖15

③根據(jù)勾股定理得,OC=由①知OB= 6, 易知ΔOPB∽ΔOBC, 則∴PB=故③正確;

④易知∠CEP ＞∠ECP, 所以CP ＞ EP, 故tan ∠CEP ＞1,故tan ∠CEP=錯(cuò)誤.

綜上,正確的答案為: B.

【簡(jiǎn)評(píng)】本題充分展示了本文所探討的這個(gè)典型圖形的性質(zhì).熟練使用前面總結(jié)出的方法和結(jié)論,不難快速解出此題.

5 教學(xué)啟示

最近八年(2013年到2020年),廣東省中考數(shù)學(xué)試卷的幾何綜合題都是用圓的綜合題來把關(guān)考查學(xué)生的推理素養(yǎng).這些圓的綜合題雖然千變?nèi)f化,但是善于總結(jié)基本圖形、具有較高推理素養(yǎng)的學(xué)生就能很好地解決.

基本圖形具有典型性和生長(zhǎng)性.教材中的基本概念、基本方法、基本原理對(duì)應(yīng)的圖形還有一些典型的例題與習(xí)題都是基本圖形(典型圖形)的重要來源.如本文重點(diǎn)分析的2020年廣東省中考數(shù)學(xué)第22 題第(1)小題實(shí)際上與人教版九上教材第98 頁中的例1 大同小異(類型相同,方法相通,形式有異).另外人教版九上教材第102 頁習(xí)題中的第11 題,第125 頁復(fù)習(xí)題中的第15 題均有與本題高度相似的圖形結(jié)構(gòu).如果平時(shí)做好相關(guān)的訓(xùn)練以及注意解題后的總結(jié),這道廣東省的中考題是不難攻克的.

引導(dǎo)學(xué)生分析和總結(jié)基本圖形(典型圖形)是提高推理素養(yǎng)的重要途徑.我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本圖形的研究和整理歸納,在分析和總結(jié)基本圖形的過程中不斷落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、夯實(shí)基本技能,積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)基本思想,從而切實(shí)提高分析問題、解決問題的能力,提高推理素養(yǎng).