論整合思想在高中數(shù)學(xué)中教學(xué)的應(yīng)用探究*

2021-12-28 15:41廣東省廣州市第四十一中學(xué)510250謝衛(wèi)煌

中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2021年8期

廣東省廣州市第四十一中學(xué)(510250) 謝衛(wèi)煌

1 整合課程教學(xué)目標(biāo),謀求學(xué)生真實(shí)學(xué)習(xí)

教學(xué)目標(biāo)對(duì)課堂這艘航船將要駛向何方? 學(xué)生將要達(dá)成什么樣的生成效果, 并且達(dá)成意料中甚至更好的教學(xué)效果,起著決定性的作用.應(yīng)該說,教學(xué)目標(biāo)的確立已經(jīng)引起越來越多業(yè)內(nèi)人士的重視,但是,我也非常遺憾地見到,許多地方、許多課堂的教學(xué)目標(biāo)仍然是那種普通的“三維目標(biāo)”,教條而規(guī)范,簡(jiǎn)單而生硬,寬泛而空洞,這樣目標(biāo)的確立適用于任何一個(gè)課堂,適用于任何一個(gè)層次的學(xué)生,適用于任何一種版本的教材,那還有什么針對(duì)性呢?

教學(xué)目標(biāo)是關(guān)于教學(xué)將使學(xué)生發(fā)生何種變化的確定的表述,指在教學(xué)組織中期待學(xué)生獲得怎樣的學(xué)習(xí)結(jié)果.目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)是在教學(xué)環(huán)境中提供特定的刺激,以引起學(xué)生特定的反應(yīng).斯金納提出“教學(xué)就是如何安排可能發(fā)生強(qiáng)化的事件以促進(jìn)學(xué)習(xí)”.于是教學(xué)目標(biāo)設(shè)定要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)對(duì)特定教學(xué)刺激做出學(xué)習(xí)反應(yīng)的機(jī)會(huì),在學(xué)生做出反應(yīng)后應(yīng)及時(shí)給與反饋.因此,教學(xué)目標(biāo)設(shè)定得越具體、越精確越好,這既有利于教師對(duì)教學(xué)環(huán)境創(chuàng)設(shè)的把握,同時(shí)也保證了學(xué)生準(zhǔn)確的獲得相關(guān)學(xué)習(xí)信息[1].正如波利亞指出的那樣: 目標(biāo)啟示著手段,對(duì)目標(biāo)的考慮可能會(huì)啟發(fā)找到一個(gè)途徑,即問題就會(huì)一個(gè)接著一個(gè)找出來.

目標(biāo)是教學(xué)活動(dòng)中預(yù)期達(dá)到的效果,是課堂的靈魂.例如“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”學(xué)習(xí)目標(biāo)案例:

(1)了解橢圓的定義,識(shí)別橢圓圖像的特征.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程(如2019年10月5日衛(wèi)星發(fā)射成功);探究抽象出橢圓定義,并用數(shù)學(xué)語言予以表征,促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展;

(2)了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程,掌握橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程表示形式,會(huì)根據(jù)條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.探究運(yùn)算思路,感悟選擇“適合”的坐標(biāo)系的意義和價(jià)值,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);掌握標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式,進(jìn)一步體會(huì)解析法研究幾何問題的思維過程;

(3)理解參數(shù)a,b,c三者之間的關(guān)系及幾何意義,掌握用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,會(huì)根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;

(4)題組訓(xùn)練,感受在不同條件下數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的意義,并體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

一般來講,教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì),一定要體現(xiàn)以下幾個(gè)基本要素: 目標(biāo)具體準(zhǔn)確,容易操作;具有層次性和可測(cè)量性;注重生成什么知識(shí),怎樣生成知識(shí),不僅有清晰的指向,更有清晰的路徑.

2 整合目標(biāo)落實(shí)情境,促進(jìn)學(xué)習(xí)有效生成

從古到今,人們?cè)诓粩嗵剿鹘虒W(xué)過程中主體和客體處于什么樣的情況下,學(xué)生掌握知識(shí)最有效、落實(shí)目標(biāo)最有效,一線教師也總在試圖尋求一種比較理想的目標(biāo)達(dá)成方式.

數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在合理的教學(xué)過程中引導(dǎo)和幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地、自然地提出問題、解決問題、拓展問題,在潛移默化中優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).教學(xué)中會(huì)經(jīng)常遇到這類問題: 學(xué)生已經(jīng)聽懂一個(gè)問題但卻不能獨(dú)立自主地解決類似的問題.究其原因,主要不外乎兩點(diǎn),一是學(xué)生沒有真正地認(rèn)識(shí)和把握問題的本質(zhì), 只是停留在能夠接受和表面理解的水平上;二是學(xué)生對(duì)問題解決方法的自然性、合理性缺乏足夠的感受和認(rèn)識(shí),導(dǎo)致所學(xué)的知識(shí)難以遷移并且容易遺忘[2].所以,在課堂教學(xué)中, 要讓學(xué)生在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上引入觀念性知識(shí),并且讓學(xué)生感知知識(shí)的自然發(fā)生,并經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程,掌握解決問題的本質(zhì)方法.所以,在這種課堂中,我覺得教師固然是主體地位,學(xué)生也是主體地位,只是這種課堂更加強(qiáng)調(diào)教師通過精心的教學(xué)設(shè)計(jì),引領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)“知識(shí)的生成”,這就是所謂的“講授課”.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式,不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、演繹證明、反思建構(gòu)等思維過程.除接受學(xué)習(xí)外,動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.這個(gè)時(shí)候,更是學(xué)生的主體生成過程,通過教師主導(dǎo)的教學(xué)活動(dòng)和學(xué)生主動(dòng)的學(xué)習(xí)、探究等活動(dòng)的相互作用,使學(xué)生在知識(shí)獲取、能力發(fā)展、價(jià)值觀形成等方面得到有效促進(jìn).

在實(shí)際教學(xué)中,教師應(yīng)該抓住學(xué)生認(rèn)知知識(shí)的規(guī)律,根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容,設(shè)計(jì)不同的教學(xué)模式,發(fā)揮學(xué)生與教師不同的地位與作用,一切從目標(biāo)落實(shí)出發(fā),創(chuàng)設(shè)學(xué)生目標(biāo)有效達(dá)成、知識(shí)有效生成的情境.

3 整合數(shù)學(xué)知識(shí)主干,明細(xì)知識(shí)發(fā)生脈絡(luò)

高中數(shù)學(xué)新教材已經(jīng)在2020年9月正式使用,我們可以看到,新教材在知識(shí)主干方面進(jìn)行了不少的整合.

例如,以往一線教師一直主張初高中銜接應(yīng)該滲透一元二次函數(shù)、方程與不等式問題,雖然教材沒有這方面的內(nèi)容,但是教師們都會(huì)花一周左右的課時(shí)補(bǔ)充這個(gè)內(nèi)容,值得欣慰的是,新教材中已經(jīng)補(bǔ)充了這個(gè)內(nèi)容,并且和基本不等式整合在一起,通過這樣的整合,兩個(gè)本來聯(lián)系緊密的內(nèi)容互相滲透,融合建構(gòu),使整個(gè)教材更加系統(tǒng),更加科學(xué),給教學(xué)帶來省時(shí)、高效的作用.又如,“常用邏輯用語”內(nèi)容,也與“集合”內(nèi)容整合到一起.再有一個(gè)典型的例子: 在舊教材中,關(guān)于“統(tǒng)計(jì)案例”與“統(tǒng)計(jì)”的教學(xué),由于必、選內(nèi)容分開,給一線教師帶來不少困惑:

首先,知識(shí)的關(guān)聯(lián)度高,特別是回歸分析部分,但是分成了兩個(gè)時(shí)段去學(xué)習(xí),導(dǎo)致知識(shí)缺乏系統(tǒng)性,在學(xué)習(xí)選修2-3 時(shí)不得不重復(fù)必修3 的內(nèi)容.一些概念如“樣本點(diǎn)的中心”在介紹線性回歸方程的時(shí)候就應(yīng)該學(xué),卻放在了后面.

其次,在學(xué)習(xí)必修三的“線性回歸分析”時(shí),學(xué)生對(duì)所作的散點(diǎn)圖有不一定是線性的感覺,急切想知道怎么分辨、哪個(gè)更好、以及如果不是線性的情況的一些解決方法,但是教材內(nèi)容沒有延伸,直到選修2-3 時(shí)再涉及.

第三、“獨(dú)立性檢驗(yàn)”由于要用到隨機(jī)變量K2的分布列,放在選修2-3 最后學(xué)習(xí)比較自然,但“回歸分析”這一塊就顯得比較突兀,它所用到的“轉(zhuǎn)化與化歸的思想”要求比較高,太早學(xué)習(xí),學(xué)生的理解能力有限.

鑒于此,我們對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)主干進(jìn)行如下整合,先突出線性回歸模型,強(qiáng)調(diào)用線性回歸方程擬合兩個(gè)變量關(guān)系的一般步驟:

作散點(diǎn)圖,判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近; 若散點(diǎn)分布在一條直線附近(即線性相關(guān)),則用回歸方程的系數(shù)公式求出a,b的值;寫出線性回歸方程.

再針對(duì)學(xué)生對(duì)非線性的疑問,把選修2-3 的有關(guān)內(nèi)容補(bǔ)充上來,即隨機(jī)誤差、殘差、相關(guān)系數(shù).給學(xué)生建構(gòu)整個(gè)回歸分析模型的方法思路: 非線性→線性→非線性,有利于學(xué)生對(duì)整個(gè)回歸模型的認(rèn)識(shí)與理解, 更好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心思想.

關(guān)于高中數(shù)學(xué)知識(shí)主干的整合,不僅在大單元中應(yīng)該引入整合思想,積極對(duì)知識(shí)主干進(jìn)行改造與重組,在具體到某一節(jié)或者小單元甚至課時(shí)任務(wù)的教學(xué)中同樣應(yīng)該進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)的改造與重組.

對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來說,我們應(yīng)該用教材教,而不是教教材,這一點(diǎn),對(duì)于任何一個(gè)教師來說都是必須遵循的.因?yàn)閿?shù)學(xué)教材的編寫者一般采用學(xué)生易于理解、便于接受的方式呈現(xiàn)知識(shí),即所用材料都是經(jīng)過教育心理學(xué)理論加工而成的: 省去了知識(shí)的形成過程,問題的條件與結(jié)論都是經(jīng)過抽象、理想化形成的,推理無疑也是正確的[3].從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的歷史來看,我們很需要對(duì)教材的每一章、每一節(jié)進(jìn)行重新的改組或整合,從注重“知識(shí)的生成”角度下苦功夫,才能讓學(xué)生學(xué)得深刻,學(xué)得透徹,學(xué)得歷久彌新.

4 整合知識(shí)生長(zhǎng)情境,提升學(xué)生轉(zhuǎn)化能力

“情境”在新高考評(píng)價(jià)體系中,具有突出重要的位置,正確理解“情境”概念,準(zhǔn)確判斷試題所設(shè)置的情境,對(duì)于正確理解試題,準(zhǔn)確答題,具有重要作用.近幾年,全國(guó)高考數(shù)學(xué)題中不僅連續(xù)出現(xiàn)了以“情境”為載體的考題,而且越來越受到重視.一線教學(xué)中,也正在引起教師們的廣泛實(shí)踐,應(yīng)該說“情境教學(xué)”已成為培養(yǎng)學(xué)生綜合、應(yīng)用、創(chuàng)新能力的重要載體,也是高考增分、提分的重要突破口.

而實(shí)際上,在教學(xué)中存在著重外在情境啟發(fā),輕內(nèi)在的情境啟發(fā).

例如,已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex,

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)m ＞n ＞0 時(shí),證明nem+m ＞men+n.

其中第(1)問源于學(xué)習(xí)再現(xiàn)情境,重點(diǎn)考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用等必備知識(shí),在基礎(chǔ)性的層次上考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力.

第(2)問所選取的情境材料源于“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”的課程練習(xí).因?yàn)檫\(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與求解目標(biāo)之間關(guān)聯(lián)不明顯,所以,所創(chuàng)設(shè)的試題情境屬于內(nèi)在遷移情境.學(xué)生的情境活動(dòng)整體依賴于情境材料的把握: 在函數(shù)的背景下,將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為進(jìn)一步聯(lián)系到函數(shù)g(x) =在(0,+∞)上單調(diào)性.這樣的情境活動(dòng)清晰地表明,在教學(xué)中,應(yīng)該尤其重視內(nèi)在的情境啟發(fā),見樹更見森林.第(2)問在綜合性與創(chuàng)造性的層次上考查了數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等學(xué)科素養(yǎng),考查了理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、創(chuàng)新實(shí)踐等關(guān)鍵能力[4].

5 整合數(shù)學(xué)語言的表征形態(tài),訓(xùn)練學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移能力

加涅認(rèn)為,學(xué)習(xí)的遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響,或習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)對(duì)其他活動(dòng)的影響.遷移現(xiàn)象在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是普遍存在的,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移理論對(duì)教師有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)起著理論指導(dǎo)作用,而檢驗(yàn)學(xué)生是否掌握了數(shù)學(xué)知識(shí),就看是否能利用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題或生活實(shí)際問題;是否可以歸納或概括所學(xué)的知識(shí)間的聯(lián)系;是否可以將已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行改組來形成新的數(shù)學(xué)知識(shí)解決新的數(shù)學(xué)問題.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移受很多因素的影響,特別是學(xué)習(xí)材料的相似性.在進(jìn)行新的學(xué)習(xí)時(shí),可通過尋找舊知與新知之間的聯(lián)系,找到共同因素,共同因素越多相似性越大,就越利于遷移[5].

波利亞《怎樣解題》這本書告訴我們,當(dāng)遇到一個(gè)新問題時(shí),回憶以前學(xué)習(xí)過的相關(guān)題目的知識(shí)、解題方法和解題技巧并對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪w移, 用于找到現(xiàn)有問題的解決方案[6].如果不進(jìn)行遷移,即使掌握了基本知識(shí)與基本技能,也不能說掌握了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部?jī)?nèi)容.

在“指對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系”課例的教學(xué)中,教師提出,前面我們學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù),學(xué)習(xí)完一些知識(shí)后,我們要養(yǎng)成一個(gè)習(xí)慣,就是能不能把這些知識(shí)橫向聯(lián)系起來.從聯(lián)系的角度看,你覺得我們今天應(yīng)該研究什么? 研究二者的關(guān)系該如何入手? 你手頭有哪些工具或材料? 你打算如何入手研究? 你如何思考? 從定義和性質(zhì)出發(fā)研究是值得重視的思路,是否考慮過其他的研究思路? 是否還有其他想法?[7]等等,這實(shí)際上是一種語言的藝術(shù)形態(tài),通過語言的疏通,讓學(xué)生找到學(xué)習(xí)的目標(biāo),去主動(dòng)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的問題,養(yǎng)成善于思考的好習(xí)慣.