華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 楊宇佳

導(dǎo)言: 逆向思維,也稱求異思維,它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式.敢于“反其道而思之”,打破思維定勢,讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展,從問題的相反面深入地進行探索,樹立新思想,創(chuàng)立新形象.當(dāng)大家都朝著一個固定的思維方向思考問題時,有人能朝相反的方向思索,這樣的思維方式就叫逆向思維.常見的逆向思維有三種:

(1)反轉(zhuǎn)型逆向思維法: 從已知事物的相反方向(從事物的功能、結(jié)構(gòu)、因果關(guān)系等三個方面)作反向思維進行思考,產(chǎn)生發(fā)明構(gòu)思的途徑.

(2)轉(zhuǎn)換型逆向思維法: 在研究問題時,由于解決這一問題的手段受阻,而轉(zhuǎn)換成另一種手段,或轉(zhuǎn)換思考角度思考,以使問題順利解決的思維方法.

(3)缺點型逆向思維法: 利用事物的缺點,將缺點變?yōu)榭衫玫臇|西,化被動為主動,化不利為有利的思維發(fā)明方法.這種方法不以克服事物的缺點為目的,相反是將缺點化弊為利,找到解決方法.

反證法即利用了逆向思維中的“缺點型逆向思維法”,通常利用反證法的題目,都是因為其從正面直接證明較為困難,這就是“事物的缺點”,這時,我們能否“將缺點變?yōu)榭衫玫臇|西”,即利用要證的命題,將它的其他形式當(dāng)作已知條件來使用,從而簡化問題的證明呢? 這的確是可以的,將要證的命題的否命題假設(shè)為真,也就是“將缺點化弊為利”,再把其當(dāng)作可用的條件之一,根據(jù)原來所給的條件和已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容,推斷出與已知條件相矛盾的結(jié)論,這就證明了我們的假設(shè)不能成立,從而推出了我們想要得到的證明,也就是找到了“解決方法”.

1 數(shù)學(xué)史上反證法的經(jīng)典應(yīng)用——“是無理數(shù)的證明”

例1證明:是無理數(shù).

下面是“缺點型逆向思維法”的應(yīng)用步驟分析:

2 利用“缺點型逆向思維法”分析反證法在不同題型中的應(yīng)用

2.1 在代數(shù)問題中的應(yīng)用

例2設(shè)實數(shù)a,b滿足3a+13b= 17a,5a+7b= 11b,求證a ＜b.

分析: 1)事物的缺點: 直接求證a ＜b,考慮一般的方法,例如作差法、作商法、構(gòu)造法,顯然很難利用題目中所給的式子進行證明.

2) 將缺點化弊為利:“a ＜b”的否命題是“a≥b”, 把“a≥b”當(dāng)作條件使用.

3) 利用“a≥b”和其他知識得到新事物: 可得到13a≥13b,5a≥5b.

由3a+13b= 17a可知3a+13a≥3a+13b= 17a,即由于f(x)=是單調(diào)遞減的函數(shù),可得f(1) =＜1,同時f(a) ≥1＞f(1),可知a ＜1.由5a+7b=11b可知5b+7b≤5a+7b=11b,即由于g(x)=是單調(diào)遞減的函數(shù),可得g(1)=＞1,同時g(b)≤1＜g(1),可知b ＞1.

4)發(fā)現(xiàn)解決方法: 此時b ＞1＞a,這與a≥b矛盾! 故a ＜b.

2.2 在三角函數(shù)問題中的應(yīng)用

例3試證函數(shù)f(x)=不是周期函數(shù).

分析: 1)事物的缺點: 直接證明f(x) =不是周期函數(shù),需嚴格證明f(x)不滿足周期函數(shù)的定義.但在中學(xué)階段,我們要直接證明“不滿足”的問題十分困難,因此,從正面證明難度較大.

2)將缺點化弊為利:“函數(shù)f(x)=不是周期函數(shù)”的否命題是“f(x)=為周期函數(shù)”,將“f(x)=為周期函數(shù)”當(dāng)作條件使用.

3) 利用“f(x) =為周期函數(shù)”和其他知識得到新事物: 設(shè)其周期為T, 則對?x, 有f(x+T) =f(x), 即

4) 發(fā)現(xiàn)解決方法:“T無解”與T的存在性矛盾, 因此不是周期函數(shù).

2.3 在幾何問題中的應(yīng)用

例4已知a與b是異面直線, 又有a ? α,b ?β,a//β,b//α,求證:α//β.

分析: 1)事物的缺點: 若要證兩個平面平行,則要證這兩個平面沒有公共點, 由于兩個平面平行的定義是否定形式,因此直接判定兩個平面平行較為困難.

2)將缺點化弊為利:“α//β”的否命題是“α不平行于β”

3)利用“α不平行于β”和其他知識得到新事物:α不平行于β,且α ∩β=c,由于a//β,b//α,則由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知a//c,b//c,故a//b.

4)發(fā)現(xiàn)解決方法:“a//b”與“a和b是異面直線”相矛盾,故α//β.

3 “缺點型逆向思維法”在中學(xué)教學(xué)方面的應(yīng)用建議

缺點型逆向思維是一種創(chuàng)造性思維,實際是以“出錯”去達到“制勝”的目的.因此,缺點型逆向思維的成效常常會出乎意料得好.

3.1 在教學(xué)中設(shè)置“缺點”引發(fā)學(xué)生逆向思考

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中,教師可以利用“缺點型逆向思維法”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維, 其一般流程為“故意出錯—分析錯誤—改進方法—反思鞏固”[1].

例如在講解定理時,教師可以將定理的證明過程故意講錯一步,即“設(shè)置缺點”,但不要告知學(xué)生,而是接著向下進行證明,推導(dǎo)出錯誤的結(jié)論.這時,學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這與定理所要求證的結(jié)論不同,此時再去激發(fā)學(xué)生探索的好奇心:“證明過程中哪里出錯了? 錯的原因是什么? 正確的應(yīng)該是什么? 如果將定理中的部分條件改變或刪去,能否得到相同的結(jié)論? 為什么不能? ”在一個一個問題中,逐步引發(fā)學(xué)生思考,本質(zhì)其實是利用“錯誤結(jié)論”,逆向推導(dǎo),也就是在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

3.2 在學(xué)生的“缺點”中引導(dǎo)學(xué)生逆向思考

在輔導(dǎo)學(xué)生練習(xí)的過程當(dāng)中, 教師可以利用“缺點型逆向思維法”引導(dǎo)學(xué)生判斷自己的錯誤之處, 逆向思考找到正確答案,其一般流程為“找到錯誤—利用錯誤—發(fā)現(xiàn)矛盾—改進方法—反思鞏固”.

例如教師在批閱學(xué)生作業(yè)時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解答過程有部分錯誤,可以讓學(xué)生利用自己的錯誤觀念,正向推導(dǎo)要證明的內(nèi)容,由此發(fā)現(xiàn)與題意的矛盾之處,再讓學(xué)生對自己的證明過程進行改進.這樣的思考過程本質(zhì)也貫穿了“缺點型逆向思維法”,不僅讓學(xué)生能夠明白自己的錯誤原因,同時也能打破學(xué)生的固有思維模式.

4 反證法——利用“缺點型逆向思維法”解決問題的價值

4.1 教學(xué)價值

4.1.1 有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維

在數(shù)學(xué)的歷史長河中,許多重大發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造都是逆向思維所產(chǎn)生的,逆向思維可以突破傳統(tǒng)的思考方式,用結(jié)論的反面作為條件推出矛盾,是一種巧妙的思維轉(zhuǎn)換.在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中,教師可以多向?qū)W生滲透反證法等利用逆向思維的證明方法,開拓學(xué)生思維,鍛煉學(xué)生的邏輯能力,對學(xué)生的創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維的發(fā)展具有重大的促進性作用.

4.1.2 有助于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)鉆研的興趣

反證法主要突出逆向思維的訓(xùn)練,有一些問題無法從正向入手,而從反面思考,卻又使問題變得簡單.利用反證法的題目的證明過程,往往簡單而漂亮,這可以使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美感.因此,在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中,教師講授反證法,可以使學(xué)生積極進行探究, 使其對數(shù)學(xué)的美有更深的感觸,對數(shù)學(xué)具有好奇心,從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)鉆研、探索的興趣.

4.2 應(yīng)用價值

4.2.1 反證法是數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)

反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的次數(shù)較少, 往往會出現(xiàn)在數(shù)學(xué)競賽的題目中,對中學(xué)生來說有一定的難度.但在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中, 反證法卻被頻繁使用, 例如《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》、《初等數(shù)論》中,反證法都是極為常見的證明方法,尤其是在一些基本定理的證明中,反證法利用極強的邏輯效果,往往能給出十分漂亮的證明.因此,若對數(shù)學(xué)具有興趣,則鍛煉自己的逆向思維是極為重要的,反證法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識,也是研究數(shù)學(xué)的必備技能.

4.2.2 逆向思維是探索發(fā)現(xiàn)的源頭