湖北省恩施州教育科學(xué)研究院(445000) 周 威

一、試題呈現(xiàn)與問(wèn)題反思

例1(2021年八省市聯(lián)考數(shù)學(xué)第21 題) 雙曲線= 1(a ＞0,b ＞0) 的左頂點(diǎn)為A, 右焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)B在C上.當(dāng)BF⊥AF時(shí),|BF|=|AF|.

(1)求C的離心率;

(2)若B在第一象限,證明: ∠BFA=2∠BAF.

此題題干簡(jiǎn)潔,要證明的結(jié)論也十分簡(jiǎn)約,給人第一印象就是“清爽”簡(jiǎn)單.實(shí)際上,本題解題思路開(kāi)闊,解法也不唯一.第(1)問(wèn)答案為離心率e=2;第(2)問(wèn)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)入手容易,重點(diǎn)考查化歸轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生對(duì)“斜率”與“傾斜角”的轉(zhuǎn)換關(guān)系, 通過(guò)正切的倍角公式證明角與角之間的關(guān)系,落腳于考查學(xué)生邏輯推理、直觀想象素養(yǎng),與傳統(tǒng)的“直線代入圓錐曲線方程”數(shù)學(xué)運(yùn)算有一定的區(qū)別,從而難度上有所下降.毫無(wú)疑問(wèn),第(2)問(wèn)中的關(guān)系式∠BFA= 2∠BAF是在離心率e= 2 時(shí)才成立,解題過(guò)程中要抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)即直線BA,BF的特殊斜率關(guān)系tan ∠BFA=tan 2∠BAF.

那么,在一般的雙曲線中,甚至在一般的圓錐曲線中,直線BA,BF的斜率關(guān)系是怎樣的? 數(shù)學(xué)教師若能從這個(gè)“一般與特殊”的角度,運(yùn)用歸納與演繹推理,那么對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)無(wú)疑是更深入更全面的.

二、結(jié)論拓展

結(jié)論1雙曲線= 1(a ＞0,b ＞0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)B在C上,記C的離心率為e,設(shè)直線BA的斜率為k1(k1/=0),直線BF斜率為k2(k2/=0),則k2=

證明因?yàn)锳(-a,0),F(ea,0),設(shè)(0＜θ ＜2π,θ /=π),則

所以

即

化簡(jiǎn)得

即

由于k2/=0,化簡(jiǎn)可得

特別地, 當(dāng)e= 2 時(shí),k2=而k2=-tan ∠BFA, 從而有例1 中要證明的等式關(guān)系.另外, 此結(jié)論對(duì)橢圓也成立,拋物線情形類似.

結(jié)論2橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)B在C上,記C的離心率為e,設(shè)直線BA的斜率為k1(k1/= 0), 直線BF斜率為k2(k2/= 0), 則

證明因?yàn)锳(-a,0),F(ea,0),設(shè)(0＜θ ＜2π,θ /=π),則

所以

即

移項(xiàng)有

即

由于k2/=0,化簡(jiǎn)可得

結(jié)論3拋物線C:y2= 2px(p ＞0)的頂點(diǎn)為A,焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)B在C上,記直線BA的斜率為k1(k1/= 0),直線BF斜率為k2(k2/=0),則k2=

證明因?yàn)锳(0,0),設(shè)B(2pt2,2pt)(t /= 0),

三、結(jié)論的應(yīng)用舉例

例2已知橢圓= 1(a ＞b ＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,且F為線段AM的中點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓C相交于令一點(diǎn)P(P在x軸上方),直線PF與橢圓C相交于另一點(diǎn)Q,且直線l與OQ垂直,求直線PQ的斜率.

解析(1)

(2) 由(1) 得橢圓離心率e=設(shè)直線l斜率為k1(k1＞0), 直線PQ斜率為k2, 則OQ的斜率為由結(jié)論2 可得k2=直線OQ方程為y=PQ方程為y=聯(lián)立可得因?yàn)镼在橢圓上,解得k1=從而k2=

點(diǎn)評(píng)本題考查橢圓與直線位置關(guān)系、直線斜率的求法,當(dāng)然可以從通性通法的角度將直線代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解.而基于探究結(jié)論的解答,一定程度上體現(xiàn)數(shù)學(xué)探究在解題教學(xué)中的重要性.

例3過(guò)橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)的左頂點(diǎn)A且斜率為的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B,橢圓的右焦點(diǎn)為F,連接BF,設(shè)BF的斜率為k,若k ＜-1,則橢圓離心率的取值范圍是____.

解析設(shè)橢圓離心率為e, 由結(jié)論2 可得,k=因?yàn)閗 ＜-1,1-e ＞0,所以

由(e-1)2-得e2-3e+＞0,從而e ＜或e ＞故

點(diǎn)評(píng)考查了橢圓與直線的位置關(guān)系,基于探究結(jié)論,從直線的斜率和橢圓的離心率的關(guān)系進(jìn)行命題創(chuàng)設(shè).

復(fù)習(xí)備考中很有必要立足基礎(chǔ)素材,從試題隱性要素的角度抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì),實(shí)現(xiàn)對(duì)試題知識(shí)點(diǎn)的拓展、發(fā)散,以及對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的重組和整合,基于教材和高考導(dǎo)向進(jìn)行試題改編,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題,試圖讓學(xué)生抓住同類數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).