李姣軍，蔣 揚(yáng)，邱 天，黃明敏

（重慶理工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，重慶 400054）

在無線通信系統(tǒng)中，多徑傳播對通信鏈路產(chǎn)生很大的干擾，嚴(yán)重影響鏈路的性能。正交頻分復(fù)用 （orthogonal frequency division multiplexing，OFDM）技術(shù)憑借其在數(shù)據(jù)傳輸速率和傳輸精度方面的優(yōu)異性能，在4G以及5G無線通信中得到了廣泛的應(yīng)用。在OFDM通信系統(tǒng)中，信道估計(jì)算法的設(shè)計(jì)至關(guān)重要，合適的信道估計(jì)算法可以得到精確的信道狀態(tài)信息（channel state information，CSI），進(jìn)而獲取優(yōu)異的系統(tǒng)性能。傳統(tǒng)信道算法是基于頻域插入導(dǎo)頻，用以估計(jì)出導(dǎo)頻位置處的頻率響應(yīng)，再用一定方法估計(jì)出其他位置處的信道頻率響應(yīng)，具有代表性的算法有最小二乘算法［1］和最小均方誤差算法［2］。然而，最小二乘算法的性能與噪聲功率成反比，最小均方誤差算法的計(jì)算復(fù)雜度較高，并且2種算法獲得較好信道估計(jì)性能的前提是使用一定數(shù)量的導(dǎo)頻，不利于提高頻譜效率。

高速無線通信信道多呈現(xiàn)稀疏性［3］，雖然信道具有很大的時(shí)延擴(kuò)展，但是能量集中在少數(shù)路徑上，其他路徑能量很小，可以忽略。壓縮感知（compressive sensing，CS）［4］可以用于 OFDM系統(tǒng)中的信道估計(jì)。文獻(xiàn)［5-7］研究表明，在OFDM系統(tǒng)中應(yīng)用CS于信道估計(jì)，在使用相同數(shù)量導(dǎo)頻的情況下，較傳統(tǒng)算法可以獲得更好的估計(jì)性能，減少了導(dǎo)頻開銷。傳統(tǒng)壓縮感知信道估計(jì)算法有正交匹配追蹤 （orthogonal matching pursuit，OMP）［8］、壓縮采樣匹配追蹤（compressive sampling matching pursuit，CoSaMP）［9］等。然而，上述算法只有在接收端已知信道稀疏度時(shí)，才能進(jìn)行重建，而在實(shí)際情況中信道稀疏度往往需要測量，因而上述算法無法直接應(yīng)用于稀疏度未知的信道估計(jì)中。稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤（sparsity adaptive matching pursuit，SAMP）［10］算法通過固定迭代步長，并通過迭代逐步增加索引，來逐漸逼近信道真實(shí)支撐集，克服了需要以稀疏度為先驗(yàn)信息的缺陷，可以自適應(yīng)重構(gòu)信道狀態(tài)信息。SAMP算法重建精度與步長的取值密切相關(guān)，因此，算法為了保持良好的估計(jì)精度，通常將迭代步長設(shè)置為1，但這會(huì)使重建時(shí)間過長。文獻(xiàn)［11］提出一種弱選擇匹配追蹤（stagewise weak orthogonal matching pursuit，SWOMP）算法，通過設(shè)置門限，每次迭代同時(shí)選擇多個(gè)原子，減少了迭代次數(shù)和重構(gòu)時(shí)間。

針對OFDM通信系統(tǒng)信道稀疏度未知的情況，本文提出了一種新的自適應(yīng)信號稀疏度變化的壓縮感知信道估計(jì)算法，即變步長自適應(yīng)壓縮采樣匹配追蹤（variable step adaptive compressive sampling matching pursuit，VSACSMP）算法。該算法首先對信道真實(shí)稀疏度進(jìn)行預(yù)估得到估計(jì)值K0（K0略小于真實(shí)稀疏度K），然后再通過CoSaMP算法改善估計(jì)結(jié)果。若壓縮采樣匹配追蹤不能成功重構(gòu)，則通過弱選擇選取新的原子，漸進(jìn)增加信號稀疏度，對信道狀態(tài)信息進(jìn)行重新估計(jì)。

1 系統(tǒng)模型

1.1 壓縮感知基本理論

許多自然界的信號x∈RN是可以被壓縮的，即它們可以用稀疏信號表達(dá)出來，通常做法是將其在合適的域進(jìn)行投影，這意味著x可以通過一個(gè)N×N維正交基字典矩陣ψ稀疏表示，即：

此時(shí)，若θ最多有K?N個(gè)非零向量，那么可以稱信號x在ψ域是K稀疏的。若設(shè)計(jì)一個(gè)與正交基字典不相關(guān)的觀測矩陣Φ∈RM×N，用以觀測信號x，則可以得到測量信號y∈RM，用公式表達(dá)為：

將式（1）代入式（2），可得：

式（3）中，ACS為一個(gè) M×N維的矩陣，稱為感知矩陣。在已知y和ACS的前提下，可以利用l0范數(shù)意義下優(yōu)化求解x的估計(jì)值＾x。

有限等距性質(zhì)［12］（restricted isometry property，RIP）是準(zhǔn)確重構(gòu)信號x的重要基礎(chǔ)，其定義為：若對所有具有稀疏度為K的信號x，矩陣Φ都滿足：

式中，若參數(shù) δK∈（0，1），則稱 Φ滿足參數(shù)為（K，δK）的RIP性質(zhì)。式（4）所述優(yōu)化方程的求解是一個(gè)NP-hard問題，求解此類問題存在困難，需要做相應(yīng)調(diào)整。文獻(xiàn)［13］研究表明，當(dāng)觀測矩陣Φ滿足RIP條件時(shí)，組合優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)換成簡單的l1范數(shù)優(yōu)化問題，兩者可以得到同樣的解。

式（6）將l0范數(shù)松弛為l1范數(shù)，就可以利用線性規(guī)劃方法來求解此優(yōu)化問題。貪婪算法由于結(jié)構(gòu)簡單且計(jì)算效率高，在實(shí)際信號重構(gòu)中得到了廣泛應(yīng)用，其本質(zhì)是一種原子選擇策略。

1.2 OFDM系統(tǒng)稀疏模型

考慮具有N個(gè)子載波的OFDM系統(tǒng)，其中NP個(gè)子載波用于傳輸導(dǎo)頻，位置為 n1，n2，…，nNP（其中1≤n1≤n2≤…≤NP），信道長度為L。傳輸信號和接收信號分別為X和Y，其中X（k）和Y（k）分別表示X和Y的第k個(gè)元素，0≤k≤N-1。接收信號可以表示為：

式中：傳輸信號 X＝diag｛［X（0），X（1），…，X（N-1）］｝為一個(gè)對角矩陣；接收到的信號Y＝［Y（0），Y（1），…，Y（N-1）］T；信道頻率響應(yīng) H＝［H（0），H（1），…，H（N-1）］T；Z＝［Z（0），Z（1），…，Z（N-1）］T為復(fù)加性高斯白噪聲；W∈CN×L為N×N維DFT矩陣前L列組成。

在導(dǎo)頻位置處的接收序列可以被寫為：

式中：XP＝diag｛［X（n1），X（n2），…，X（nNP）］｝為發(fā)送導(dǎo)頻序列；ZP為P×1維復(fù)加性高斯白噪聲；WP為部分傅里葉矩陣。

對比式（3）和式（8）可以看出，可以由已確定的觀測矩陣A和接收導(dǎo)頻向量YP，利用壓縮感知重構(gòu)算法重構(gòu)出稀疏信道沖擊響應(yīng)h，用以估計(jì)出信道頻率響應(yīng)H＝Wh。

2 稀疏度自適應(yīng)的壓縮感知信道估計(jì)

在OFDM系統(tǒng)中，當(dāng)信道稀疏性已知時(shí)，可以利用如CoSaMP、SP這類壓縮感知重建算法對信道進(jìn)行估計(jì)。但實(shí)際中信道是變化的，這導(dǎo)致信道的稀疏度也不是固定的，故研究能自適應(yīng)稀疏度變化的壓縮感知重構(gòu)算法才具有實(shí)用價(jià)值。SAMP算法是一種很有前途的候選方案，它通過對目標(biāo)信號的稀疏程度和真實(shí)支持集的逐級估計(jì)來重構(gòu)信道信息。盡管SAMP算法能在有限次迭代后得到較為準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果，但算法估計(jì)的誤差依賴迭代步數(shù)。若迭代步數(shù)過長，則存在過估計(jì)和欠估計(jì)的問題；若迭代步數(shù)過短，則在信號稀疏度較大時(shí)需要的迭代次數(shù)多，需要較長的運(yùn)算時(shí)間，存在算法效率不高的缺陷。

因而，在利用稀疏度自適應(yīng)思想解決CoSaMP算法在信號重建時(shí)需要預(yù)知信號稀疏度缺陷時(shí)，我們還應(yīng)考慮SAMP算法步長選取決定精度、效率這一不足之處。為解決上述問題，我們可以采用變步長預(yù)估計(jì)信號稀疏度的方法進(jìn)行改進(jìn)，下面給出預(yù)估計(jì)信號稀疏度方法。

文獻(xiàn)［14］研究表明，在觀測矩陣 Φ以參數(shù)（K，δK）滿足 RIP性質(zhì)，如果 K0≥K，則其中，K是信號的真實(shí)稀疏度，K0是稀疏度的預(yù)估值，Γ0對應(yīng)Φ中與殘差乘積的Frobenius范數(shù)最大的K0個(gè)原子的索引集合。那么，此命題的逆否命題也成立。即若成立，則K0＜K。根據(jù)上述命題，則可以通過逐步增大K0，直至上述命題不成立為止，最終就可得到信號稀疏度的預(yù)估值K0。

基于上述預(yù)估計(jì)理論，本文提出了一種VSACSMP算法。算法步驟如下：

輸入：感知矩陣A＝XPWP，接受到的導(dǎo)頻信號yP；

輸出：信道的沖擊響應(yīng)估計(jì)值h＾。

步驟1初始化：初始稀疏度估計(jì)值K0＝1，初始索引支撐集Γ0＝?，迭代步長step，迭代次數(shù)n＝1；

步驟2獲取索引集即從選出前K0個(gè)最大值索引存入Γ0；

步驟3如果滿足，則執(zhí)行K0＝K0+2*step，否則執(zhí)行 K0＝K0+step，，返回步驟2執(zhí)行；

步驟4更新殘差：r0＝y(tǒng)P-AΓ0A+Γ0yP，其中矩陣AΓ0由感知矩陣 A中列索引為 Γ0構(gòu)成的矩陣；

步驟5計(jì)算 gn＝ATrn-1，獲取索引集 Jn＝表示集合元素個(gè)數(shù)，即從選出前card（Γn-1）個(gè)最大元素對應(yīng)的索引構(gòu)成集合；

步驟6形成候選集：

步驟7計(jì)算最小二乘解

步驟8獲取支撐集card（Γn-1）），即從選出前 card（Γn-1）個(gè)最大元素對應(yīng)位置的索引構(gòu)成集合；

步驟9更新殘差

步驟10如果；否則，轉(zhuǎn)執(zhí)行步驟5；

步驟11判斷迭代終止條件：如果則停止迭代，并輸出信道時(shí)域沖擊響應(yīng)估計(jì)值轉(zhuǎn)執(zhí)行步驟5。

本算法中步驟1～步驟4主要是對信號稀疏度進(jìn)行預(yù)估計(jì)和初始化殘差，引入變步長的思想，首先進(jìn)行大步長估計(jì)，再進(jìn)行小步長逼近，得到出一個(gè)略小于真實(shí)稀疏度K的預(yù)估值K0，再根據(jù)選擇原子對殘差進(jìn)行計(jì)算；步驟5～步驟11為VSACSMP算法迭代的主體，步驟5～步驟10通過壓縮采樣匹配追蹤改善估計(jì)的結(jié)果，步驟11判斷殘差功率是否滿足小于噪聲功率，若滿足則算法停止迭代，否則通過弱匹配在Γn加入新選擇的原子，其中α一般取值0.7～0.9，在這區(qū)間能保證選取原子大概率是有效的，兼顧算法性能和運(yùn)算速度。

3 仿真結(jié)果和分析

本文仿真實(shí)驗(yàn)所使用的環(huán)境為AMD Ryzen 2600X CPU＠3.6 GHz，16GB RAM，MATLAB 2018a。仿真時(shí)OFDM系統(tǒng)采用16QAM調(diào)制，子載波數(shù)N＝2 048，信道長度L＝240。假設(shè)系統(tǒng)經(jīng)歷的是慢衰落，即信道在一個(gè)或者多個(gè)周期內(nèi)保持穩(wěn)定，且信道的稀疏度K＝30。在多徑信道模型中，路徑時(shí)延在0～τmax上隨機(jī)分布，且第一路徑時(shí)延為0。路徑復(fù)增益呈復(fù)高斯分布，且隨路徑時(shí)延的增加以指數(shù)衰減。

算法的核心是對真實(shí)稀疏度K進(jìn)行預(yù)估，得出一個(gè)略小于K的估計(jì)值K0，因此對δK值的選取十分重要。比較準(zhǔn)確的δK會(huì)使估計(jì)出的K0非?？拷鎸?shí)稀疏度K，以減少迭代次數(shù)提升算法效率。通過實(shí)驗(yàn)方法考察約束等距常量δK對稀疏度預(yù)估計(jì)的影響，在0.25～0.4之間每隔0.05取一個(gè)值。圖1比較了K＝30條件下不同δK值對稀疏度K的預(yù)估。由圖1可以看出，δK＝0.3時(shí)稀疏度預(yù)估計(jì)的效果最好。同時(shí)，對δK取0.3，仿真5 000次，得到預(yù)估計(jì)的K0的平均值為22.922 1，比較接近真實(shí)稀疏度K，因此以后的仿真都選取δK＝0.3。

圖1 稀疏度預(yù)估計(jì)

3.1 MSE性能分析

用歸一化MSE來衡量仿真性能，其定義為：

這里取導(dǎo)頻數(shù)為128，對比各算法在不同信噪比下的MSE表現(xiàn)。由圖2可以看出，本文提出的VSACSMP算法要略優(yōu)于其他算法，且隨信噪比的增加性能更優(yōu)。SWOMP算法雖然在α取值為0.7時(shí)能大概率選取有效原子，但因沒有回溯機(jī)制，不能在選取無效原子后進(jìn)行剔除，因而性能上比其他2種算法略差，而SAMP算法在步長過大，容易造成過估計(jì)或欠估計(jì)的問題，因而當(dāng)SAMP在迭代步長選取為4時(shí)，算法性能上略遜于SAMP在步長選取為1和VSACSMP算法，而當(dāng)SAMP在迭代步長選取為1時(shí)，算法性能與VSACSMP幾乎相同。

圖2 不同算法的均方誤差

3.2 BER性能分析

在移動(dòng)通信系統(tǒng)中，接收端收到的信號通常因受到信道的影響而失真，因而需要進(jìn)行信道估計(jì)來均衡信道帶來的影響。因此，比較準(zhǔn)確的信道估計(jì)能降低系統(tǒng)的誤碼率。圖3所示為導(dǎo)頻數(shù)為128時(shí)，各算法在不同信噪比下的性能表現(xiàn)。由圖3可得，本文提出的VSACSMP算法較于其他算法有更低的誤比特率性能。

圖3 不同算法的誤比特率

3.3 單次運(yùn)行時(shí)間比較

各種壓縮感知信道估計(jì)算法的單次平均運(yùn)行時(shí)間如表1所示。從表1可以看出，SWOMP算法的平均運(yùn)行時(shí)間較其他算法相比最短，但是由于吸納無效原子后無法剔除，因而性能相對較差。本文提出的VSACSMP算法相較于SAMP算法，運(yùn)行時(shí)間比SAMP算法步長（s＝1）長，短于 SAMP算法步長（s＝4）。SAMP算法的精度與選擇的步長緊密相關(guān)，迭代步長越短，精度越高，但這也會(huì)使復(fù)雜度較高、運(yùn)行時(shí)間長。雖然SAMP算法在步長s＝4時(shí)運(yùn)行時(shí)間短，但這是在犧牲算法精度的基礎(chǔ)上得到的。本文所提出的VSACSMP算法兼顧了算法精度和算法效率，但在算法效率上仍需改進(jìn)。

表1 不同信道估計(jì)算法單次運(yùn)行時(shí)間

4 結(jié)論

針對傳統(tǒng)壓縮感知算法應(yīng)用到OFDM信道估計(jì)中需要稀疏度作為先驗(yàn)信息或算法效率不高的問題，提出了變步長自適應(yīng)壓縮采樣匹配追蹤（VSACSMP）算法。該算法首先采用變步長匹配測試的估計(jì)方法對信號稀疏度進(jìn)行預(yù)估，得到一個(gè)略小于真實(shí)稀疏度的估計(jì)值，并通過回溯思想改善估計(jì)結(jié)果，同時(shí)使用弱選擇引入新的原子，漸進(jìn)增加信號支撐集，提高了算法的重建精度。仿真結(jié)果表明，本文提出的VSACSMP算法較于傳統(tǒng)自適應(yīng)算法具有更好的信道估計(jì)性能，但在算法效率上仍需改進(jìn)。