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神奇的三角形內(nèi)的一點(diǎn)

2021-05-14 12:21:33王姍姍
初中生世界·七年級 2021年4期
關(guān)鍵詞:三邊同理線段

王姍姍

一天,幾何學(xué)家佩多接到了一位經(jīng)濟(jì)學(xué)家打來的電話:如果等邊三角形內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P,無論P(yáng)的位置在三角形內(nèi)如何變動,P到三角形三邊的距離之和是否總是不變呢?佩多教授馬上給了讓他滿意的答復(fù):

如圖1,在等邊△ABC中,連接PA、PB、PC。用x、y、z分別表示點(diǎn)P到△ABC三邊的距離。設(shè)等邊△ABC邊長為a,高為h。

因?yàn)镾△PBC=[12]ax,S△PAC=[12]ay,

S△PAB=[12]az,

所以S△PBC+S△PAC+S△PAB

=[12]ax[+12]ay[+12]az=S△ABC。

所以x+y+z=[2S△ABCa]。 ①

而由S△ABC=[12]ah,得

h=[2S△ABCa],結(jié)合①可得,

x+y+z=h,即P到等邊三角形三邊的距離之和等于它的高。

通過解答過程,我們不難發(fā)現(xiàn),一個(gè)七年級的學(xué)生也能給這位經(jīng)濟(jì)學(xué)家滿意的答復(fù),因?yàn)檫@只是運(yùn)用了簡單的三角形的面積公式。但是,這個(gè)問題啟發(fā)我們思考:如果在任意一個(gè)三角形內(nèi)隨便放一個(gè)點(diǎn),會有怎樣的發(fā)現(xiàn)呢?

如圖2,P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),分別連接AP、CP、BP并延長,交BC、AB、AC于點(diǎn)D、F、E。

根據(jù)題意,得S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,

則[S△PBCS△ABC][+S△PACS△ABC][+S△PABS△ABC]=1。 ②

因?yàn)閇S△PBDS△ABD]=[PDAD],[S△PDCS△ADC]=[PDAD](高相等,三角形面積之比等于底之比),

所以[S△PBD+S△PDCS△ABD+S△ADC]=[PDAD],

即[S△PBCS△ABC]=[PDAD]。 ③

同理可得[S△PABS△ABC]=[PFCF]。 ④

[S△PACS△ABC]=[PEBE]。 ⑤

將③、④、⑤相加,得

[S△PBCS△ABC]+[S△PABS△ABC][+S△PACS△ABC]=[PDAD][+PFCF][+PEBE]。

由②得:[PDAD][+PFCF][+PEBE]=1。

由簡單的三角形面積公式和比例的性質(zhì),我們得到了這樣一個(gè)較為復(fù)雜的結(jié)論。這個(gè)問題還可以繼續(xù)衍生下去。AP、CP、BP的延長線與三角形三邊的交點(diǎn)為D、F、E,它們將三角形三邊分成了六條線段,這六條線段之間有沒有特殊的數(shù)量關(guān)系呢?

塞瓦定理告訴我們[DCDB]·[FBFA]·[EAEC]=1。如何證明呢?

證明:[DCDB=S△ADCS△ABD=S△PDCS△PBD=]

[S△ADC-S△PDCS△ABD-S△PBD=S△APCS△ABP] ⑥。

同理可得:[FBFA=S△BPCS△APC] ⑦,

[EAEC=S△ABPS△BPC] ⑧。

將⑥、⑦、⑧相乘即可得到[DCDB]·[FBFA]·[EAEC]=1,這個(gè)看似復(fù)雜的定理仍然是由簡單的三角形面積公式和比例的性質(zhì)得到。

看似平凡的三角形內(nèi)的一點(diǎn),藏著多少神奇和奧秘!一個(gè)基本圖形就像一個(gè)萬花筒,稍一轉(zhuǎn)動,就能變幻多端、綻放光彩,其實(shí)只有幾片不起眼的涂色紙片而已。

(作者單位:江蘇省無錫市西漳中學(xué))

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