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數(shù)形結(jié)合:數(shù)與形的雙向“溝通”

2021-05-14 12:21:33無言
初中生世界·七年級 2021年4期
關(guān)鍵詞:交角對頂角截線

無言

數(shù)形結(jié)合,反映了圖形與數(shù)量之間的關(guān)系。既是重要的知識內(nèi)容,又是重要的數(shù)學(xué)思想。

兩條直線的位置關(guān)系與角的大小之間有著內(nèi)在聯(lián)系。由角的數(shù)量關(guān)系判定直線的位置關(guān)系,由直線的位置關(guān)系決定角的數(shù)量關(guān)系。

例如,兩條直線相交就一定會產(chǎn)生角——兩組對頂角,因?yàn)閮山M對頂角分別相等、兩組對頂角之間互補(bǔ),所以只要其中一個角確定,那么其他3個角就全部確定。因此,只要聚焦其中一個角即可。當(dāng)這個角的大小是一個特殊值——90°的時候,這兩條直線就垂直。于是,交角的90°判定了兩條直線垂直,兩條直線垂直就決定了交角的值為90°。這就是垂直概念的兩層含義。

很自然地,我們會想:既然相交的位置關(guān)系是這樣研究的,那么平行的位置關(guān)系是否也有類似的研究呢?

麻煩的是,對于什么是平行,課本上只給出了一個模糊的說法:“在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫作平行線?!笔裁词遣幌嘟荒??不相交就不產(chǎn)生交角。這只是一種直觀的認(rèn)識,在具體問題中無法像垂直一樣進(jìn)行清晰精確的操作。

但是,平行線的作圖過程告訴我們,三角尺的平移保證了兩條邊的平行,如圖1。

對這個過程進(jìn)行抽象,就會出現(xiàn)兩條直線被第三條直線所截的基本圖形——三線八角,如圖2。在這個圖形中,兩個交點(diǎn)處共出現(xiàn)四組對頂角。根據(jù)前文內(nèi)容,我們只需要在兩個交點(diǎn)處分別聚焦一個角即可。

平行線的畫圖,讓我們自然關(guān)注這些角:∠1與∠5、∠4與∠8、∠7與∠3、∠2與∠6,這四組角相對于截線和被截線而言位置都相同,因此叫同位角。畫圖也告訴我們一個基本事實(shí):兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行。這就建立了第一個判定條件——由同位角的數(shù)量關(guān)系判定直線的位置關(guān)系。

進(jìn)而,諸如∠3與∠5、∠4與∠6都是位于被截線內(nèi)部、交錯分布在截線兩側(cè),因此名為“內(nèi)錯角”。內(nèi)錯角的數(shù)量關(guān)系可以化歸為同位角的數(shù)量關(guān)系。同理,命名“同旁內(nèi)角”,其數(shù)量關(guān)系同樣化歸為同位角的數(shù)量關(guān)系。所以,“三類角”的數(shù)量關(guān)系就判定了直線的位置關(guān)系。

在蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級下冊第16頁讀一讀《怎樣證實(shí)“兩直線平行,同位角相等”》中,編者依據(jù)基本事實(shí)“同位角相等,兩直線平行”“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”,利用反證法,證實(shí)了“兩直線平行,同位角相等”。這就構(gòu)建了由直線的位置關(guān)系決定一類角的數(shù)量關(guān)系的方法。在此基礎(chǔ)上,將另外兩類角的數(shù)量關(guān)系化歸為同位角的數(shù)量關(guān)系。于是,直線的位置關(guān)系就決定了“三類角”的數(shù)量關(guān)系。

可見,將直線的位置關(guān)系與“三類角”的數(shù)量關(guān)系建立聯(lián)系,既是知識發(fā)展的必然邏輯,也是一種形象直觀的方法。這種數(shù)形結(jié)合的思想不僅體現(xiàn)在知識的形成過程中,其重要性更體現(xiàn)在具體的解題過程中。

(作者單位:江蘇省無錫市西漳中學(xué))

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