李杰民 廖運(yùn)章
【摘 要】 與實(shí)驗(yàn)教材相比,人教A版高中數(shù)學(xué)新教材中概率內(nèi)容的改編力度很大:有新增有刪減,有強(qiáng)調(diào)有淡化,有順序調(diào)整,有概念重構(gòu). 新教材明晰了概率論的研究對(duì)象與研究方法,降低了概率起始教學(xué)的難度. 概率教學(xué)需要理解“樣本空間”的基礎(chǔ)地位與構(gòu)建原則,重視“隨機(jī)事件”概念及其符號(hào)化的教學(xué),盡量采用計(jì)算機(jī)軟件開展隨機(jī)模擬活動(dòng).
【關(guān)鍵詞】 人教版高中數(shù)學(xué)教材;概率;樣本空間;隨機(jī)事件;事件的相互獨(dú)立性
依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)[1]編寫的人教版高中數(shù)學(xué)新教材即將在全國(guó)多地投入使用,這是一套核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)新教材,關(guān)于新教材的解讀與研究成為當(dāng)前的重要任務(wù)與研究熱點(diǎn). 文[2]從整體上介紹了人教A版高中數(shù)學(xué)新教材在編寫理念、教材結(jié)構(gòu)、知識(shí)內(nèi)容編排、例題和習(xí)題設(shè)置五個(gè)方面的特色,提出了教材的使用建議. 筆者認(rèn)真研讀了上述教材,發(fā)現(xiàn)“概率”部分除了具有文[2]所指出的特色以外,還具有改編力度大,知識(shí)結(jié)構(gòu)更加符合學(xué)科邏輯的顯著特點(diǎn). 特別是,新教材給出了與舊教材完全不同的“隨機(jī)事件”的定義,將“頻率與概率”提升為單獨(dú)一節(jié),將“事件的相互獨(dú)立性”由舊教材選修提前到新教材必修. 筆者認(rèn)為,這三個(gè)主要變化帶動(dòng)了概率章節(jié)內(nèi)容的一系列調(diào)整,應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)關(guān)注,認(rèn)真研究.
為了全面、準(zhǔn)確地理解新教材中“概率”內(nèi)容的編寫情況及其理念,本文首先給出新舊教材“概率”章節(jié)教學(xué)內(nèi)容的比較,梳理新教材出現(xiàn)的深刻變化;然后,圍繞上述三個(gè)主要變化,對(duì)變化的原因、內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系與教學(xué)中需要重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容進(jìn)一步解讀;最后,給出教學(xué)建議.1 新舊教材“概率”內(nèi)容的比較
為了對(duì)“概率”內(nèi)容的改寫情況有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí),首先對(duì)新教材必修第二冊(cè)的第十章“概率”與舊教材必修3的第三章“概率”作一個(gè)比較,如表1所示. 可以看出,新教材必修第二冊(cè)的第十章“概率”分為三節(jié):“10.1 隨機(jī)事件與概率”“10.2 事件的相互獨(dú)立性”“10.3 頻率與概率”;舊教材必修3的第三章“概率”也分為三節(jié):“3.1 隨機(jī)事件的概率”“3.2 古典概型”“3.3 幾何概型”. 雖然新舊教材都是分為三節(jié),但從三節(jié)的標(biāo)題對(duì)比即可以看出,教學(xué)重點(diǎn)發(fā)生了明顯的改變.
具體而言,主要變化是:其一,舊教材“3.3幾何概型”在新教材中被刪除,新教材增加了“有限樣本空間”;舊教材“3.1.2 概率的意義”被刪除,但保留了其中的“孟德爾遺傳規(guī)律的試驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)”,改編調(diào)整到章尾處的“閱讀與思考”之中. 其二,舊教材“3.2 古典概型”“降級(jí)”為新教材中的“10.1.3 古典概型”,新教材的目錄部分不再有“古典概型”,不難理解,這是一種淡化之意;而“隱藏”在舊教材“3.1.1 隨機(jī)事件的概率”中的“頻率與概率”提升為新教材“10.3 頻率與概率”,單獨(dú)列為一節(jié), 可以理解為凸顯其難度或重要性之意,但也并非簡(jiǎn)單的強(qiáng)調(diào),筆者認(rèn)為,由于頻率的穩(wěn)定性涉及“依概率收斂”理論,內(nèi)容抽象,難度較大,中學(xué)階段并不介紹概率論中的收斂理論,因此,單獨(dú)列出考慮到了該內(nèi)容的難度、所需學(xué)時(shí)以及內(nèi)容的獨(dú)特性. 其三,“事件的相互獨(dú)立性”由舊教材選修23的“2.2二項(xiàng)分布及其應(yīng)用”的子目錄“2.2.2 事件的相互獨(dú)立性”提前到新教材必修,這是一個(gè)跨度最大的教學(xué)順序調(diào)整,提前教學(xué)并且“升級(jí)”為單獨(dú)一節(jié)“10.2 事件的相互獨(dú)立性”. 另外,原本分散在“3.2 古典概型”與“3.3幾何概型”中的“隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生”合并調(diào)整到新教材“10.3 頻率與概率”的子目錄“10.3.2 隨機(jī)模擬”.
此外,還有一個(gè)容易被忽視但特別重要的細(xì)節(jié):舊教材“3.1 隨機(jī)事件的概率”與新教材“10.1 隨機(jī)事件與概率”的標(biāo)題存在差異,新教材明確區(qū)分了“隨機(jī)事件”與“隨機(jī)事件的概率”,對(duì)“隨機(jī)事件”概念進(jìn)行了重構(gòu). 換言之,新教材概率起始教學(xué)內(nèi)容發(fā)生了深刻的改變.
2 新教材概率教學(xué)需要重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容
通過上述比較可知,概率內(nèi)容改動(dòng)力度很大,既有新增也有刪減,既有“升級(jí)”強(qiáng)調(diào)也有“降級(jí)”淡化,還有教學(xué)順序的前后調(diào)整,等等. 需要指出的是,這些變化具有很強(qiáng)的邏輯關(guān)聯(lián)性,并非簡(jiǎn)單的知識(shí)重組. 另外,還有概念的重構(gòu),比如,改寫了“隨機(jī)事件”的定義,這需要進(jìn)一步研究具體內(nèi)容才能了解重構(gòu)的細(xì)節(jié)與原因. 為此,以下對(duì)新教材概率教學(xué)需要重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容做進(jìn)一步的解讀.
2.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件
新教材“章首語(yǔ)”首先介紹“隨機(jī)現(xiàn)象”以及概率論的研究對(duì)象,然后,“10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件”指出概率論研究隨機(jī)現(xiàn)象的方法——隨機(jī)試驗(yàn),逐步得到“樣本點(diǎn)”“樣本空間”“有限樣本空間”等概念,最后給出“隨機(jī)事件”的定義,將“隨機(jī)事件”定義為“樣本空間的子集”. 換言之,新教材對(duì)“隨機(jī)事件”概念進(jìn)行了重構(gòu),有兩點(diǎn)需要特別注意.
其一,新教材“隨機(jī)事件”的定義與舊教材完全不同. 該定義的優(yōu)點(diǎn)在于:首先,與日常生活中的同名概念劃清了界限,有效區(qū)分了生活中的“隨機(jī)事件”與數(shù)學(xué)世界中的“隨機(jī)事件”,避免了舊教材以“在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件”這樣一個(gè)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x所帶來(lái)的教學(xué)上的混亂. 其次,保證了“隨機(jī)事件”定義的科學(xué)性. 嚴(yán)格地說,“隨機(jī)事件是樣本空間的子集”是一個(gè)真命題,但“樣本空間的子集是隨機(jī)事件”是一個(gè)假命題,原因在于:對(duì)于無(wú)限樣本空間而言,可能存在不可測(cè)子集,即并非每一個(gè)子集都可以稱為隨機(jī)事件,但如果限定為“有限樣本空間”,則不會(huì)出現(xiàn)上述困惑. 因此,“有限樣本空間”保證了“隨機(jī)事件”定義的科學(xué)性,同時(shí),降低了高中“概率”起始教學(xué)的難度,與新課標(biāo)界定的“必修”課程的定位相符. 第三,接近大學(xué)階段的定義,有利于高中與大學(xué)階段的銜接.
其二,新教材明晰了概率論的研究對(duì)象與研究方法. 新教材從“章首語(yǔ)”到“10.1隨機(jī)事件與概率”,花費(fèi)大量篇幅推出概率論的基本概念——隨機(jī)事件,并介紹隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算、“古典概型”情形下的概率計(jì)算以及概率的性質(zhì),詳細(xì)展示了概率論的研究對(duì)象與研究方法,以及通過“隨機(jī)試驗(yàn)”將研究對(duì)象轉(zhuǎn)化為“隨機(jī)事件”的技術(shù)路線,對(duì)于增進(jìn)師生對(duì)概率論的理解非常有益. 比較新舊教材的“章小結(jié)”的“知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”可知,新教材“概率”的知識(shí)結(jié)構(gòu)更加清晰,更加符合概率學(xué)科的邏輯結(jié)構(gòu),明晰了概率論的研究對(duì)象與研究方法,有利于師生對(duì)概率內(nèi)容的理解與整體把握.
2.2 事件的相互獨(dú)立性
舊教材選修23“2.2.2 事件的相互獨(dú)立性”的編寫情況:以“三名同學(xué)有放回地抽取獎(jiǎng)券”為引例,事件A表示“第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”,事件B表示“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”,憑常識(shí)可知P(BA)=P(B),結(jié)合乘法定理P(AB)=P(A)P(BA),得到P(AB)=P(A)P(B),由此引出事件A與事件B相互獨(dú)立的定義.
新教材必修第二冊(cè)“10.2 事件的相互獨(dú)立性”編寫情況:首先,從兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)(拋擲硬幣試驗(yàn),有放回摸球試驗(yàn))為探究載體,分別計(jì)算P(A)、P(B)、P(AB),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)試驗(yàn)的共性,即P(AB)=P(A)P(B),從而歸納出“獨(dú)立性”概念. 此外,例題增加到3個(gè),且3個(gè)例題代表不同的使命:例1是一個(gè)反例,告誡初學(xué)者“獨(dú)立性”不常有,使用需謹(jǐn)慎. 例2、例3給出了使用獨(dú)立性解題的條件,其中例2本身沒有說明“獨(dú)立性”,“獨(dú)立性”條件隱含在事件的實(shí)際意義中;例3聲明“互不影響”,直接告知“獨(dú)立性”條件.
需要特別提醒的是,舊教材將“事件的相互獨(dú)立性”作為“條件概率”的后續(xù),作為“乘法定理”的特殊情形,采用的是演繹推理的形式. 新教材重構(gòu)了“事件的相互獨(dú)立性”,通過歸納推理方式獲得概念,并且,通過正反例結(jié)合深化對(duì)概念的理解,改寫力度很大. 從現(xiàn)實(shí)課堂教學(xué)以及公開的教學(xué)視頻與教學(xué)論文可知,許多教師受到傳統(tǒng)教材(包括大學(xué)教材)編寫順序的影響,機(jī)械套用“最近發(fā)展區(qū)”理論,認(rèn)為從“條件概率”入手才能深刻地理解“獨(dú)立性”. 新教材將“事件的相互獨(dú)立性”提前到必修課程,此時(shí)尚未學(xué)習(xí)“條件概率”,適應(yīng)舊教材的教學(xué)設(shè)計(jì)必須改變[3].
2.3 頻率與概率
頻率的穩(wěn)定性、頻率穩(wěn)定于概率、頻率穩(wěn)定于概率為獲取隨機(jī)事件的概率提供了一種估算方法,這些重要而且具有難度的知識(shí)點(diǎn)原本內(nèi)嵌于舊教材“3.1.1 隨機(jī)事件的概率”之中,新教材將這些內(nèi)容改寫并“升級(jí)”為單獨(dú)一節(jié)“10.3 頻率與概率”,其中“10.3.1 頻率的穩(wěn)定性”通過“探究”“試驗(yàn)”“折線圖”等方法歸納出“頻率的穩(wěn)定性”概念;“10.3.2 隨機(jī)模擬”介紹了“用頻率估計(jì)概率”的計(jì)算機(jī)模擬方法——采用電子表格軟件模擬大量重復(fù)試驗(yàn).
可見,新教材明確區(qū)分了概率的理論計(jì)算與估算,理論計(jì)算放在前兩節(jié),估算方法放在最后一節(jié),編寫思路更加清晰,給師生的教與學(xué)帶來(lái)了便利.3 新教材概率內(nèi)容的教學(xué)建議
為了理解好、使用好、發(fā)揮好新教材的價(jià)值,走出舊教材造成的思維定勢(shì),在對(duì)新舊教材內(nèi)容的比較、以及新教材主要內(nèi)容解讀的基礎(chǔ)上,給出以下教學(xué)建議,供高中數(shù)學(xué)同仁教學(xué)參考.
3.1 理解“樣本空間”的基礎(chǔ)地位與構(gòu)建原則
新教材從“章首語(yǔ)”到“10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件”“10.1.2 事件的關(guān)系和運(yùn)算”花費(fèi)了大量的篇幅介紹“隨機(jī)事件”,凸顯了“隨機(jī)事件”作為概率論的基礎(chǔ)概念的重要性. 因?yàn)椤半S機(jī)事件”是“樣本空間的子集”,所以,構(gòu)建合適的樣本空間是表達(dá)和刻畫“隨機(jī)事件”的前提. 因此,教師研讀教材,不僅要熟悉知識(shí)點(diǎn),還要理解“樣本空間”在概率論中的基礎(chǔ)地位與構(gòu)建原則.
比如,因?yàn)椤坝邢迾颖究臻g”的限制,“幾何概型”被刪除也就成為必然. 從多年的教學(xué)實(shí)踐來(lái)看,“幾何概型”教學(xué)存在許多誤區(qū)甚至錯(cuò)誤,“幾何概型”中的“等可能性”與“古典概型”中的“等可能性”存在質(zhì)的區(qū)別,中學(xué)階段很難解釋清楚,因此,刪除“幾何概型”也是出于難度的考慮.
又如,“10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件”出現(xiàn)了4個(gè)要求寫出樣本空間的例題,由于都是有限樣本空間,初學(xué)者很容易產(chǎn)生錯(cuò)覺:其一,寫出樣本空間是一件容易的事情;其二,寫出樣本空間后,隨機(jī)事件可以一一列出,因此寫出隨機(jī)事件也是一件容易的事情. 然而,在復(fù)雜隨機(jī)現(xiàn)象的研究中,寫出樣本空間往往是一件很困難的事情,即使在大學(xué)或中學(xué)的概率教學(xué)中,也存在一定的困難. 困難在于:其一,難以寫出甚至無(wú)法寫出. 比如,學(xué)習(xí)選擇性必修課程第三冊(cè)第七章中的“全概率公式”時(shí)將會(huì)發(fā)現(xiàn),涉及“全概率公式”的問題往往是先寫出“完備事件組”,即給出樣本空間的一個(gè)“劃分”,間接確定樣本空間;學(xué)習(xí)“隨機(jī)變量”后將會(huì)發(fā)現(xiàn),“隨機(jī)變量”建立起“樣本空間”到“歐式空間”的一個(gè)映射,有關(guān)概率計(jì)算的問題轉(zhuǎn)移到“歐式空間”(中學(xué)階段主要是直線或平面),此時(shí)已經(jīng)看不到“樣本空間”,但要真正理解通過“隨機(jī)變量”表達(dá)的“隨機(jī)事件”,依然依賴于作為原像集的“樣本空間”. 其二,即使是較為簡(jiǎn)單的問題,容易寫出樣本空間,也需要考慮樣本空間的創(chuàng)建原則. 一般而言,樣本點(diǎn)盡量簡(jiǎn)單,或者說,基本事件盡量簡(jiǎn)單,不能再分解. 不能“再分解”的標(biāo)準(zhǔn)由問題背景決定. 正如史寧中先生指出:樣本空間的創(chuàng)建與問題背景有關(guān),與問題本身無(wú)關(guān)[4]. 因此,教師應(yīng)理解“樣本空間”的構(gòu)建原則,不可隨意構(gòu)建樣本空間,否則,將給教學(xué)帶來(lái)困擾.
另外,教師要引導(dǎo)學(xué)生感受樣本空間的動(dòng)態(tài)性與復(fù)雜性. 比如,新教材“10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件”中的4個(gè)例題的樣本點(diǎn)分別是英文字母、自然數(shù)、2維的點(diǎn)、3維的點(diǎn). 教師要做好示范,引導(dǎo)初學(xué)者認(rèn)認(rèn)真真寫好樣本空間,為研究后續(xù)復(fù)雜的概率問題奠定基礎(chǔ).3.2 重視“隨機(jī)事件”概念及其符號(hào)化的教學(xué)
“事件”與“事件的概率”是概率論中兩個(gè)最基本的概念[5]. 換言之,兩者都很重要,兩個(gè)概念都要清楚的界定,這是概率論研究者的常識(shí),新教材的編寫為此付出了努力. 具體表現(xiàn)在:其一,舊教材的目錄與子標(biāo)題均沒有出現(xiàn)“隨機(jī)事件”,新教材則花費(fèi)大量的篇幅重構(gòu)“隨機(jī)事件”,凸顯“隨機(jī)事件”概念的重要性,避免了舊教材不講“隨機(jī)試驗(yàn)”直接進(jìn)入“隨機(jī)事件的概率”而造成的教學(xué)上的混亂[6]. 其二,“事件的概率”的準(zhǔn)確定義要在公理化概率論中才能嚴(yán)格的表達(dá),舊教材第一節(jié)“3.1.1 隨機(jī)事件的概率”直奔“事件的概率”,新教材的目錄與子標(biāo)題均沒有出現(xiàn)“隨機(jī)事件的概率”,直到“10.1.3古典概型”才出現(xiàn)“事件的概率”的字樣,但并非定義. 總之,新教材給出了和大學(xué)階段接近的“隨機(jī)事件”的定義,但對(duì)于中學(xué)階段無(wú)法嚴(yán)格定義的“事件的概率”,則采取了“低調(diào)”的處理方式. 換言之,新教材傳遞了需要重視“隨機(jī)事件”概念教學(xué)的信號(hào).
關(guān)于隨機(jī)事件概率的計(jì)算,除了基本事件的概率比較容易獲得,一般而言,計(jì)算較為復(fù)雜的隨機(jī)事件的概率,需要借助事件的關(guān)系和運(yùn)算,以及概率的性質(zhì). 因此,隨機(jī)事件的符號(hào)化特別重要,需要引起教師的重視,耐心做好示范教學(xué). 事件符號(hào)化以后,把待求概率的隨機(jī)事件轉(zhuǎn)化為基本事件或者容易求出概率的事件的數(shù)學(xué)表達(dá)式,再利用概率的性質(zhì),計(jì)算出待求隨機(jī)事件的概率.
比如,“10.2 事件的相互獨(dú)立性”中的例3,事件A=“兩輪活動(dòng)星隊(duì)猜對(duì)三個(gè)成語(yǔ)”,事件A的概率難以直接計(jì)算,但可以表示為:A=A1B2∪A2B1,而事件A1、A2、B1、B2的概率的計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單,利用事件的關(guān)系與性質(zhì)得到P(A)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1),從而獲得較為復(fù)雜的事件A的概率.
3.3 重視概率的估算方法的教學(xué),盡量采用計(jì)算機(jī)軟件開展隨機(jī)模擬活動(dòng)
概率的計(jì)算與估算是研究隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的兩種不同的方法. 新教材明確區(qū)分了兩者的差異,將舊教材“3.1.1 隨機(jī)事件的概率”之中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)“用頻率估計(jì)概率”提升為單獨(dú)一節(jié)“10.3 頻率與概率”,明顯表達(dá)了需要引起重視的信號(hào). 筆者認(rèn)為,新教材將“頻率與概率”單獨(dú)列為一節(jié),一是有利于分解教學(xué)難點(diǎn),二是通過“探究”“試驗(yàn)”“折線圖”等方法體驗(yàn)“頻率的穩(wěn)定性”,是中學(xué)生喜聞樂見的有利于化解抽象概念的數(shù)學(xué)探究活動(dòng),有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與課堂參與. 但采用電子表格軟件模擬大量重復(fù)試驗(yàn)的活動(dòng)往往需要占用較多的教學(xué)時(shí)間,對(duì)不熟悉電子表格的概率統(tǒng)計(jì)功能的教師而言,還需要花一些時(shí)間學(xué)習(xí)如何使用. 但是,隨機(jī)數(shù)學(xué)具有不同于確定性數(shù)學(xué)的獨(dú)特性,隨機(jī)模擬不僅有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也是促進(jìn)概率與統(tǒng)計(jì)融通的技術(shù)手段. 因此,教師需要轉(zhuǎn)變觀念,與時(shí)俱進(jìn),為發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)而教,盡量采用計(jì)算機(jī)軟件開展隨機(jī)模擬活動(dòng),不要因?yàn)闇y(cè)評(píng)難以考查或者因?yàn)檎加幂^多時(shí)間而忽視該內(nèi)容的教學(xué).
參考文獻(xiàn)
[1] 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M]. 北京:人民教育出版社,2018.
[2] 邵光華,張妍. 人教A版高中數(shù)學(xué)新教材特色分析與適用建議[J]. 課程·教材·教法,2019,39(12):109114.
[3] 李杰民. 事件的相互獨(dú)立性的重新認(rèn)識(shí)與教學(xué)建議[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育(高中版),2020,(07/08):2833.
[4] 史寧中. 數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)模型——高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M]. 北京:高等教育出版社,2018:8990.
[5] 戴朝壽. 概率論簡(jiǎn)明教程(第二版)[M]. 北京:高等教育出版社,2016:4.
[6] 何小亞. 高中概率模型學(xué)與教中的問題和對(duì)策[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2017,26(01):3740.
作者簡(jiǎn)介
李杰民(1973—),男,湖南平江人,嶺南師范學(xué)院講師,博士研究生,主要從事數(shù)學(xué)教育研究,發(fā)表論文10余篇.
廖運(yùn)章(1964—),男,廣西羅城人,廣州大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師,主要從事數(shù)學(xué)教育研究.