【摘 要】 2015年北京大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題第8題，是由多項(xiàng)式絕對(duì)值不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題.這類問(wèn)題的解法是賦值法，但如何賦值？有何玄機(jī)？文章闡釋了其來(lái)龍去脈，并給出了其一般情形的結(jié)論及更一般情形的猜想.

【關(guān)鍵詞】 多項(xiàng)式;絕對(duì)值不等式;恒成立;求參數(shù)取值范圍;賦值法;來(lái)龍去脈

1 題1的解法有何玄機(jī)？

題1 （2015年北京大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題第8題）若x∈[1，5]，x2+px+q≤2（p，q是常數(shù)），則不超過(guò)p2+q2的最大整數(shù)是.

解 分別令x=1，3，5，可得-2≤1+p+q≤2，-2≤9+3p+q≤2，-2≤25+5p+q≤2.

在平面直角坐標(biāo)系pOq中作出以上不等式組表示的區(qū)域后，可得p=-6，q=7.

又因?yàn)楫?dāng)p=-6，q=7時(shí)，x∈[1，5]，x2-6x+7=（x-3）2-2≤2，所以

[KF（]p2+q2[KF）]的最大值是85，再得所求答案是9.

注 該解答的關(guān)鍵是求出“p=-6，q=7”，解決這一關(guān)鍵的核心步驟又是“分別令x=1，5，3，……”.讀者自然會(huì)問(wèn)：為什么要令x=1，5，3這三個(gè)值呢？令其他值也能求出答案嗎？

令區(qū)間[1，5]的兩個(gè)端點(diǎn)值1與5這是自然的，令x=3又有何玄機(jī)？容易看出3是兩個(gè)端點(diǎn)值1與5的平均數(shù)，這是一般規(guī)律嗎？

2 題1的另解——破解玄機(jī)

題1的另解 可得題設(shè)即x∈[1，5]，-x2-2≤px+q≤-x2+2.如圖1所示，可得線段y=px+q（1≤x≤5）夾在兩條曲線段y=-x2-2（1≤x≤5），y=-x2+2（1≤x≤5）之間.

可得曲線段y=-x2+2（1≤x≤5）的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A（1，1），B（5，-23），還可證得線段AB：y=-6x+7（1≤x≤5）與曲線段y=-x2-2（1≤x≤5）切于點(diǎn)C（3，-11），再由數(shù)形結(jié)合思想可得p，q的值分別是-6，7.

圖1

但還需要作嚴(yán)格證明：分別令x=1，3，5，可得

-2≤1+p+q≤2，-2≤9+3p+q≤2，-2≤25+5p+q≤2.

在平面直角坐標(biāo)系pOq中作出以上不等式組表示的區(qū)域后，可得p=-6，q=7.

也可這樣證明：分別令x=1，5，3，可得p+q≤1，5p+q≤-23，6p+2q≥-22，所以-22≤6p+2q=（p+q）+（5p+q）≤1-23=-22.

因而p+q=1，5p+q=-23，6p+2q=-22，即p=-6，q=7.

同原解法，還可驗(yàn)證p=-6，q=7滿足題設(shè)，所以滿足題設(shè)的p，q的值分別是-6，7.

因而[KF（]p2+q2[KF）]=[KF（]85[KF）]，進(jìn)而可得所求答案是9.

3 題1的一般情形

定理1 若α，β（α<β）是已知數(shù)，則x∈[α，β]，x2+ax+b≤（α-β）28（a，b是常數(shù)）的充要條件是a=-α-β，b=α2+6αβ+β28.

證明 可得題設(shè)即x∈[α，β]，-x2-（α-β）28≤ax+b≤-x2+（α-β）28.

（請(qǐng)讀者自己畫圖）可得線段y=ax+b（α≤x≤β）夾在另兩條曲線段y=-x2-（α-β）28（α≤x≤β），y=-x2+（α-β）28（α≤x≤β）之間.

可得曲線段y=-x2+（α-β）28（α≤x≤β）的兩個(gè)端點(diǎn)分別為Aα，-7α2-2αβ+β28，Bα，α2-2αβ-7β28，還可證得線段AB：y=（-α-β）x+α2+6αβ+β28（α≤x≤β）與曲線段y=-x2-（α-β）28（α≤x≤β）切于點(diǎn)Cα+β2，-3α2+2αβ+3β28，再由數(shù)形結(jié)合思想可得欲證結(jié)論成立.

但還需要作嚴(yán)格證明：

分別令x=α，β，α+β2，可得

αa+b≤-7α2-2αβ+β28，βa+b≤α2-2αβ-7β28，（α+β）a+2b≥-3α2+2αβ+3β24.

所以

-3α2+2αβ+3β24≤（α+β）a+2b=（αa+b）+（βa+b）≤-7α2-2αβ+β28+α2-2αβ-7β28=-3α2+2αβ+3β24.

因而αa+b=-7α2-2αβ+β28，βa+b=α2-2αβ-7β28，（α+β）a+2b=-3α2+2αβ+3β24，即a=-α-β，b=α2+6αβ+β28.

又因?yàn)楫?dāng)a=-α-β，b=α2+6αβ+β28 時(shí)，可得x∈[α，β]，x2+ax+b=x-α+β22-（α-β）28≤（α-β）28，所以欲證結(jié)論成立.

推論1 x∈[-1，1]，x2+ax+b≤12（a，b是常數(shù)）的充要條件是a=0，b=-12.

證明 在定理1中選α=-1，β=1，可得欲證結(jié)論成立.

注 在推論1中設(shè)x=tα（α>0），可得結(jié)論：t∈[-α，α]，t2+pt+q≤α22（p，q是常數(shù)）的充要條件是p=0，q=-α22.

在該結(jié)論中設(shè)t=x-α′+β′2，α=β′-α′2（α′<β′），可得定理1.所以定理1與推論1是等價(jià)的.也可用證明定理1的方法證得推論1.

題2 （2017年清華大學(xué)領(lǐng)軍計(jì)劃數(shù)學(xué)試題第23題，不定項(xiàng)選擇題）若對(duì)于任意滿足|x|≤1的實(shí)數(shù)x，均有|x2+ax+b|≤12成立，則（）.

A.實(shí)數(shù)a有唯一取值B.實(shí)數(shù)a的取值不唯一

C.實(shí)數(shù)b有唯一取值D.實(shí)數(shù)b的取值不唯一

解 由推論1可得答案是AC.

題3 已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c（-1≤x≤1），是否存在實(shí)數(shù)b，c使得|f（x）|max=12？若存在，求出b，c的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解 由推論1可得存在實(shí)數(shù)b，c滿足題設(shè)，且b=0，c=-12.

題4 若x∈[1，2]，4x2+ax+b≤12（a，b是常數(shù)），則b=.

解 可得題設(shè)即x∈[1，2]，x2+a4x+b4≤18a4，b4是常數(shù)，再由定理1可求得答案9.

4 對(duì)題1的再研究

題5 若x∈[-1，1]，x3+ax2+bx+c≤14（a，b，c是常數(shù)），則a，b，c的取值范圍分別

是.圖2

解 可得題設(shè)即x∈[-1，1]，-x3-14≤ax2+bx+c≤-x3+14.

如圖2所示，可得曲線段y=-x3-14（-1≤x≤1）的左端點(diǎn)是A-1，34，曲線段y=-x3+14（-1≤x≤1）的右端點(diǎn)是B1，-34，線段AB：y=-34x（-1≤x≤1）夾在兩條曲線段y=-x3-14（-1≤x≤1），

y=-x3+14（-1≤x≤1）

之間且分別切于點(diǎn)D12，-38，C-12，38.

由圖2可知，a=0，b=-34，c=0滿足題設(shè).下面由此思路，給出本題的完整解答：

分別令x=-1，1，-12，12，可得

-a+b-c≤-34，①a+b+c≤-34， ②a-2b+4c≤32，③-a-2b-4c≤32，④

①+②，可得b≤-34;③+④，可得b≥-34.所以b=-34.

再把b=-34代入①②，可得a+c=0;又把b=-34代入③④，可得a+4c=0.所以a=c=0.

當(dāng)a=0，b=-34，c=0時(shí)，可得x3+ax2+bx+c=x3-34x.用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)f（x）=x3-34x（0≤x≤1）的值域是-14，14，所以奇函數(shù)y=x3-34x（-1≤x≤1）即y=x3+ax2+bx+c（-1≤x≤1）的值域也是-14，14，因而x∈[-1，1]，x3+ax2+bx+c≤14.

綜上所述，可得所求a，b，c的取值范圍分別是{0}，-34，{0}.

定理2 若ε，α（α>0）是已知數(shù)，則x∈[ε-α，ε+α]，x3+ax2+bx+c≤α34（a，b，c是常數(shù)）的充要條件是a=-3ε，b=3ε2-34α2，c=34α2ε-ε3.

證明 在題5的結(jié)論中設(shè)x=tα（α>0），可得結(jié)論：t∈[-α，α]，t3+pt2+qt+r≤α34（p，q，r是常數(shù)）的充要條件是p=0，q=-34α2，r=0.

在該結(jié)論中設(shè)t=x-ε，可得t3+pt2+qt+r=（x-ε）3+p（x-ε）2+q（x-ε）+r=x3+（p-3ε）x2+（3ε2-2pε+q）x+（r-qε+pε2-ε3）.

進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

注 在定理2中選ε=0，α=1，可得題4的結(jié)論.所以題4的結(jié)論與定理2是等價(jià)的，也可用證明題4的結(jié)論的方法證得定理2.題6 已知x∈[1，5]，|x3+px2+qx+r|≤2，求實(shí)數(shù)p，q，r的取值范圍.

解 在定理2中令ε=3，α=2，可得所求實(shí)數(shù)p，q，r的取值范圍分別是{-9}，{24}，{-18}.

題7 若x∈[-1，1]，|x4+ax3+bx2+cx+d|≤18（a，b，c，d是常數(shù)），則a，b，c，d的取值范圍分別是.

解 分別令x=-1，1，-22，22，0，可得

-a+b-c+d≤-78，a+b+c+d≤-78，a-2b+2c-22d≤322，-a-2b-2c-22d≤322，d≤18.

所以18≥d=-12（-a+b-c+d）-12（a+b+c+d）-122（a-2b+2c-22d）-122（-a-2b-2c-22d）≥-12·-78-12·-78-122·322-122·322=18.

因而以上不等式組中的“≥”全取等號(hào)，進(jìn)而可求得a=0，b=-1，c=0，d=18.

當(dāng)a=0，b=-1，c=0，d=18時(shí)，可證得x∈[-1，1]，x4+ax3+bx2+cx+d≤18，即證x∈[-1，1]，x4-x2+18≤18.設(shè)x2=t，即證t∈[0，1]，t2-t+18≤18，而這容易獲證.

綜上所述，可得所求答案是{0}，{-1}，{0}，18.

猜想 若恒等式cosnθ=ancosnθ+an-1cosn-1θ+…a1cosθ+a0（an，an-1，…，a1，a0是與θ無(wú)關(guān)的常數(shù)，由文獻(xiàn)[1]的定理可得an-1=an-3=an-5=…=0，

an-2=-n·2n-3，an-4=n（n-3）·2n-6），則x∈[-1，1]，|xn+pn-1xn-1+…+p1x+p0|≤12n-1（pn-1，…，p1，p0是常數(shù)）的充要條件是pn-1=an-12n-1，…，p1=a12n-1，p0=a02n-1.

注 易知當(dāng)n=1時(shí)猜想成立，由推論1、題5、題7的結(jié)論可知當(dāng)n=2，3，4時(shí)猜想均成立（證明時(shí)所賦的值是區(qū)間端點(diǎn)值及所得多項(xiàng)式的極值點(diǎn)）;同定理2的證明還可把猜想的結(jié)論予以推廣;由本文的結(jié)論還可編擬出一些難度較大的題目.

參考文獻(xiàn)

[1] 甘志國(guó).談?wù)勥@道“合情推理”高考題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2011（8）：46-48.

作者簡(jiǎn)介 甘志國(guó)（1971—），正高級(jí)教師、特級(jí)教師、湖北名師.對(duì)高考數(shù)學(xué)題及重點(diǎn)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃校考（數(shù)學(xué)）兩方面研究較多較深：發(fā)表了多篇文章，出版了多冊(cè)著作，針對(duì)教師培訓(xùn)作了多場(chǎng)講座.