【摘 要】 同課異構(gòu)是提升教學(xué)質(zhì)量和教師專業(yè)素質(zhì)的一種行之有效的校本教研方式.文章呈現(xiàn)四位青年教師對同一教材內(nèi)容《二項(xiàng)式定理》（第1課時(shí)）的不同處理，不同的教學(xué)策略、迥異的風(fēng)格所產(chǎn)生的不同教學(xué)效果，并加以點(diǎn)評，然后給出自己的見解，彰顯了數(shù)學(xué)文化的融入和學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】 同課異構(gòu);數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)素養(yǎng);教學(xué)思考

前不久筆者應(yīng)邀參加了洋縣中學(xué)開展的《二項(xiàng)式定理》（北師版教材第1課時(shí)）教學(xué)的同課異構(gòu)活動，活動組織安排的井然有序，首先是連續(xù)四節(jié)聽課，評委打分，緊接著兩節(jié)交流研討，評委及聽課教師分類評課交流，活動開展的扎實(shí)有效，受益匪淺.但反思參與授課的四位年輕教師的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂表現(xiàn)，我很想談幾句，不當(dāng)之處，盡請指正.

1 教學(xué)情景呈現(xiàn)與評析

1.1 創(chuàng)設(shè)情境引入課題

四位授課教師引入環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，按參賽順序整理如下：

杜老師：[思考]今天是星期五，再過23天后是星期幾？追問：再過810天后是星期幾，不借助計(jì)算器你能給出答案嗎？

趙老師：[情景問題]生活中常見的勵志語“積跬步以至千里，積怠惰以致深淵”，其中蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)公式：（1+0.01）365≈37.8，（1-0.01）365≈0.03.

[抽象問題]公式的實(shí)質(zhì)就是計(jì)算（a+b）n的問題.

范老師：回顧（a+b）2的展開式，進(jìn)而提出：（a+b）3的展開式如何得到？（a+b）4，（a+b）5，…，（a+b）100 還能用此方法展開嗎？

尹老師：本節(jié)課開始我們學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理.什么叫二項(xiàng)式？針對（a+b）2的展開式都是學(xué)過的，那更高次冪的展開式如何呢？這就是我們本節(jié)課所要研究的問題 ：（a+b）n的展開式？

評注 杜老師采用了傳統(tǒng)的方法，利用星期的周期性，推算星期幾也就是求被7除的余數(shù)，貼近生活，但最終過渡到課題明顯不在知識的最近發(fā)展區(qū)，顯得牽強(qiáng)不自然.又由于學(xué)生對星期五這一天算不算在23天內(nèi)，及“再過——后”詞義含糊不清，出現(xiàn)“星期六、星期日、星期一”等不同答案，嚴(yán)重消弱了原本的設(shè)計(jì)意圖;趙老師用出自荀子

《勸學(xué)篇》的語句中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化，抽象出數(shù)學(xué)問題引入，其中365次方代表一年365天，1代表每一天要做的努力，1.01表示每天多做0.01，0.99代表每天少做0.01.365天后，一個(gè)增長到了37.8，一個(gè)減少到0.03，差別太大了！ 這兩個(gè)公式被網(wǎng)友解讀為：“每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，屌絲一年變富帥;每天退步一點(diǎn)點(diǎn)，富美一年變挫矮”.作為教學(xué)勵志用語，要明確表達(dá)這層意思：“希望同學(xué)們懂得每天多做一點(diǎn)點(diǎn)，就可以積少成多，帶來飛躍;每天少做一點(diǎn)點(diǎn)，就會不進(jìn)則退，跌入谷底.”如此這般，文化意蘊(yùn)濃厚，教育意義突出，又能順利點(diǎn)題，但這對后續(xù)介紹公式（1+x）n≈1+nx（x→0）略有影響，因?yàn)槿粢枚?xiàng)式定理驗(yàn)證公式（1+0.01）365≈37.8需要計(jì)算到展開式的第13項(xiàng)C12365（0.01）12方可;范老師和尹老師基本上屬于開門見山的方法，直接提出數(shù)學(xué)問題“（a+b）n的計(jì)算”引入課題，但前者先展開了（a+b）2和（a+b）3，有溫故知新的“憤”狀，而后者并未調(diào)動起學(xué)生的思考，屬于老師的個(gè)人表演.

1.2 問題探究發(fā)現(xiàn)定理

四位老師均采用從特殊到一般的探究、歸納、猜想、證明的思路來推進(jìn)定理的教學(xué)，但呈現(xiàn)方式卻不同.

杜老師：問題1 請展開（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3），并分析各項(xiàng)，你能用本章所學(xué)的知識解釋各項(xiàng)的構(gòu)成嗎？

問題2 若令a1=a2=a3=a，b1=b2=b3=b，能得到什么？展開式整理過后各項(xiàng)的系數(shù)有什么特點(diǎn)？

問題3 （a+b）4展開后有哪幾種形式的項(xiàng)？各項(xiàng)的系數(shù)分別是什么？

問題4 觀察上面幾個(gè)式子的展開式中項(xiàng)數(shù)、指數(shù)變化以及系數(shù)變化，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能猜想（a+b）n的展開式嗎？

趙老師：[閱讀文獻(xiàn)] （a+b）n的展開式問題，早在公元1261年我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》一書中給出了二項(xiàng)式系數(shù)的三角形數(shù)塔，即“楊輝三角”：

1

11……（a+b）1=a+b

121 ……（a+b）2=a2+2ab+b2

1331 ……（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641 ……（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

15101051

……………… ……

問題1 利用楊輝三角試著寫出（a+b）5的二項(xiàng)展開式？

問題2 試猜測（a+b）n展開式的項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)的一些規(guī)律？

問題3 試用多項(xiàng)式乘法展開（a+b）3，分析展開式的特點(diǎn)？

問題4 試用上述規(guī)律展開（a+b）4.

問題5 試用上述規(guī)律分析（a+b）n的展開式.

范老師：問題1 分析（a+b）2=a2+2ab+b2的展開式是如何得到的？追問：再從組合的角度對其進(jìn)行分析.

問題2 類比以上過程，分析（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b）的展開式.

問題3 不計(jì)算，能否寫出（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的展開式？

問題4 利用組合的知識得到了（a+b）3，（a+b）4的展開式，推廣到一般，能否用同樣的方法將（a+b）n展開？

尹老師：問題1 展開（a1+b1）（a2+b2），每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？

問題2 請展開（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3），展開式中有多少項(xiàng)？每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？

問題3（a+b）3的展開式又是什么？

探究 合并同類項(xiàng)之前共有多少項(xiàng)？各項(xiàng)是怎么來的？合并整理過后有幾項(xiàng)？各項(xiàng)的系數(shù)是怎么來的？

問題4 猜想（a+b）4展開式有哪幾種形式的項(xiàng)？各項(xiàng)的系數(shù)分別是什么？

問題5 猜想（a+b）n的展開式是什么？并說明理由.

評注 杜老師采用教材的方法探究，但未達(dá)到教材編者的意圖.問題1前半問目的是弄清多項(xiàng)式乘法法則，即展開式的每一項(xiàng)都是由各個(gè)因式中的一項(xiàng)相乘得到的，后半問意在表達(dá)每一項(xiàng)都是由各個(gè)因式中的一項(xiàng)的組合，明顯這個(gè)問題放在問題2后面更合適;相比之下尹老師的設(shè)計(jì)更加細(xì)膩，不僅在問題1給出了兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的鋪墊，而且問題3強(qiáng)調(diào)了合并同類項(xiàng)前后的異同，又在問題4通過二項(xiàng)四次式展開來強(qiáng)化展開式的特點(diǎn)，為一般情況的猜想和證明打好了基礎(chǔ).

教材在下一節(jié)《二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》中就是依據(jù)“楊輝三角”來學(xué)習(xí)的，趙老師第一節(jié)便介入“楊輝三角”不僅整體上顯得累贅，而且問題2的完成難以實(shí)現(xiàn)，也不利于揭示二項(xiàng)式定理的形成過程，不利于問題3，4展開式的乘法規(guī)律的發(fā)掘，同時(shí)也影響了這兩個(gè)問題的教學(xué)效果，成為單純?yōu)榱俗C明n次展開式的方法探尋.若將其放在課時(shí)最后給出，并提示“關(guān)于楊輝三角有很多有趣的結(jié)論，望大家課后進(jìn)行探索.”是否可起到拋磚引玉的良好預(yù)習(xí)效果.

范老師直接分析完全平方公式的特點(diǎn)，表面看是從學(xué)生熟悉的公式出發(fā)研究，但學(xué)生已知公式的簡化形式，這就需要回到公式的形成中觀察展開式各項(xiàng)及其系數(shù)的規(guī)律，否則容易形成探究假象或教師枯燥講解.事實(shí)上，從組合角度直接寫出系數(shù)的組合數(shù)形式也的確困難.

1.3 熟悉定理學(xué)以致用

本節(jié)課內(nèi)容較多，時(shí)間緊張，想面面俱到是不可能的，因此在例題的選擇上要盡量做到精講.四位老師對教材例題都做了一定的篩選，但效果差異較大.

杜老師：[小試牛刀] 在二項(xiàng)式定理中，令a=1，b=x，寫出二項(xiàng)展開式.

例1 展開x+1x25.

例2 展開2x-1x4.

思考 （1）展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是什么？（2）展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)是什么？（3）如果不展開所有項(xiàng)，你能求出其中的常數(shù)項(xiàng)嗎？如何求出？

評注 公式（1+x）n=1+C1nx+…+Crnxr+…+xn作為二項(xiàng)式定理的特例，在這里出

現(xiàn)起到讓學(xué)生理解公式中a，b的任意性和熟悉定理的作用（這個(gè)作用例1，例2同樣可以體現(xiàn)），但其它豐富的價(jià)值，如理解1+x的n次展開式中多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征、研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、近似計(jì)算及賦值法的應(yīng)用等難以發(fā)揮.另外，在講授例1時(shí)老師引導(dǎo)對應(yīng)公式中的a，b，寫出展開式，板書過程，強(qiáng)調(diào)了結(jié)果的化簡，體現(xiàn)了解題的規(guī)范性;在講授例2時(shí)直接將2x-1x4化為（2x-1）4x2，然后展開，接著回答思考問題.如此講解，并未體現(xiàn)替換教材中的例2、例3的作用.筆者建議：去掉“小試牛刀”環(huán)節(jié)，直接使用教材中的例2、例3，其中例2用來熟悉定理的展開過程及二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別，而把例3作為側(cè)重建立二項(xiàng)式定理這個(gè)數(shù)學(xué)模型和落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的問題，強(qiáng)調(diào)把2x-1x看成2x+-1x，以及根指互化、指數(shù)運(yùn)算、通分變形等運(yùn)算能力，根據(jù)情況增加變形轉(zhuǎn)化解法以及求常數(shù)項(xiàng)等問題.

趙老師：例1 利用二項(xiàng)式定理展開下列各式：

（1）（x+2）5;（2）2+1x4; （3）x-1x4.

例2 求（x-2y）6展開式中的第四項(xiàng)，并求該項(xiàng)的系數(shù).

變式 （2018年全國卷改編）求x2+2x5展開式中x4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù).

評注 此處雖然保留了教材中的例1，例2，例4，但揚(yáng)棄教材中例3，忽視根式的運(yùn)算及該題的不同求解策略，似有不妥，且例1中三小題的設(shè)計(jì)顯得重復(fù)，筆者認(rèn)為至少可以刪去一個(gè)小題，如（2）.

范老師：（1）知識應(yīng)用： 展開（1-2x）5.

（2）小試牛刀： 課本練習(xí)1，2.

（3）變式訓(xùn)練：已知（1-2x）5，求①展開式中第四項(xiàng);②展開式中第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);③展開式中第四項(xiàng)的系數(shù).

（4）鏈接高考：（x+a）10展開式中，x7的系數(shù)為15，則a=.

評注 范老師采用階梯式上升的策略對能力欠佳的學(xué)生較為有利，但（1）（3）兩個(gè)環(huán)節(jié)放在一起似乎更緊湊，且完全拋棄課本的例題值得商榷.課本中的每一個(gè)例題都有用意，題可以替換，但其作用不能忽視！

尹老師：例1 求2+1x4的展開式.

變式 求2-1x4的展開式.

思考 1.寫出展開式的第三項(xiàng);2.寫出展開式的第三項(xiàng)系數(shù);3.寫出展開式的第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);4.你能直接寫出展開式的第四項(xiàng)及系數(shù)嗎？5.展開式中有無常數(shù)項(xiàng)？若有，是多少？

例2 已知2x-1x4.（1）求其展開式;（2）展開式中第5項(xiàng);（3）寫出含x2的項(xiàng);（4）常數(shù)項(xiàng).

評注 尹老師將例1板演講授，并給出變式題，接著提出5個(gè)思考問題直指展開式的指定項(xiàng)問題可謂一箭三雕：第一，強(qiáng)調(diào)定理“a+b”的模式;第二，參透通項(xiàng)公式的應(yīng)用;第三，強(qiáng)化項(xiàng)的系數(shù)及其二項(xiàng)式系數(shù)概念.但隨后把例2作為學(xué)生自主練習(xí)，筆者認(rèn)為難度偏大，把例2和變式1對調(diào)是否更好？

2課后反思

四位老師的教學(xué)基本做到重視二項(xiàng)式定理的形成過程，定理的特征及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式這一核心內(nèi)容，作為工作三五年的年輕教師已經(jīng)很不錯了，但俗話說“教學(xué)沒有最好只有更好”，特別是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識和學(xué)科素養(yǎng)的孵化.

2.1 整體把握教材系統(tǒng)優(yōu)化教學(xué)

要備好一節(jié)課，首先要從整體上把握該課內(nèi)容，通常包括兩個(gè)方面：一方面是這部分知識的前后聯(lián)系，一方面是本課內(nèi)容本身的要求及橫向拓展.二項(xiàng)式定理涉及組合數(shù)，而且由二項(xiàng)式定理可以推導(dǎo)出一些組合數(shù)的恒等式，因此它最好是計(jì)數(shù)原理的后繼內(nèi)容，另一方面，它也為后面學(xué)習(xí)二項(xiàng)分布奠定基礎(chǔ).教材安排第一節(jié)學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理，第二節(jié)學(xué)習(xí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其中滲透了楊輝三角，由表及里，二項(xiàng)式系數(shù)通過“式算”和“圖算”結(jié)合的方式呈現(xiàn)，利于學(xué)生接受.

二項(xiàng)式定理本質(zhì)上是多項(xiàng)式運(yùn)算的推廣，利用多項(xiàng)式乘法法則，通過從特殊到一般的推理過程進(jìn)行歸納概括，探索得出二項(xiàng)式定理，是本節(jié)的重點(diǎn)也是難點(diǎn).本節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)就是二項(xiàng)式定理的簡單應(yīng)用，特別是利用通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)及其系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)問題.對于二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（包括楊輝三角）、賦值法的應(yīng)用、最值問題、參數(shù)問題、二項(xiàng)式的拓展，即三項(xiàng)式和兩個(gè)二項(xiàng)式的冪的展開中項(xiàng)的問題等 ，都不宜在本節(jié)出現(xiàn).

2.2 融入數(shù)學(xué)文化提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

二項(xiàng)式定理其實(shí)就是一個(gè)公式，也就是一個(gè)二項(xiàng)式的n次冪及其展開的關(guān)系式，它由艾薩克·牛頓于1664—1665年期間提出，所以又稱牛頓二項(xiàng)式定理.在中國與二項(xiàng)式定理相應(yīng)的結(jié)論“古法七乘方圖”出現(xiàn)在楊輝的《詳解九章算法》（1261）之中，因其記載為北宋數(shù)學(xué)家賈憲所創(chuàng)，故稱為楊輝三角或賈憲三角.在歐洲，帕斯卡在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個(gè)表又叫做帕斯卡三角形.帕斯卡的發(fā)現(xiàn)比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.

四位老師只有范老師和趙老師將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)中.數(shù)學(xué)史的滲透貴在自然，對比之下范老師做得較好，他在出示課題后指出：“二項(xiàng)式定理就是研究（a+b）n=？，早在南宋時(shí)期，我國數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》一書對此有了結(jié)論.1664年，年僅22歲的牛頓發(fā)現(xiàn)并完善了二項(xiàng)式定理.”該處理既讓學(xué)生了解了數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，定理產(chǎn)生的時(shí)間，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)新知的熱情和了解中華燦爛歷史的渴望，我國早西方幾百年的發(fā)現(xiàn)究竟是怎樣的知識？

2.3 培養(yǎng)探究意識強(qiáng)化思想方法

在教學(xué)中，教師要努力把表現(xiàn)的機(jī)會讓給學(xué)生，發(fā)揮他們的自主精神;盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動的機(jī)會，讓學(xué)生在直接體驗(yàn)中構(gòu)建自己的知識體系;盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識，使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí)[1].如（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3）展開時(shí)各項(xiàng)規(guī)律的探究——每一項(xiàng)都是3個(gè)字母相乘，且這3個(gè)字母分別來自原來3個(gè)不同的因式;（a+b）3展開式中項(xiàng)的系數(shù)規(guī)律的探究——項(xiàng)的系數(shù)就是該同類項(xiàng)的個(gè)數(shù)，也就是i個(gè)a和3-i個(gè)b的排列數(shù)（i=0，1，2，3）;由（a+b）2，（a+b）3展開式的特征歸納猜想（a+b）n的展開式;利用組合數(shù)對猜想進(jìn)行“說理證明”;定理中展開式的特點(diǎn);通項(xiàng)公式的應(yīng)用;二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別;例題的不同解法等等，這些都是很好的探究點(diǎn).如何發(fā)揮其探究功能，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，既需要教師在設(shè)計(jì)上下功夫，也需要教師有很強(qiáng)的課堂駕馭能力.

波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中指出“高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)首先和主要的，是必須教會那些年輕人去思考.”[2]二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)體現(xiàn)了從特殊到一般的思維方式，定理的證明和應(yīng)用時(shí)“標(biāo)準(zhǔn)式（a+b）n”的模型化思想，例3求解的轉(zhuǎn)化劃歸思想，這些都是促進(jìn)學(xué)生思維能力的生長點(diǎn).事實(shí)上，二項(xiàng)式定理就是二項(xiàng)式乘方的展開式規(guī)律的反映，但對其形成本質(zhì)的理解程度則直接影響后續(xù)的學(xué)習(xí)，如“求（2-x2）（3x+4）5展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)”“求（2x-3y+z）6展開式中x2yz3項(xiàng)”“二項(xiàng)分布”等新知的學(xué)習(xí).

總之，二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)過程是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)，提高學(xué)生觀察歸納能力、抽象概括能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力的好素材，在教學(xué)中應(yīng)充分加以利用.

參考文獻(xiàn)

[1] 嚴(yán)士健，王尚志主編.數(shù)學(xué)（選修23）教師教學(xué)用書[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.6.

[2] 喬治·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究和講授[M].北京：科學(xué)出版社，2015.8.

作者簡介 劉正章（1968—），男，陜西旬陽人，正高級教師， 特級教師，陜西名師，主編數(shù)學(xué)書籍29部，發(fā)表文章103篇，主要鉆研于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及數(shù)學(xué)文化的研究.