周賽龍 儲(chǔ)炳南

利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，從現(xiàn)實(shí)情景出發(fā)，發(fā)現(xiàn)并提出問題，分析問題，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，并最終解決實(shí)際問題，是高中數(shù)學(xué)建模的主要過程，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的必要手段[1].本文，筆者將數(shù)學(xué)中的抽象知識(shí)與生活中的實(shí)際問題結(jié)合起來，采用數(shù)學(xué)建模的思想方法，對教室中視角“最佳”的位置問題進(jìn)行了分析探討，旨在增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的趣味性和實(shí)用性，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

1 提出問題

我們知道，在教室里坐在不同位座上，看黑板感受是不一樣，這主要是由于在不同位置觀看黑板時(shí)視角不同引起的. 一般情況下，當(dāng)你觀看一個(gè)物體時(shí)，視角越大，看得就越清晰.根據(jù)以上依據(jù)， 你能找出教室中視角“最佳”的位置嗎？

2 建立模型

如圖1所示， 在豎直墻面α上有一矩形黑板ABCD，黑板兩豎直邊與墻邊距離相同.其中，AB=a，AD=b，（a>b）. E、F分別為黑板兩豎直邊上的兩點(diǎn)，且滿足：EF∥AB∥CD∥β，G、H分別為黑板兩水平邊上的兩點(diǎn)，且滿足：GH⊥β，AD⊥β ，BC⊥β.延長GH交面β于點(diǎn)I.點(diǎn)P（眼睛）在水平平面β內(nèi)，邊CD在β上方且與β的距離HI為定值c.

實(shí)際上，當(dāng)我們在點(diǎn)P處看黑板時(shí)，視角會(huì)分為水平和豎直兩個(gè)方向，結(jié)合觀看物體時(shí)，視角越大看得越清晰的理論前提，教室中看黑板最清晰的位置，應(yīng)該同時(shí)滿足如下兩個(gè)條件：①水平方向上，點(diǎn)P到黑板的距離PJ和EF到β面的距離KJ一定時(shí)， ∠EPF度數(shù)最大;②豎直方向上，GH與黑板兩豎直邊的距離一定時(shí)，∠GPH度數(shù)最大.

3 求解模型

3.1 水平方向上最大視角的求解

如圖1所示，連接線段PE、PF.當(dāng)點(diǎn)P到黑板的距離PJ和EF到β面的距離KJ一定時(shí)， 點(diǎn)P到線段EF的距離PK也固定，記：PK=h.則問題可轉(zhuǎn)化為如下模型：

如圖2、3所示，在△PEF中，邊EF上的高為線段PK，且PK=h，EF=a均為定值，求∠EPF度數(shù)最大時(shí)點(diǎn)P的位置.

解 設(shè)EK=x，記∠EPF=θ，∠KPE=α，∠KPF=β.

（1）如圖2所示，高PK的垂足K在線段EF上時(shí)，0≤x≤a，則：

tanα=EKPK=xh，tanβ=FKPK=a-xh

所以cotθ=cot（α+β）=1-tanαtanβtanα+tanβ=1-xh·a-xhxh+a-xh=x-a22+h2-a24ah .

當(dāng)x=a2時(shí)，（cotθ）min=4h2-a24ah，即∠EPF=θ取最大值.此時(shí)，點(diǎn)P在邊EF的垂直平分線上.

（2）如圖3所示，高PK的垂足K在線段EF延長線上時(shí)，x>a，則：

tanα=EKPK=xh，tanβ=FKPK=x-ah.

所以cotθ=cot（α-β）=1+tanαtanβtanα-tanβ=1+xh·x-ahxh-x-ah=（x-a2）2+h2-a24ah.

所以此時(shí)，（cotθ）min>4h24ah>4h2-a24ah.

綜上可知：當(dāng)x=a2時(shí)，cotθ取最小值;即點(diǎn)P在邊EF的垂直平分線上時(shí)，即∠EPF=θ取最大值.

3.2 豎直方向上最大視角的求解

如圖1所示，線段GH垂直平分黑板兩水平邊時(shí)，延長GH交面β與點(diǎn)I，連接線段PI、PH、PG.則問題可轉(zhuǎn)化為如下模型：

如圖4所示，在Rt△PGI中，點(diǎn)H為邊GI上一點(diǎn)，且滿足GH=b，HI=c，求：當(dāng)線段PI的長度取何值時(shí)，∠GPH度數(shù)最大.

解 設(shè)PI=x，記∠GPH=θ，∠GPI=α，∠HPI=β，則：

tanα=GIPI=b+cx，tanβ=HIPI=cx.

所以tanθ=tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanαtanβ=b+cx-cx1+b+cx·cx=bx+（b+c）cx .

所以當(dāng)x=（b+c）c時(shí)，tanθ取最大值，角θ度數(shù)最大.即：PI=（b+c）c時(shí)，∠GPH最大.

綜合以上水平和豎直兩個(gè)方向上的最大視角的求解結(jié)果可知：教室里，黑板的正中央且距離黑板的距離為（b+c）c處的位置為教室中視角“最佳”的位置.

4 檢驗(yàn)結(jié)果

以上求解結(jié)果中，水平方向上，教室中的每一排的最中間位置是看黑板的“最佳”位置與現(xiàn)實(shí)情況相符合，因?yàn)橹虚g位置不僅可以保障水平視角達(dá)到最大，而且不用斜視，且不易出現(xiàn)黑板“反光”情況;而對于豎直方向上，教室中最中間列距離黑板（b+c）c處的位置為視角“最佳”的位置卻可以有不同的闡釋：一方面，此處所說的位置“最佳”僅代表在該位置處恰好同一水平方向和同一豎直方向上的視角同時(shí)達(dá)到最大，但在其他水平方向上，此位置所處的水平視角卻不是最大的，因?yàn)閷τ诮淌抑械淖钪虚g列而言，顯然，距離黑板越近，水平視角會(huì)越大;另一方面，此處所說的視角 “最佳”位置不一定是教室中觀看黑板“最舒服、最健康”的位置，

如圖5所示，當(dāng)豎直視角為角θ時(shí)，人體需要抬頭后仰或向上眼動(dòng)一個(gè)φ=2β+θ2角度，長時(shí)間觀看黑板時(shí)易造成人體一定程度上的頸部或眼部疲勞.但考慮到一般教室的空間不大，一節(jié)課時(shí)間不長且學(xué)生課間可以適當(dāng)休息，所以角度φ對學(xué)生觀看黑板的舒適度及身體健康的影響不會(huì)太大.但若在空間大、觀看時(shí)間長的電影場中，最佳觀影位置的選擇就應(yīng)該著重考慮角度φ對觀眾觀影體驗(yàn)的影響了，畢竟大多人看電影是奔著放松娛樂去的.

5 模型應(yīng)用案例

如圖6所示， 一矩形足球場在平面α上，矩形ABCD是一方球門所在位置，其中AB=a，AD=b，（a>b）.在平面α上，除矩形ABCD外，現(xiàn)將矩形足球場分為如圖所示的Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)位置區(qū)域，點(diǎn)P（射球點(diǎn)）在平面α內(nèi)，過點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E，討論點(diǎn)P的最佳射門位置.