【摘 要】 對(duì)數(shù)函數(shù)新舊教材擦差異較大，要全面理解對(duì)數(shù)函數(shù)，要先分析新舊教材的差異，然后聚焦到“對(duì)數(shù)函數(shù)的概念”，最后思考面對(duì)新的變化我們的教學(xué)該怎么辦.

【關(guān)鍵詞】 教材解讀;教材比較;對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容之一，也是高一學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)之一，同時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)也是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)紐帶，因此理解對(duì)數(shù)函數(shù)、教好對(duì)數(shù)函數(shù)非常有必要.

在人教A版舊教材[1]（依據(jù)2003年版課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的教材）中，對(duì)數(shù)函數(shù)安排在必修1第二章第二節(jié)（2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)），在新教材[2]（依據(jù)2017年版課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的教材）中，對(duì)數(shù)函數(shù)安排在必修第一冊(cè)第四章第四節(jié)（4.4對(duì)數(shù)函數(shù)），都是高一學(xué)習(xí)的內(nèi)容.新舊教材編寫差異較大，最顯著的差異是新教材“對(duì)數(shù)函數(shù)的概念”單獨(dú)成一節(jié)，筆者將對(duì)這一內(nèi)容做出解讀，以便全面深入地理解對(duì)數(shù)函數(shù)這一核心內(nèi)容.

1 “對(duì)數(shù)函數(shù)”新舊教材差異

對(duì)數(shù)函數(shù)新舊教材編寫差異，包括編寫理念、內(nèi)容的安排、編寫的順序，素材的選取，例題習(xí)題的安排等，差異都很大.本文不面面俱到地研究這些差異，只從以下三個(gè)視角對(duì)兩者做一個(gè)比較，以點(diǎn)帶面，旨在幫助大家整體地理解對(duì)數(shù)函數(shù).

1.1 教材編排：一節(jié)VS三節(jié)

在舊教材中，對(duì)數(shù)函數(shù)分為兩部分：“2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算”和“2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”，其中對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)新教材“4.3對(duì)數(shù)”（本文不研究這塊內(nèi)容的比較）.“2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”介紹了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).在它之后是冪函數(shù).

在新教材中，“4.4對(duì)數(shù)函數(shù)”安排了三節(jié)：4.4.1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，4.4.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，4.4.3不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異.

4.4.1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念是新教材新增加的，也是本文將重點(diǎn)解讀的部分.

4.4.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，內(nèi)容編寫與舊教材差別不大，都是先研究具體的函數(shù)y=log2x與y=log12x，并由此歸納出一般的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，然后是應(yīng)用，最后介紹了指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù).

4.4.3不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異，新舊教材都有，但差異很大.在舊教材中，它出現(xiàn)在3.2節(jié)，與對(duì)數(shù)函數(shù)不是在同一章.對(duì)幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)是與應(yīng)用聯(lián)系在一起的，通過具體的實(shí)例，通過數(shù)學(xué)建模，體會(huì)各種模型的增長(zhǎng)速度的快慢.在新教材中，是通過具體的函數(shù)y=2x與函數(shù)y=2x以及y=110x與y=lgx的比較，先感性認(rèn)識(shí)各種模型的增長(zhǎng)速度的快慢，再概括出相應(yīng)的一類函數(shù)的增長(zhǎng)快慢.新舊教材相比而言，筆者認(rèn)為新教材更精簡(jiǎn)，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更利于掌握不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異這一內(nèi)容.

1.2 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：一段VS一節(jié)

新教材新增了一節(jié)“對(duì)數(shù)函數(shù)的概念”，這是占一個(gè)課時(shí)的內(nèi)容，應(yīng)引起了重視.

概念的引入，新舊教材利用的素材是相同的，都是“碳14衰減的例題”，但是兩者詳略程度是不可同日而語(yǔ)的.

舊教材在介紹對(duì)數(shù)函數(shù)概念時(shí)，只是用了一段話就引出了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，接著是探究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

新教材在介紹對(duì)數(shù)函數(shù)概念時(shí)，用了一節(jié)內(nèi)容，在呈現(xiàn)碳14衰減規(guī)律后，從圖象、表達(dá)式兩個(gè)角度進(jìn)行分析，從而抽象出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.在揭示概念之后，安排了兩個(gè)例題，例題1是求函數(shù)的定義域，例題2是從指數(shù)和對(duì)數(shù)兩個(gè)角度解決物價(jià)增長(zhǎng)問題.在這之后，才探討對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

1.3 內(nèi)容核心：?jiǎn)魏诵腣S雙核心

我們對(duì)概念的解構(gòu)是為了確定概念的核心，確定概念的核心既要考慮數(shù)學(xué)內(nèi)容本身，也要考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律[3].從數(shù)學(xué)內(nèi)容的知識(shí)體系看，對(duì)數(shù)的概念，圖象與性質(zhì)都是重要的內(nèi)容，都是對(duì)數(shù)函數(shù)這一內(nèi)容的核心所在.在舊教材中，對(duì)數(shù)的概念以及圖象與性質(zhì)，是在同一節(jié)課內(nèi)進(jìn)行的，教學(xué)時(shí)自然有所側(cè)重;從學(xué)生的認(rèn)知看，他們接受這兩個(gè)內(nèi)容也是有側(cè)重的，顯而易見，無論是教師還是學(xué)生都會(huì)把重點(diǎn)放在圖象與性質(zhì)上.所以可以說，舊教材“對(duì)數(shù)函數(shù)”內(nèi)容的核心實(shí)際上只有一個(gè)：圖象與性質(zhì).

而新教材就不同了，對(duì)數(shù)函數(shù)的概念單獨(dú)成節(jié).所以“對(duì)數(shù)函數(shù)的概念”是內(nèi)容的核心，而圖象與性質(zhì)是理所當(dāng)然的核心，所以，可以說新教材“對(duì)數(shù)函數(shù)”內(nèi)容的核心有兩個(gè)：一是對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，二是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

新教材將內(nèi)容確定為兩核心，強(qiáng)調(diào)了概念的獲得過程.在碳14衰減實(shí)例的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)生物體死亡時(shí)間進(jìn)行探究，通過演繹推理的方法得到生物體死亡時(shí)間與碳14含量的關(guān)系，進(jìn)而抽象出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，關(guān)注了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

2 “對(duì)數(shù)函數(shù)的概念”逐段解讀

2.1 節(jié)引言

解讀 節(jié)引言有承前啟后的作用，它聚焦到學(xué)生的學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)，前面學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)模型以及對(duì)數(shù)，為后面學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)做了數(shù)學(xué)上的準(zhǔn)備.這里有一個(gè)提示作用，即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容與“函數(shù)”有關(guān)且與“對(duì)數(shù)”有關(guān)，是兩者結(jié)合的“對(duì)數(shù)函數(shù)”.

2.2 概念的獲得

解讀 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律” [4]，教材期望通過這一思考問題，提升對(duì)這段話的理解.對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)可以從不同的角度刻畫同一問題的變化規(guī)律，在碳14 的衰減問題中，死亡生物體碳14含量隨時(shí)間變化成指數(shù)衰減，這是上一節(jié)研究過的問題.教科書給出的思考是，已知死亡生物體內(nèi)碳14含量求時(shí)間，這與前一節(jié)的問題是“互逆”的，這樣不僅可以引出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，而且揭示了對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系.

教科書沒有到此為止，而是進(jìn)一步提出問題，死亡時(shí)間x是碳14含量y的函數(shù)嗎？這是用函數(shù)的觀點(diǎn)看問題，實(shí)際上只要是兩個(gè)變量之間有依賴關(guān)系，我們都要考慮他們之間的函數(shù)關(guān)系.

根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由y=[SX（]1[]2[SX）][JB））][SX（]x[]5730[SX）]（x≥0）得到x=log[KF（S]5730[][SX（]1[]2[SX）][KF）]y（0

解讀 問題提出后，教材從圖和代數(shù)式兩個(gè)角度進(jìn)行研究.圖是直觀的，代數(shù)式是形式化的，也是我們數(shù)學(xué)研究的最高追求.要研究出函數(shù)的表達(dá)式，也就是，要對(duì)定性的結(jié)果用定量的方式表達(dá).

這里的圖是指數(shù)函數(shù)的圖，教學(xué)時(shí)教師可以給學(xué)生呈現(xiàn)這張圖，進(jìn)而提出問題：

問題1：當(dāng)碳14的含量為50%時(shí)，生物體死亡了多少年？

問題2：當(dāng)碳14的含量為y0時(shí)，生物體死亡了多少年？

在學(xué)生求出x0=log573012y0后，請(qǐng)他們?cè)趫D中標(biāo)出.

問題3：圖4.41中，x是否是y的函數(shù)？為什么？

學(xué)生回答“是”，需要他們用函數(shù)定義回答.

通過3個(gè)問題，不僅明晰了y∈（0，1）時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系x=log573012y表示x是y的函數(shù)，而且該函數(shù)刻畫了時(shí)間x與碳14含量y的變化規(guī)律，很好地回答了思考的兩個(gè)問題.

同時(shí)，我們注意到對(duì)數(shù)函數(shù)的概念引出與指數(shù)函數(shù)是不同的，指數(shù)函數(shù)的概念是用歸納推理的方式得到，而對(duì)數(shù)函數(shù)是用演繹推理的方式得到.歸納、類比與演繹推理是“邏輯推理”核心素養(yǎng)的兩種表現(xiàn)形式，兩方面都不可偏頗.

同樣地，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由y=ax（a>0），且a≠1）可以得到x=logay（a>0，且a≠1），x與是y的函數(shù).通常，我們用x表示自變量，y表示函數(shù).為此，將x=logay（a>0，且a≠1）中的字母x和y對(duì)調(diào)，寫成y=logax（a>0，且a≠1）.

解讀 接著，由特殊到一般，由一般的指數(shù)函數(shù)y=ax得到x=logay.這里要讓學(xué)生再用函數(shù)的定義解釋：y>0，對(duì)應(yīng)關(guān)系x=logay表示x是否是y的函數(shù)，以進(jìn)一步理解函數(shù)的本質(zhì)：即兩個(gè)數(shù)集之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系.指數(shù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是f：x→ax，對(duì)數(shù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是f：x→logax.

通常，我們用x表述自變量，用y表述函數(shù)，這是我們的習(xí)慣，為了研究方便，所以寫成對(duì)數(shù)式子后，將x和y對(duì)調(diào).

另一個(gè)問題是，到這里“反函數(shù)”的概念呼之欲出，要不要順便講述？筆者認(rèn)為，這時(shí)不應(yīng)講反函數(shù)，原因有兩點(diǎn)，其一，我們研究問題要聚焦，我們的目標(biāo)是引出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，而不是反函數(shù);其二，如果這時(shí)講反函數(shù)的概念，從學(xué)生的認(rèn)知角度看，反函數(shù)更有沖擊力，這樣反而弱化了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.

教材處理問題的線索是：直觀想象——形式表達(dá)——數(shù)學(xué)抽象.這是解決實(shí)際問題的需要，但是我們數(shù)學(xué)解決的是比實(shí)際問題需要更一般的函數(shù)，這也是挖掘內(nèi)容的育人價(jià)值所在.

一般地，函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)（logarithmic function），其中x的自變量，定義域是（0，+∞）.

解讀 抽象出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念后，需要對(duì)概念進(jìn)行辨別.概念教學(xué)通常有六個(gè)環(huán)節(jié)：情景問題——分析共性——抽象概念——概念辨析（內(nèi)涵與外延的把握）——概念的表述——鞏固與應(yīng)用（應(yīng)用是分層次的，有直接的應(yīng)用和有聯(lián)系應(yīng)用）[5].對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)一樣，都是形式化定義，形式化定義應(yīng)關(guān)注其代數(shù)式結(jié)構(gòu).筆者認(rèn)為，對(duì)形式化定義的概念的辨別要適可而止，不能將之當(dāng)成教學(xué)的重點(diǎn)，比如“y=log2（2x+3）是不是對(duì)數(shù)函數(shù)？”這種辨別意義不大. 我們要將教學(xué)的重心放在函數(shù)的三要素上，用一般函數(shù)的概念指導(dǎo)具體一類函數(shù)的學(xué)習(xí)，即在一般函數(shù)概念的指導(dǎo)下，借助冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，完成對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念的抽象.

2.3 例題

例1 求下列函數(shù)的定義域：（1）y=log3x2;（2）y=loga（4-x）（a>0，且a≠1）.

解讀 例1求函數(shù)的定義域，這就是從函數(shù)的三要素上做文章，用一般的函數(shù)的概念指導(dǎo)具體一類函數(shù)的學(xué)習(xí).

另一個(gè)問題是，如何講例題？教材主編章建躍先生曾提出：“例題教學(xué)不是簡(jiǎn)單的教師示范，然后學(xué)生模仿.而是要引導(dǎo)學(xué)生‘分析題意、理解題意、你們干，我來看”，即教師要理解教材的意圖，通過引導(dǎo)學(xué)生分析題意，進(jìn)而理解題意，分析清楚后讓學(xué)生自己動(dòng)手去做.

例2 假設(shè)某地初始物價(jià)為1，每年以5%的增長(zhǎng)率遞增，經(jīng)過y年后的物價(jià)為x.（1）該地的物價(jià)經(jīng)過幾年后會(huì)翻一番？（2）填寫下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說明該地物價(jià)的變化規(guī)律.

解讀 例2用對(duì)數(shù)函數(shù)的概念解決實(shí)際問題，從指數(shù)增長(zhǎng)模型x=（1+5%）y得到對(duì)數(shù)函數(shù)y=log1.05x，蘊(yùn)含了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系.同時(shí)，這里也隱含著不同增長(zhǎng)函數(shù)模型的比較，這也是用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.

另一個(gè)需要注意的是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)，題中給出的是表格，如何從表格中看出規(guī)律？“物價(jià)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)”這句話學(xué)生能回答出來，但是后一句話“大約每增加1倍所需要的時(shí)間在逐漸縮小”，學(xué)生很難清晰的表達(dá)出來.

3.1 用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題

教學(xué)設(shè)計(jì)要瞻前顧后，就是要用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)主題式的內(nèi)容編排就是強(qiáng)調(diào)聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)從整體上把握教學(xué)內(nèi)容.實(shí)際上，新課程所提倡的單元教學(xué)設(shè)計(jì)，也是這個(gè)意思.

為了整體上把握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，教學(xué)時(shí)可以從兩個(gè)方面入手.

一是關(guān)注對(duì)數(shù)函數(shù)的內(nèi)部聯(lián)系，即從整體上認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式、定義域、值域、圖象與性質(zhì)等是一個(gè)有機(jī)的整體，教學(xué)時(shí)不可分割.

二是關(guān)注對(duì)數(shù)函數(shù)的外部聯(lián)系，即加強(qiáng)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系.教科書是在研究了指數(shù)冪、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)的表示與運(yùn)算的基礎(chǔ)上研究對(duì)數(shù)函數(shù)的.引入對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)例，也是學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的例子，這是從不同的角度看同一個(gè)問題，體現(xiàn)了聯(lián)系性.另外，在下一節(jié)內(nèi)容不同增長(zhǎng)函數(shù)模型的比較，也是用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.3.2 用函數(shù)的觀點(diǎn)看問題

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)函數(shù)的思想有較多的感受，但是真正理解函數(shù)思想?yún)s是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程[6]，這需要在平時(shí)教學(xué)中不斷的滲透.

就本節(jié)教學(xué)而言，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)看問題，可以從三個(gè)方面入手：

其一，在提出思考問題“死亡時(shí)間x是碳14含量y的函數(shù)嗎？”后，從圖和解析式兩個(gè)角度說明x是y的函數(shù)，這里要求學(xué)生用函數(shù)的定義做出判斷，這是以一般函數(shù)的概念來指導(dǎo)具體函數(shù)的學(xué)習(xí).

其二，例題1求定義域，是關(guān)注的函數(shù)的三要素，這是從不同的角度把握對(duì)數(shù)函數(shù).

其三，教材中，對(duì)數(shù)函數(shù)的編排線索是“背景——概念——圖象和性質(zhì)——應(yīng)用”，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)應(yīng)按照這一線索展開教學(xué)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)一般函數(shù)的研究套路.3.3 關(guān)注數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)

數(shù)學(xué)是一門語(yǔ)言，學(xué)好數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用好數(shù)學(xué)語(yǔ)言是我們?cè)诮虒W(xué)中要下功夫的地方.本節(jié)而言，對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的使用有兩處要特別關(guān)注：其一，在對(duì)數(shù)函數(shù)的概念引入時(shí)，從指數(shù)函數(shù)y=ax得到x=logay時(shí)，將x和y對(duì)調(diào).這是為了研究方便，適合我們的習(xí)慣而采取的措施，這體現(xiàn)了語(yǔ)言使用的特點(diǎn).其二，例題2的教學(xué)，從表格中的數(shù)據(jù)歸納變化規(guī)律時(shí)，對(duì)于數(shù)學(xué)的精確與實(shí)際問題的解決的表述，這種表述要求較高，在教學(xué)時(shí)應(yīng)特別重視.如此才能真正感受數(shù)學(xué)是表達(dá)和交流的語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述世界.

參考文獻(xiàn)

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[2] 章建躍等.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)[M].北京：北人民教育出版社，2019.

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[5] 曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論（第二版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

[6] 章建躍等.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（教師教學(xué)用書）[M].北京：北人民教育出版社，2019.

作者簡(jiǎn)介 朱成萬(wàn)（1973—），男，安徽太湖人，高級(jí)教師，人民教育出版社教材培訓(xùn)專家，杭州市131培養(yǎng)人才，專著有《高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的教學(xué)解構(gòu)與建構(gòu)》，編著《至精至簡(jiǎn)的高中數(shù)學(xué)思想與方法》，發(fā)表或獲獎(jiǎng)?wù)撐?0余篇，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué).