鄭 鈺，施浩然,2，劉曉輝,2，張文舉

（1. 西華大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，四川 成都 610039；2. 西華大學(xué)流體與動(dòng)力機(jī)械教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610039；3. 中國市政工程西南設(shè)計(jì)研究總院有限公司，四川 成都 610084）

隨著國家經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展，煤炭資源作為我國最重要的基礎(chǔ)性能源，其需求量日益增長，如何安全、高效開采發(fā)人深思。眾所周知，煤炭開采是原巖應(yīng)力產(chǎn)生擾動(dòng)，原有應(yīng)力平衡被打破，進(jìn)而發(fā)生應(yīng)力轉(zhuǎn)移、重分布的平衡調(diào)整過程[1]，該過程煤巖的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性、變形破壞特征不僅呈現(xiàn)出顯著的應(yīng)變率效應(yīng)，而且其破壞過程導(dǎo)致的沖擊地壓、瓦斯突出等更是典型的動(dòng)力災(zāi)害。因此，研究動(dòng)態(tài)應(yīng)變率下煤巖的變形破壞特征及其本構(gòu)關(guān)系能夠?yàn)榘踩?、高效進(jìn)行煤礦開采提供強(qiáng)有力的科學(xué)依據(jù)。

目前，許多學(xué)者通過霍普金森壓桿試驗(yàn)[2-5]、數(shù)值模擬[6]等方法對沖擊荷載作用下煤巖的力學(xué)特性及破壞特征展開了研究，發(fā)現(xiàn)煤巖的強(qiáng)度、變形特征參數(shù)具有明顯的應(yīng)變率相關(guān)性，煤巖的變形破壞形態(tài)隨應(yīng)變率變化差異顯著，且不同煤巖或相同煤巖不同外界條件破壞形態(tài)各異。煤巖開采過程中常常伴隨巖體破碎和碎塊塊度分布等問題，謝和平等[7]、高峰等[8]從煤巖宏觀破壞后塊度分布所具有的統(tǒng)計(jì)自相似性出發(fā)，提出了從分形幾何角度對煤巖碎塊塊度分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，指出分形維數(shù)是反映巖石破碎程度恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)特征量。張文清等[9]、丁鑫等[10]、Zhao 等[11]同樣利用霍普金森壓桿對煤巖試樣展開了不同應(yīng)變率下的沖擊壓縮試驗(yàn)，再次指出試驗(yàn)后煤巖碎塊具有明顯的分形特性，但不同煤巖由于其自身較強(qiáng)的離散性特征，破碎塊度分布存在著較大的差異。

除此而外，有關(guān)巖石動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系的研究也受到廣泛關(guān)注，目前使用較多的巖石本構(gòu)模型主要分為元件型和強(qiáng)度型兩種。元件型模型歷史悠久，最早可追溯到1974 年Lindholm 等[12]提出的硬巖過應(yīng)力模型，為研究巖石應(yīng)力、應(yīng)變、應(yīng)變率的關(guān)系提出了一種新的方向。元件型模型能較好描述巖石的力學(xué)特征[13-15]，但此類模型擬合參數(shù)多、求解復(fù)雜且擬合參數(shù)的規(guī)律性受試驗(yàn)影響大[16-18]，為克服這一不足，強(qiáng)度型模型的構(gòu)建應(yīng)運(yùn)而生?；趲r石微元體的強(qiáng)度服從Weibull 統(tǒng)計(jì)分布的假設(shè)，朱晶晶等[19]建立了能較好反映花崗巖強(qiáng)度、應(yīng)變與應(yīng)變率關(guān)系動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型。胡學(xué)龍等[20]以統(tǒng)一強(qiáng)度準(zhǔn)則為屈服準(zhǔn)則建立的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型不僅能描述巖石的硬化/軟化行為，還可反映其應(yīng)變率效應(yīng)。針對煤巖，王登科等[21]根據(jù)巖石力學(xué)的強(qiáng)度理論和統(tǒng)計(jì)損傷理論建立了煤的強(qiáng)度型統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，與現(xiàn)有元件型模型對比發(fā)現(xiàn)強(qiáng)度型模型同樣能有效描述巖石動(dòng)態(tài)力學(xué)性質(zhì)，但強(qiáng)度型模型具有結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)少、物理意義清晰等優(yōu)勢。此外，沖擊荷載下煤巖動(dòng)態(tài)強(qiáng)度和破壞應(yīng)變具有明顯的應(yīng)變率效應(yīng)，而煤巖動(dòng)態(tài)強(qiáng)度型損傷本構(gòu)模型能較好反映應(yīng)變率對應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響[22]。然而就目前的研究來看，針對煤巖這一特殊巖石雖有研究，但不同煤巖離散性特征明顯，其變形本構(gòu)必定存在差異，開展不同應(yīng)變率下煤巖的強(qiáng)度本構(gòu)關(guān)系研究仍具有重要意義。

因此，本文中利用分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar，SHPB）試驗(yàn)系統(tǒng)，對四川省宜賓市芙蓉白皎煤礦煤巖展開全過程實(shí)時(shí)高速攝影監(jiān)測的單軸沖擊壓縮試驗(yàn)，依托不同動(dòng)態(tài)應(yīng)變率下煤巖變形破壞的力學(xué)特性、破碎分維特征，深入探究煤巖的動(dòng)態(tài)破壞特征，最終提出基于煤巖動(dòng)態(tài)力學(xué)性質(zhì)的強(qiáng)度型統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，以期為煤礦安全、高效開采，煤巖動(dòng)力災(zāi)害預(yù)測、防治，提供科學(xué)依據(jù)和工程指導(dǎo)。

1 試驗(yàn)概況

1.1 煤巖試樣制備

本次試驗(yàn)選用宜賓芙蓉白皎煤礦2#煤層，埋深+350 m，富灰富硫無煙煤制樣。依據(jù)國際巖石力學(xué)與巖石工程學(xué)會(huì)（ISRM）[23]推薦，將煤巖按長徑比1∶1 制備 ? 50 mm×50 mm 的圓柱形煤巖試樣27 個(gè)，保證煤巖試樣打磨后兩端面不平行度小于0.05 mm，兩端面均垂直試樣軸線，最大偏差度不超過0.25°。

1.2 試驗(yàn)裝置

本次試驗(yàn)利用中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院的SHPB 動(dòng)靜組合加載試驗(yàn)系統(tǒng)，裝置彈性桿為40Cr 合金材質(zhì)，直徑為50 mm，長度為2 m，密度為7 697 kg/m3，泊松比為0.28，彈性模量為240 GPa，彈性桿縱波波速為5 410 m/s。試驗(yàn)系統(tǒng)利用沖擊氣壓進(jìn)行控制，采用半正弦應(yīng)力波加載，通過粘貼在入射桿和透射桿上的應(yīng)變片采集脈沖信號，并將信號傳入數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)以獲取試樣的入射、反射和透射應(yīng)變值。為減小試驗(yàn)過程中產(chǎn)生的摩擦效應(yīng)，在試樣和彈性桿的接觸面上均勻涂抹凡士林。SHPB 試驗(yàn)裝置如圖1 所示。

1.3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

SHPB 試驗(yàn)測試技術(shù)滿足應(yīng)力傳播一維假定和應(yīng)力均勻性假定，本文單軸試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)的有效性均已得到了驗(yàn)證[24]。根據(jù)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)收集的應(yīng)變波數(shù)據(jù)，由下式確定煤巖試樣的應(yīng)力σ、應(yīng)變?chǔ)?以及應(yīng)變率 ε˙ ：

式中：A0為彈性桿橫截面積，As為試樣橫截面積，E0為彈性桿彈性模量，cs為試樣中彈性波波速，Ls為試樣長度，εi(t)、εr(t)、εt(t)分別為測得的入射、反射、透射應(yīng)變，t 為時(shí)間。

對27 個(gè)煤巖試樣進(jìn)行了9 組試驗(yàn)，每一組按同一氣壓進(jìn)行了3 次平行試驗(yàn)，各煤巖試樣的試驗(yàn)數(shù)據(jù)匯總見表1。表中，D 為煤巖試樣的直徑；Ls為煤巖試樣的長度；ρ 為煤巖試樣的密度；為平均應(yīng)變率，由于試驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)定的不同氣壓會(huì)產(chǎn)生不同的沖擊速度，則不同的沖擊速度對應(yīng)不同的應(yīng)變率；σd為動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度，本文中σd取應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值應(yīng)力；εm為應(yīng)力峰值所對應(yīng)的應(yīng)變值；Ed為動(dòng)態(tài)彈性模量，本文中Ed取應(yīng)力-應(yīng)變曲線中50%峰值應(yīng)力處近似直線段的斜率。

煤巖作為一種離散性較大的巖石，為合理規(guī)避其自身缺陷影響并確保試驗(yàn)煤巖的一致性，本文分別對煤巖密度、彈性模量2 個(gè)參數(shù)進(jìn)行離散性分析。表1 中分別計(jì)算了密度和彈性模量的變異系數(shù)，變異系數(shù)越大，離散度越大。根據(jù)GB/T23561.1—2009[25]，表1 中的變異系數(shù)均小于20%，滿足試驗(yàn)要求。

表 1 煤巖基本物理力學(xué)參數(shù)Table 1 Basic physical and mechanical parameters of coal rock

2 煤巖沖擊破壞力學(xué)性能分析

2.1 動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖 2 煤巖動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 2 Dynamic stress-strain curves of coal rock

根據(jù)式(1)計(jì)算所得結(jié)果，每組氣壓下各選取一個(gè)煤巖試樣繪制動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，如圖2所示。從圖2 中可看出，煤巖動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線呈現(xiàn)明顯的非線性特征。應(yīng)力-應(yīng)變曲線大致分為4 個(gè)階段：Ⅰ為線彈性階段，由于沖擊加載過程時(shí)間短、沖擊大，曲線沒有明顯的壓密階段，而是直接進(jìn)入線彈性階段；Ⅱ?yàn)樗苄郧A段，此時(shí)彈性能不斷積聚，致使煤巖內(nèi)部原生裂紋迅速擴(kuò)展、延伸并產(chǎn)生新裂紋；Ⅲ為峰值應(yīng)力階段，應(yīng)力-應(yīng)變曲線存在一段平臺(tái)區(qū)域，這一現(xiàn)象與煤巖內(nèi)部的裂隙閉合度相關(guān)，受到?jīng)_擊荷載作用時(shí)煤巖內(nèi)部裂隙重組并達(dá)到新的平衡狀態(tài)，由于達(dá)到峰值應(yīng)力時(shí)新的平衡狀態(tài)還未被打破，應(yīng)力-應(yīng)變曲線就出現(xiàn)了平臺(tái)階段，文獻(xiàn)[17]中也提到了這一階段；Ⅳ為塑性軟化階段，此后煤巖承載能力下降，沖擊煤巖破碎導(dǎo)致其力學(xué)性能劣化。對比不同應(yīng)變率下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線可以發(fā)現(xiàn)，煤巖具有較強(qiáng)的應(yīng)變率相關(guān)性，隨應(yīng)變率升高，塑性屈服階段明顯變長，軸向變形量隨之增大。

2.2 煤巖動(dòng)態(tài)力學(xué)特征

2.2.1 動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度變化規(guī)律

圖3 為不同應(yīng)變率下煤巖抗壓強(qiáng)度σd的變化規(guī)律。對比不同應(yīng)變率下芙蓉白皎煤巖的抗壓強(qiáng)度可以發(fā)現(xiàn)，準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)變率下抗壓強(qiáng)度在8.83～12.57 MPa 的范圍內(nèi)[26]，增長率為42.35%，而在動(dòng)態(tài)應(yīng)變率20～100 s-1范圍，煤巖抗壓強(qiáng)度從8.01 MPa 增至32.82 MPa，增長率約為310%。隨應(yīng)變率的升高，準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度整體上均呈現(xiàn)增大的趨勢，且應(yīng)變率越高抗壓強(qiáng)度的增幅越大。當(dāng)應(yīng)變率低于50 s-1時(shí)，煤巖抗壓強(qiáng)度較低，甚至和準(zhǔn)靜態(tài)抗壓強(qiáng)度相近，而應(yīng)變率高于50 s-1時(shí)，抗壓強(qiáng)度顯著增大。這是由于低應(yīng)變率下煤巖未能完全呈現(xiàn)出其動(dòng)態(tài)力學(xué)特性，因而強(qiáng)度處于較低的水平，但在高應(yīng)變率下應(yīng)變率變化對抗壓強(qiáng)度的影響逐漸增強(qiáng)，這與文獻(xiàn)[4]的試驗(yàn)結(jié)果相似。

2.2.2 動(dòng)態(tài)彈性模量變化規(guī)律

煤巖動(dòng)態(tài)彈性模量Ed與應(yīng)變率的關(guān)系曲線如圖4 所示。從圖4 中可以看出，煤巖動(dòng)態(tài)彈性模量集中在2～13 GPa。對處于不同應(yīng)變率狀態(tài)下的煤巖，其動(dòng)態(tài)彈性模量具有一定的離散性，但隨應(yīng)變率的升高彈性模量總體上符合線性增長規(guī)律。彈性模量越高，煤巖變形剛度越強(qiáng)，則其抵抗變形破壞的能力也就越強(qiáng)。

圖 3 不同應(yīng)變率下的抗壓強(qiáng)度Fig. 3 Compressive strengths under different strain rates

圖 4 不同應(yīng)變率下的彈性模量Fig. 4 Elastic modulii under different strain rates

2.3 煤巖動(dòng)態(tài)變形破壞特征

煤巖的宏觀破碎是煤巖在荷載等外部因素作用下，原始缺陷不斷擴(kuò)展、貫通，最終導(dǎo)致破碎的結(jié)果[27]。煤巖內(nèi)部結(jié)構(gòu)缺陷雜亂無章、隨機(jī)分布，動(dòng)態(tài)沖擊壓縮破壞形態(tài)形式多樣，如拉裂、剪切、壓碎、周邊脫落等。不同應(yīng)變率下煤巖的破碎特征如圖5 所示。從圖5 可以看出，單軸沖擊壓縮下，應(yīng)變率較低時(shí)，如圖5(a)所示，煤巖試樣多由內(nèi)部原生裂紋起裂，并沿平行于軸向應(yīng)力的方向發(fā)生拉裂破壞。應(yīng)變率較高時(shí)，如圖5(g)～(i)所示，煤巖發(fā)生壓碎破壞，且破壞過程中伴有周邊脫落，最終試樣被壓碎為許多大小不一的塊體。因此，隨應(yīng)變率升高，煤巖破碎程度越劇烈，小顆粒破碎塊體越多。

為準(zhǔn)確反映煤巖動(dòng)態(tài)沖擊壓縮破壞全過程，試驗(yàn)過程中配置Photron 公司的FASTCAMSA1.1 高速數(shù)字式攝像機(jī)系統(tǒng)，分辨率為192×192，影像幀頻為100 000 s-1，每10 μs 拍攝一張照片。選取2 個(gè)煤巖試樣破壞全過程的高速攝影圖片進(jìn)行分析，如圖6 所示。從圖6 可以看出，煤巖破壞經(jīng)歷了由裂紋萌生、擴(kuò)展到貫穿的過程。由圖6(a)可以發(fā)現(xiàn)，69.36 s-1應(yīng)變率下，煤巖試樣承受沖擊荷載作用約2 652 μs 時(shí)裂紋沿軸向起裂并向兩端擴(kuò)展，此時(shí)應(yīng)力波已在巖樣中來回傳播了約19 次，2 812 μs 時(shí)試樣上部開始出現(xiàn)碎塊脫落，3 000 μs 后裂紋迅速貫通煤巖試樣，發(fā)生劈裂破壞，產(chǎn)生很多尺度不一的破碎塊體。由圖6(b)可以發(fā)現(xiàn)，91.51 s-1應(yīng)變率下，煤巖試樣承受沖擊荷載作用約1 682 μs 時(shí)試樣表面出現(xiàn)多條橫向裂紋，此時(shí)應(yīng)力波已在巖樣中來回傳播了約18 次，1 982 μs 時(shí)裂紋貫通試樣且碎塊脫離彈性桿，2 000 μs 后試樣迅速被壓碎，具有明顯的剪脹特征。由此可以發(fā)現(xiàn)，隨應(yīng)變率升高，應(yīng)力波在煤巖試樣中傳播的次數(shù)越少，破壞時(shí)間越短，且煤巖破壞形態(tài)大多由軸向劈裂破壞向壓碎破壞過渡。

圖 5 不同應(yīng)變率下煤巖的動(dòng)態(tài)破碎特征Fig. 5 Dynamic fracture characteristics of coal rock at dfferent strain rates

圖 6 兩個(gè)典型煤巖試樣動(dòng)態(tài)破壞過程的高速攝影圖片F(xiàn)ig. 6 High-speed photographies for the dynamic fracturing process of two typical coal rock specimens

3 煤巖破碎特征分析

如前所述，單軸沖擊壓縮下，煤巖破裂為許多大小不一的碎塊，收集試驗(yàn)后的煤巖碎塊，采用0.25、0.50、1.00、5.00、10.00、20.00、40.00、50.00 mm 的標(biāo)準(zhǔn)篩對煤巖的破碎顆粒進(jìn)行篩分，發(fā)現(xiàn)碎塊具有明顯的自相似性，能夠較好地利用分形理論進(jìn)行討論。分形理論20 世紀(jì)70 年代由Mandelbrot 創(chuàng)立[28]，1991 年由謝和平等[28]首先將其與巖石力學(xué)結(jié)合，開創(chuàng)了巖石分形領(lǐng)域新篇章。破壞后的煤巖碎塊塊度具有分形特性，究其原因在于煤巖的幾何特征和力學(xué)、物理量演化的數(shù)字特征都表現(xiàn)出良好的自相似性[9]。

采用質(zhì)量-尺寸關(guān)系計(jì)算分形維數(shù)Db[9]，其計(jì)算公式如下：

式中：r 為標(biāo)準(zhǔn)篩尺寸，M(r)為直徑小于r 的塊體累積質(zhì)量，MT為試驗(yàn)煤巖總質(zhì)量，α 為煤巖破碎塊體的質(zhì)量-尺寸分布指數(shù)，在直角坐標(biāo)系中以lg[M(r)/MT]為縱坐標(biāo)，lg r 為橫坐標(biāo)繪制曲線并進(jìn)行線性擬合，所得直線的斜率即為α。

同時(shí)，篩分后取各粒度含量的加權(quán)平均值作為煤巖破碎平均塊度dm，其計(jì)算公式如下[29]：

式中：di為每一粒級煤樣的尺寸，ri為每一粒級破碎煤巖塊體質(zhì)量累積百分率。

根據(jù)表2，得到煤巖破碎平均塊度、分形維數(shù)和應(yīng)變率的關(guān)系如圖7 所示。從圖7 可以發(fā)現(xiàn)，單軸沖擊壓縮狀態(tài)下，煤巖試樣破碎平均塊度集中在30～40 mm，且隨應(yīng)變率升高，煤巖破碎平均塊度總體呈下降的趨勢。當(dāng)應(yīng)變率為24.84 s-1時(shí)，沖擊壓縮過程中煤巖試樣被壓縮程度低，只有小塊碎屑脫落，平均塊度較大，但應(yīng)變率越高煤巖試樣初始階段獲得的能量越多，導(dǎo)致其破碎程度增強(qiáng)，破碎塊度隨之減小。單軸沖擊壓縮狀態(tài)下，煤巖破碎塊度分維值集中在1.9～2.2，說明煤巖試樣破碎塊度基本處于小尺度區(qū)間內(nèi)。在40～80 s-1應(yīng)變率范圍內(nèi)，隨應(yīng)變率升高，分形維數(shù)增大，表明大尺度煤巖碎塊占總質(zhì)量的比例減少，煤巖破碎程度隨之增強(qiáng)，破碎塊度越來越小。綜上可知，煤巖破碎塊度分維值可以反映煤巖在不同應(yīng)變率下的破碎程度，因此分形維數(shù)在煤礦高效開采中具有指導(dǎo)性意義。

表 2 不同應(yīng)變率下煤巖的破碎特征Table 2 Fragmentation characteristics of coal rock at different strain rates

圖 7 煤巖破碎平均塊度、分形維數(shù)與應(yīng)變率的關(guān)系Fig. 7 Average fragmentation and fractal dimension of coal rock at different strain rates

4 煤巖動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型

4.1 損傷變量的定義

煤巖作為一種典型的非均質(zhì)材料，內(nèi)含大量隨機(jī)分布的微裂隙、孔洞等缺陷，假設(shè)煤巖由大量微元體組成，其尺寸在空間意義上足夠大能包含大量微缺陷，但在力學(xué)意義上又充分小可將其視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。微元體具有以下性質(zhì)：（1）煤巖在宏觀上表現(xiàn)為各向同性，即各向同性損傷體；（2）煤巖破壞前服從胡克定律，破壞后不具備承載能力；（3）各微元體強(qiáng)度服從Weibull 分布。其概率密度函數(shù)表達(dá)式為：

式中：F 為微元體強(qiáng)度的分布變量，F(xiàn)0、m 為Weibull 分布參數(shù)，反映了煤巖材料的力學(xué)性質(zhì)。

當(dāng)煤巖受沖擊荷載作用時(shí)，微元體將逐漸發(fā)生破壞，可引入統(tǒng)計(jì)損傷變量D 來反映這一過程，在某一荷載的作用下，D 可表示為：

式中：N 為總微元數(shù)，Nf為已破壞的微元數(shù)，當(dāng)加載到某一荷載水平F 時(shí)：

將式（5）、（7）代入式（6），可得損傷變量D 的表達(dá)式：

4.2 微元體強(qiáng)度

根據(jù)式（8）可知，損傷變量D 受到微元強(qiáng)度F 的影響，而微元強(qiáng)度與巖石所處的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。為了體現(xiàn)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)對煤巖的影響，認(rèn)為微元體的破壞準(zhǔn)則符合Drucker-Prager (D-P)破壞準(zhǔn)則?；贒-P 破壞準(zhǔn)則的巖石微元強(qiáng)度為[21]：

式中：α 為微元體的強(qiáng)度參數(shù)，φ 為巖石的內(nèi)摩擦角，本文所選用的芙蓉白皎煤巖的內(nèi)摩擦角為22.95°[29]，則α 的值為0.126 8，I1為應(yīng)力張量的第一不變量，J2為應(yīng)力偏量的第二不變量。

將式(10)代入式(9)，本文中煤巖處于單軸狀態(tài)，因此σ2=σ3=0，ε1=ε，則微元體強(qiáng)度的表達(dá)式為：

4.3 本構(gòu)模型的建立與修正

利用應(yīng)變等效假設(shè)，獲得沖擊荷載作用下單軸煤巖的強(qiáng)度型統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型的表達(dá)式為：

由式(12)可知，建立本構(gòu)模型的關(guān)鍵在于確定兩個(gè)未知參數(shù)F0和m?？紤]到單軸沖擊試驗(yàn)中能夠較易獲得應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值應(yīng)力及其對應(yīng)的應(yīng)變，因此本文采用極值法來確定參數(shù)F0和m。由于多元函數(shù)在極值點(diǎn)（εm, σmax）處導(dǎo)數(shù)為0，將式(11)、(12)兩邊同時(shí)對ε 求導(dǎo)并化簡得：

式中：σmax、εm、E 的取值見表1，最終本構(gòu)模型參數(shù)計(jì)算結(jié)果見表3。

表 3 本構(gòu)模型參數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 3 Computational results of constitutive model parameters

由表3 可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)F0、m 與應(yīng)變率存在一定的相關(guān)關(guān)系，隨應(yīng)變率升高，F(xiàn)0越來越大，而m 大致呈現(xiàn)下降的趨勢。分別建立F0、m 和應(yīng)變率的關(guān)系，可以有效地對煤巖的損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型進(jìn)行修正。分別以F0與m 為縱坐標(biāo)，應(yīng)變率為橫坐標(biāo)繪制散點(diǎn)圖并進(jìn)行非線性擬合，如圖8、9 所示。

圖 8 參數(shù)F0 隨應(yīng)變率的變化關(guān)系Fig. 8 Variation of parameter F0 with strain rate

圖 9 參數(shù)m 隨應(yīng)變率的變化關(guān)系Fig. 9 Variation of parameter m with strain rate

經(jīng)擬合可知，F(xiàn)0、m 和應(yīng)變率的關(guān)系如下：

其擬合相關(guān)系數(shù)分別為0.95 和0.89。將式(15)、(16)代入(12)可得到修正后不同應(yīng)變率下煤巖的強(qiáng)度型統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)方程：

4.4 本構(gòu)模型的驗(yàn)證

利用修正后的本構(gòu)模型，由式(17)計(jì)算得到不同應(yīng)變率下煤巖動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變理論曲線，并與試驗(yàn)曲線進(jìn)行對比，如圖10 所示。

圖 10 不同應(yīng)變率下煤巖試驗(yàn)和理論應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 10 Comparison between experimental and theoretical stress-strain curves of coal rock under different strain rates

由模型驗(yàn)證結(jié)果可知，在20～100 s-1應(yīng)變率范圍內(nèi)，理論曲線和試驗(yàn)曲線基本具有較好的一致性，受Weibull 分布參數(shù)F0和m 的影響，理論曲線的合理修正使得其能夠較好地反映煤巖抗壓強(qiáng)度、彈性模量隨應(yīng)變率升高而增加的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性，具有較強(qiáng)的率效應(yīng)反饋，能夠更好地服務(wù)于實(shí)際工程。當(dāng)然，本文所建模型未能完全對應(yīng)煤巖動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線各加載階段的變化過程，存在一定的局限性，且模型參數(shù)確定、彈性模量選擇所產(chǎn)生的誤差均需要在以后的研究中進(jìn)一步改進(jìn)。

5 結(jié) 論

針對芙蓉白皎煤巖單軸沖擊壓縮試驗(yàn)20～100 s-1動(dòng)態(tài)應(yīng)變率范圍下的動(dòng)態(tài)破壞特征及本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行分析，得到以下結(jié)論。

（1）煤巖動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線具有明顯的非線性特征，可分為線彈性、塑性屈服、峰值應(yīng)力、塑性軟化4 個(gè)階段。隨著應(yīng)變率升高，試驗(yàn)煤巖的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度從8.01 MPa 提高到32.82 MPa，動(dòng)態(tài)彈性模量從2 GPa 左右增長到約13 GPa，煤巖剛度顯著增強(qiáng)。其動(dòng)態(tài)破壞形態(tài)由低應(yīng)變率下的軸向劈裂破壞向高應(yīng)變率下的壓碎破壞過渡。

（2）不同動(dòng)態(tài)應(yīng)變率范圍下，試驗(yàn)煤巖的宏觀破壞碎塊分形特性明顯，煤巖破碎平均塊度為30～40 mm，破碎塊度分維值為1.9～2.2。隨應(yīng)變率升高，分形維數(shù)增大，平均破碎塊度呈減小的趨勢，表明大尺度碎塊占煤巖碎塊總質(zhì)量的比例逐漸減小，煤巖破碎程度增大。

（3）基于試驗(yàn)煤巖微元強(qiáng)度服從Weibull 統(tǒng)計(jì)分布、微元體破壞符合D-P 破壞準(zhǔn)則的假設(shè)，對參數(shù)F0、m 進(jìn)行修正，建立了不同應(yīng)變率下煤巖的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度型統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。該模型能夠充分反映煤巖應(yīng)力、應(yīng)變和應(yīng)變率的關(guān)系，其有效性、合理性得到較好的驗(yàn)證。