（陜西理工大學機械工程學院,陜西漢中 723001）

1 引言

螺桿壓縮機的運轉(zhuǎn)部件少、大修期長、工作時可以強制輸氣、動平衡性好[1]，可應用在粉塵、煤礦和工藝氣體等車間內(nèi)，也可裝備在尺寸和工作條件嚴苛的機車、船舶等設備上。

螺桿轉(zhuǎn)子作為螺桿壓縮機的主要零部件，要求齒面精度高、齒間流量大、泄漏量小等，由于第一代對稱型線很難滿足工作要求，這種設備在當時并沒有得到普及。20世紀70年代，通過對原始不對稱型線的改進，第二代不對稱的轉(zhuǎn)子型線降低了內(nèi)部泄漏，提高了熱力學效率，同時隨著精密螺紋銑床的發(fā)展[2]，不僅保證轉(zhuǎn)子復雜型面的精度，其生產(chǎn)成本也大大降低[3]。轉(zhuǎn)子型線發(fā)展至今，新一代型線在優(yōu)化的同時引入了橢圓、橢圓包絡線等新曲線類型，接觸線更短，內(nèi)部泄漏降低約90%[4]，工作性能得到了進一步提升。

傳統(tǒng)的型線設計方法是從二維曲線出發(fā)，先設計陰陽轉(zhuǎn)子中的一個型線，再利用嚙合原理生成一對端面曲線和空間曲面[4-6]；后來，出現(xiàn)了通過多變量全局優(yōu)化改進某種型線既而生成新型線的方法[7]；近些年，以滿足技術(shù)指標的嚙合線為前提，通過調(diào)整影響工作性能的參數(shù)[8]或調(diào)整三次樣條曲線控制點[9]來逆向解析生成新型線的方法被廣泛采用。

但是，這類利用高次樣條曲線生成型線的方法，不僅和先進齒形有很大差距，而且仍需要包絡線上的離散點組才可以加工[10]。與此同時，這類型線對生產(chǎn)轉(zhuǎn)子的刀具、工裝和機床等要求也會相應提高，理論上最佳性能的轉(zhuǎn)子未必能夠大批量生產(chǎn)。因此，仍需回歸到經(jīng)典的轉(zhuǎn)子型線中，用定量的數(shù)學方法進行計算，尋找出通用性強且性能優(yōu)異的嚙合對，為下一步設計工作奠定基礎(chǔ)。

屬性拓撲是圖論與形式概念分析的結(jié)合[11]，分別用對象和屬性代表形式概念中的外延和內(nèi)涵，并給屬性關(guān)系賦權(quán)值，直觀的展現(xiàn)形式背景中屬性間的各類拓撲關(guān)系[12]。目前，屬性拓撲已應用在數(shù)據(jù)分析[13]和醫(yī)療診斷[14]等方面。本文首次將屬性拓撲理論引入轉(zhuǎn)子型線分析過程，對歷經(jīng)時間檢驗的轉(zhuǎn)子型線嚙合對進行形式概念計算，利用該數(shù)學語言精確地分析不同的曲線類型與螺桿壓縮機性能的關(guān)系，為生成新型線提供思路。

2 螺桿轉(zhuǎn)子型線的屬性拓撲生成

2.1 螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子型線

螺桿壓縮機的氣缸通常呈“∞”形，在缸內(nèi)平行配置按一定傳動比反向旋轉(zhuǎn)的一對相互嚙合的螺旋形轉(zhuǎn)子[1]。凸齒的是陽轉(zhuǎn)子，凹齒的是陰轉(zhuǎn)子。從單個封閉腔體的工作特性來看，螺桿壓縮機可以視為多缸活塞式壓縮機；從垂直于軸線的橫截面來看，螺桿壓縮機的陰轉(zhuǎn)子由少齒數(shù)的斜齒輪發(fā)展而來、陽轉(zhuǎn)子由多頭數(shù)的蝸桿發(fā)展而來。鑒于形式概念計算的二值背景[15]，從端面型線的角度對螺桿轉(zhuǎn)子型線進行分析。

由于第一代型線的轉(zhuǎn)子并未被廣泛應用于工程實際，所以本文僅研究第二、三代轉(zhuǎn)子型線的曲線類型。圖1～4和圖5～8分別是4種第二代和4種第三代具有代表性的轉(zhuǎn)子型線，表1～8是對應的轉(zhuǎn)子型線組成齒曲線。

圖1 原始不對稱型線

表1 原始不對稱型線組成齒曲線

2.2 轉(zhuǎn)子型線的屬性拓撲

屬性拓撲來源于形式概念分析，形式概念分析是應用數(shù)學的一個分支，而形式背景是形式概念分析的基本表示方法，根據(jù)計算需要引入下列定義與公式[11-12]。

圖2 單邊不對稱-銷齒圓弧型線

表2 單邊不對稱-銷齒圓弧型線組成齒曲線

圖3 Atlas-X型線

表3 Atlas-X型線組成齒曲線

圖4 SRM-A型線

表4 SRM-A型線組成齒曲線

圖5 GHH型線

表5 GHH型線組成齒曲線

圖6 復盛型線

表6 復盛型線組成齒曲線

圖7 SRM-D型線

表7 SRM-D型線組成齒曲線

圖8 日立型線

表8 日立型線組成齒曲線

定義1 形式背景用三元組K=（G，M，I）表示，其中G表示所有對象的集合，M表示所有屬性的集合，I?G×M表示對象與屬性之間的關(guān)系，G×M表示集合G和集合M的笛卡爾積。若A?G，B?M，令

f（A）={m∈M|?g∈A，（g，m）∈I}

g（B）={g∈G?m∈B，（g，m）∈I}

如果A，B滿足f（A）=B，g（B）=A，則稱二元組（A，B）是一個形式概念，A是形式概念（A，B）的外延，B是形式概念（A，B）的內(nèi)涵。

定義2 對于一個形式背景K=（G，M，I），M={m1，m2，…，mn}，屬性拓撲的鄰接矩陣表示法定義為T1=（V，E），V=M為屬性拓撲頂點集合，E為該屬性拓撲的鄰接矩陣，矩陣中每個元素代表從屬性mi到屬性mj邊上的權(quán)值。

定義3 屬性拓撲中的關(guān)聯(lián)矩陣表示法定義為T2=（V，E′），這種表示法只描述屬性之間的關(guān)系。其中E′為關(guān)聯(lián)矩陣

因為螺桿壓縮機需要兩轉(zhuǎn)子嚙合運轉(zhuǎn)，所以不單純分析曲線類型，將各嚙合對作為一個屬性進行分析。螺桿轉(zhuǎn)子型線嚙合對的形式背景如表9所示，表9中各符號含義見表10。

表9 螺桿轉(zhuǎn)子型線的形式背景

表10 符號表

形式背景中通常存在冗余信息，為進行簡潔地表達及運算，需要對形式背景進行預處理[11]。

最早采用包絡線的是SRM-A齒形，該齒形接觸線更短、密封效果更好，Atlas-X是從SRM齒形發(fā)展而來的，與作為國標的單邊不對稱銷齒-圓弧齒形區(qū)別不大，且沒有保護角不利于儲存運輸，直線段較長泄漏三角形較大[5]，故第二代型線中約去Atlas-X型線。SRM-D通過計算機優(yōu)化設計得到，是一種可應用于各種場合的非特殊齒形[16]，日立型線是對SRM-D和GHH優(yōu)點的綜合，故第三代型線中約去日立型線。嚙合屬性a、b和c的對象集相同，計算時合并為一個。經(jīng)預處理后的形式背景見表11。

由式（1）和式（2）可得對應的鄰接矩陣E（vi，vj）和關(guān)聯(lián)矩陣E′（vi，vj）。然后按照關(guān)聯(lián)矩陣畫出各屬性間的關(guān)系。

轉(zhuǎn)子型線的屬性集合作為拓撲的頂點集合，按照關(guān)聯(lián)矩陣畫出屬性拓撲圖（圖9），并給各邊賦予權(quán)值。

由文獻[12]中關(guān)于不同屬性的定義可知，頂層屬性集（superordinate attributes，SPAs）為{c，e}，伴生屬性集（subordinate attributes，SBAs）為{d，g，h，f}，其中，{h}為多重伴生屬性。為進一步可視化計算，先將屬性拓撲進行有序化處理[11]，SPAsT={c，e}，（SBAsT）^={g，d，f，h}。全局屬性和空對象定義為起點屬性和起點對象，空屬性和全局對象定義為終點屬性和終點對象。M（SPAs,SBAs）={Ψ，SPAsT，（SBAsT）^，E}={Ψ，c，e，g，d，f，h，E}，如圖10。

表11 經(jīng)預處理后的轉(zhuǎn)子型線形式背景

3 轉(zhuǎn)子型線屬性的異同分析

3.1 轉(zhuǎn)子型線的共性分析

通過屬性拓撲圖可以看出各屬性之間的不同關(guān)系及關(guān)聯(lián)強度，但是在工程實際中，通常希望找出性能優(yōu)異且制造方便的型線類型，這類型線具有普遍適用性。屬性偏序圖可以將各類屬性在可視化的基礎(chǔ)上達到“物以類聚”的目的。通過文獻[11]的算法，先將螺桿轉(zhuǎn)子型線的屬性拓撲圖轉(zhuǎn)化為屬性偏序圖，具體過程見表12。

由最終的屬性偏序概念圖可以得出，“擺線-點”嚙合對的應用最為廣泛，說明其具有性能較好、應用范圍廣且加工難度低等特點；“圓弧和圓弧包絡線”嚙合對得益于其制造方便，應用的工作場合僅次于“擺線-點”嚙合對；“橢圓-橢圓包絡線”和“橢圓包絡線-橢圓”是第三代型線中新發(fā)展的類型，在特殊場合、大批量生產(chǎn)的改進型號中或不將成本作為首要考慮因素的設備上才有所應用。

圖9 轉(zhuǎn)子型線的屬性拓撲

圖10 有序化處理后的轉(zhuǎn)子型線屬性拓撲

3.2 轉(zhuǎn)子型線的差異分析

在某些情況下，需要研究的不是通用性而是特性。將已生成的轉(zhuǎn)子型線屬性拓撲轉(zhuǎn)化為差異屬性拓撲[19]分析各嚙合對之間的具體區(qū)別。

定義4 差異屬性拓撲的鄰接矩陣表示法定義為T3=（V，EDM），V=M為屬性拓撲頂點集合，EDM為該屬性拓撲的差異鄰接矩陣，#EDM（mi，mj）定義為差異屬性拓撲中屬性mi指向?qū)傩詍j的邊加權(quán)的元素數(shù)，num（mi，mj）={#EDM（mi，mj）+#EDM（mj，mi）}。

求出轉(zhuǎn)子型線的形式背景對應表13的差異鄰接矩陣，然后通過該矩陣畫出相應的差異屬性拓撲，見圖11。

差異屬性拓撲能反映屬性間的互斥關(guān)系[17]，而num（mi，mj）（表14）可以定量反映出屬性之間的差異程度。各屬性之間的差異程度計算之后列于上三角。

從表14可以得出，屬性c比屬性d、g的應用廣，屬性e比屬性f、h的應用廣，屬性f比屬性h的應用廣；屬性c與屬性f的差異是任兩屬性對之間差異最大的，說明第二代型線中常用的“擺線-點”嚙合對在第三代型線中的使用程度越來越低，原因可能是包括：機床精度的提升導致成本下降，用戶不再將成本作為交易需考慮的首要因素，以及圓弧類型線對的綜合表現(xiàn)明顯占優(yōu)；屬性g到屬性c、屬性h到屬性e、f和屬性f到e的差異程度為0，導致num的值較低，說明第三代型線采用的生成方法和第二代型線差別不大，只是根據(jù)設計壓力比、工作條件的不同而導致最終型線樣式的不同。

表12 轉(zhuǎn)子型線屬性拓撲圖轉(zhuǎn)化為屬性偏序圖步驟

4 轉(zhuǎn)子型線屬性的因果分析，見表15

由于本文并非只分析某一代中的某一類典型型線，所以還需要分析不同性能、不同應用場合的轉(zhuǎn)子型線之間是否存在因果聯(lián)系。在已生成的轉(zhuǎn)子型線屬性拓撲的基礎(chǔ)上，通過文獻[18]的方法進行因果關(guān)系推斷。

圖11 轉(zhuǎn)子型線的差異屬性拓撲

表13 轉(zhuǎn)子型線的差異鄰接矩陣

定義5 在形式背景K=（G，M，I）中，若屬性mj是屬性mi的必要條件，即：g（mi）?g（mj），則稱屬性mj是屬性mi的部分因，屬性mi是屬性mj的果，記 作：mj→mi。若 存 在m1→mi，m2→mi，其 中i≠1，2，則稱屬性m1，m2共同為屬性mi的部分因，屬性mi為m1，m2的果，記作：（m1，m2）→mi。

為計算簡便，將屬性拓撲中邊的權(quán)值刪去，各屬性與其對象集作為一個頂點，簡化后的屬性拓撲見圖12，選擇屬性g作為初始屬性進行因果推斷，生成因果關(guān)系之后刪除的對象用空格代替以便觀察。

由最終結(jié)果可以得出，屬性e雖然是頂層屬性，但卻是屬性c、d的果，說明“圓弧-圓弧包絡線”嚙合對一開始并未出現(xiàn)，隨著計算機優(yōu)化技術(shù)和加工技術(shù)的發(fā)展而興起；屬性c同時是屬性g、e和d的部分因，再次論證了“擺線-點”嚙合對的通用性很強；屬性g和屬性h不是任何屬性的部分因，說明“橢圓-橢圓包絡線”和“橢圓包絡線-橢圓”嚙合對是通過上一代嚙合對優(yōu)化得到，截至目前應用范圍并不廣泛。屬性f、e、d既是因又是果，說明設計新一代型線除了優(yōu)化原嚙合對之外，還將嚙合對作為一個元素，在兩轉(zhuǎn)子嚙合路徑上設計不同的排列組合方案，最后賦予不同的長度，而且每一個元素并非只使用一次。

表14 num（mi，mj）的值

表15 轉(zhuǎn)子型線屬性的因果推斷

5 結(jié)論

轉(zhuǎn)子型線的好壞對螺桿壓縮機性能的影響非常大，在用戶要求不斷提高和市場競爭激烈的前提下，以經(jīng)典轉(zhuǎn)子型線為基礎(chǔ)設計新型線的辦法具有很大優(yōu)勢，這就需要先從經(jīng)典型線中找出優(yōu)異的嚙合對。首先，提取8種型線中的嚙合對，將其轉(zhuǎn)化為形式概念中的二值背景，然后生成屬性拓撲，再將其轉(zhuǎn)化為屬性偏序和差異屬性拓撲。分析出嚙合對的相同點：“擺線-點”嚙合對的通用性最強；“圓弧”類型的嚙合對隨著加工技術(shù)的提高和優(yōu)化技術(shù)的發(fā)展而慢慢興起，至今在第三代中仍大量使用，說明該類嚙合對具有很高的工程價值。但隨著各企業(yè)的加工技術(shù)穩(wěn)步提高，以“擺線-點”為代表的易加工但性能欠缺的嚙合對逐漸不受青睞，所以第三代型線已很少使用該嚙合對。

由差異度num值和因果關(guān)系可以分析出“橢圓-橢圓包絡線”和“橢圓包絡線-橢圓”嚙合對主要由“擺線-點”、“圓弧-圓弧包絡線”和“圓弧包絡線-圓弧”嚙合對發(fā)展而來，由于圓弧和橢圓對應的數(shù)學方程次冪相差不大，進一步得出如下結(jié)論：第三代型線以上一代型線為基礎(chǔ)進行優(yōu)化，然后將優(yōu)異的嚙合對作為一個元素，放入嚙入到嚙出的路徑上，設置不同的排列組合，需要注意的是每一種嚙合對并非只使用一次，最后賦予每段曲線不同的長度，從而達到提高性能、滿足客戶要求的目的。